Kepler Kanunları Nedir? Elips Yörünge, Eşit Alan ve Periyot Kanunları

Kepler kanunları, gezegenlerin Güneş çevresindeki hareketini üç temel matematiksel kural ile tanımlayan astronomi yasalarıdır.^{[1], [3]} Johannes Kepler tarafından 1609 ve 1619 yıllarında yayımlanan bu kurallar, gök cisimlerinin uzayda nasıl yol aldığını gözlem verilerine dayanarak açıklamaktadır.^{[8], [9]} Birinci kural yörüngenin şeklini vermektedir.^[1] Buna göre her gezegen, Güneş odaklardan birinde bulunacak biçimde elips bir yoldan dolanmaktadır.^[1] İkinci kural gezegen ile Güneş arasındaki doğrultunun eşit zaman aralıklarında eşit alanlar taradığını belirtirken, üçüncü kural bir gezegenin tur süresi ile Güneş'e olan ortalama uzaklığı arasında kesin bir sayısal bağıntı kurmaktadır.^{[1], [3]}

Kepler uzun yıllar Brahe'nin Mars gözlemlerini çembersel bir yörüngeyle bağdaştırmaya çalışmış, ancak bu gözlemler çembere uymamıştır.^[8] Başlangıçta sadece Güneş Sistemi içindeki gezegenleri anlamak için kurulan bu üç kural çok daha geniş bir geçerliliğe sahiptir, çünkü kütleçekim fiziğiyle birleştiğinde bu yasalar uzay araçlarının rotalarını çizmekte ve uzak yıldızları tartmaktadır.^{[3], [4], [5], [6]} Hatta görünmeyen karadeliklerin kütleleri ile uzak ötegezegen sistemleri bile (gerekli doğruluk için görelilik etkenleri de hesaba katılarak) bu ilkeler yardımıyla belirlenmektedir.^{[6], [7]}

Kepler Kanunları Nasıl Ortaya Çıktı?

Bir cismin uzayda hareket ederken izlediği yola yörünge (İng: "orbit") adı verilmektedir.^[1] Gökyüzündeki gezegenlerin yörüngelerini matematiksel olarak tanımlama çabası, yaşamı boyunca gökyüzünü büyük bir titizlikle izleyip kapsamlı gökbilim gözlemleri biriktiren Tycho Brahe'nin ayrıntılı kayıtlarına dayanmaktadır.^[8] Ayrıca Brahe, Kepler'den Mars'ın yörüngesini belirlemesini istemiştir.^[8] Hayatını kaybettiğinde ise ömür boyu biriktirdiği bu zengin gözlem arşivi Kepler'in eline geçmiştir.^[8]

Eldeki bu kapsamlı verileri devralan Kepler, uzun yıllar boyunca Mars hareketlerine ilişkin gözlemleri çembersel bir yörünge modeliyle bağdaştırmaya çalışmıştır.^[8] Brahe'nin gözlemleri çembere uymamıştır.^[8] Kepler sonunda gezegen yörüngesi için tam bir elips dışında şekil kalmadığı sonucuna varmıştır.^[9] İlk iki gezegen hareketi yasasını 1609 yılında yayımlanan Astronomia Nova adlı eserinde bilim dünyasına sunmuştur.^[9]

İlk iki kuralın ortaya konulmasından on yıl sonra, gezegenlerin dolanım süreleri ile uzaklıklarını birbirine bağlayan üçüncü yasa da tamamlanmıştır.^[9] Bu yasa, 1619 yılında basılan Harmonice Mundi adlı çalışmada yer almıştır.^[9] Gözlem verisine dayanan bu üç yasa, bilimsel devrimi başlatan fikirlerin parçası olmuştur.^[8] Yine de bu kurallar hareketi betimlemekte, nedenini ise açıklamamaktadır.^[8] Gezegenleri bu yörüngelerde tutan kuvvetin ne olduğu sorusu, daha sonra geliştirilen hareket ve kütleçekim yasalarıyla yanıt bulmuştur.^[8]

Anonymous Unknown author, Kamu malı

Birinci Kanun: Yörüngeler Elipstir

Brahe'nin Mars gözlemleri çember kalıbına sığmayınca, Kepler 1609 tarihli Astronomia Nova eserinde, "nullam Planetae relinqui figuram Orbitae, praeterquam perfecte ellipticam" ifadelerini kullanarak gezegen yörüngesi için tam bir elips dışında hiçbir şekil kalmadığını kaydetmiştir.^[9] Birinci kanuna göre her gezegen, Güneş'in içerideki özel noktalardan birinde bulunduğu elips (İng: "ellipse") biçimindeki bir yörüngede dolanmaktadır.^[1] Geometride bir elips, kendi içindeki iki özel noktadan eğri üzerindeki herhangi bir noktaya olan uzaklıkların toplamı her zaman sabit kalan kapalı şekildir ve bu iki özel noktaya odak (İng: "focus") denmektedir.^[1] Mars'ın ve diğer gezegenlerin yörüngelerinde Güneş bu odaklardan birinde yer alırken, diğer odak tamamen boştur.^[1]

Bir elips çizimini okurken şeklin tam ortasındaki merkez noktasından başlamak, yörüngenin geometrik büyüklüklerini görmeyi kolaylaştırmaktadır.^{[1], [2]} Şeklin merkezinden geçerek iki ucu birleştiren en geniş çapına büyük eksen (İng: "major axis") adı verilmektedir.^[1] Elipsin merkezinden uzun uçlardan birine kadar olan mesafe, yani en geniş çapın tam yarısı ise büyük yarı eksen (İng: "semimajor axis") olarak adlandırılmakta ve a harfiyle gösterilmektedir.^{[1], [2]} Buna karşılık şeklin merkezinden kısa kenara uzanan dik eksenin yarısı küçük yarı eksen (b) olarak tanımlanmaktadır.^[2] Bu iki uzunluk elipsin alanını da vermektedir, çünkü büyük yarı ekseni a ve küçük yarı ekseni b olan bir elipsin kapladığı toplam alan şu bağıntıyla hesaplanmaktadır:^[2]

Elipsin iki odağı, büyük eksen üzerinde merkezden eşit uzaklıkta yer almaktadır.^{[1], [2]} Bir elipsin ne kadar basık ya da uzamış olduğunu gösteren ölçüte dışmerkezlik (İng: "eccentricity") denmektedir.^[2] Matematiksel olarak dışmerkezlik (e), elipsin merkezinden odaklardan birine olan f uzaklığının büyük yarı eksen uzunluğu a değerine bölünmesiyle bulunmaktadır.^[2] Yani dışmerkezlik şu denklemle ifade edilmektedir:^[2]

Odaklar merkeze yaklaştıkça şekil de çembere yaklaşmaktadır.^[3] Aslında çember, dışmerkezliği sıfır olan () özel bir elips durumudur.^[3] Öte yandan çok uzun ve basık bir elipsin dışmerkezliği bire yaklaşmaktadır.^[3]

Güneş elipsin merkezinde değil de odaklardan birinde bulunduğundan, gezegenin Güneş'e olan uzaklığı dolanım boyunca sürekli değişmektedir.^{[1], [3]} Gezegenin yörüngesi üzerinde Güneş'e en yakın olduğu noktaya günberi (İng: "perihelion") adı verilmektedir.^[3] En uzak nokta ise günöte (İng: "aphelion") olarak tanımlanmaktadır.^[3] Büyük eksen üzerindeki bu iki uç noktanın Güneş'e olan uzaklıkları toplandığında elipsin en geniş çapı elde edilmektedir.^{[1], [3]} Bu nedenle herhangi bir elips yörüngede büyük yarı eksen, günberi () ve günöte () uzaklıklarının toplamının yarısı alınarak şu bağıntıyla bulunmaktadır:^[3]

Elipsin odak uzaklıkları toplamının sabitliği ilkesini bir uydu hesabıyla somut olarak uygulayabiliriz.^{[1], [2]}

Çözümlü örnek 1: Uydu gezegenden kaç km uzaktadır?

Verilenler: Bir uydu, etrafında dolandığı gezegene en yakın konumdayken gezegenden 200 bin km (200.000 km), yörüngedeki boş ikinci odaktan () ise 300 bin km (300.000 km) uzaktadır.^[2]

İstenen: Uydunun ikinci odaktan 260 bin km (260.000 km) uzakta olduğu andaki gezegene uzaklığı.^[2]

1. adım: En yakın konumdaki verilerden iki odak arasındaki sabit mesafe bulunmaktadır:^[2]

2. adım: Gezegen, boş odak ve uydunun oluşturduğu üçgenin çevresi, elips tanımı gereği yörüngenin her noktasında sabit kalmaktadır:^{[1], [2]}

3. adım: Aranan uzaklık, bu çevreden odaklar arası mesafe ile ikinci odağa olan 260.000 km çıkarılarak bulunmaktadır:^[2]

Sonuç: Uydu gezegenden 240 bin km (240.000 km) uzaktadır.^[2]

Evrim Ağacı

Dünya Yazın Güneş'e Daha mı Yakın?

Dünya'nın elips yörünge üzerinde dolanması günlük yaşamda mevsimlerin oluşumuyla ilgili çok yaygın bir kavram yanılgısına yol açmakta, pek çok kişi yaz aylarında Dünya'nın Güneş'e daha yakın olduğunu ve havanın bu yakınlık yüzünden ısındığını düşünmektedir.^[10] Oysa yörünge takvimi bunun tam tersini göstermektedir.^[10] Dünya günberi konumuna ocak ayında ulaşmaktadır.^[10] Ancak bu sırada Kuzey Yarımküre kış mevsimini yaşamaktadır.^[10]

Benzer şekilde gezegenimiz günöte noktasına temmuz ayında varmaktadır.^[10] Yani Kuzey Yarımküre yaz mevsimini yaşarken Dünya aslında Güneş'ten en uzak konumda bulunmaktadır.^[10] Dolayısıyla Güneş'e olan uzaklık değişimi mevsimleri belirlememektedir.^[10] Mevsimlerin asıl nedeni, Dünya'nın eksen eğikliğidir.^[10]

İkinci Kanun: Eşit Sürelerde Eşit Alanlar

Birinci kanun gezegenin uzaydaki yolunu çizerken, ikinci kanun gezegenin bu yol üzerinde ne hızla ilerlediğini açıklamaktadır.^{[3], [6]} Kepler, Astronomia Nova adlı eserinde alan ile zaman arasındaki bu bağı, "Invenitur et area [AKN], mensura temporis" sözleriyle alanı zamanın ölçüsü olarak tanımlayarak ifade etmiştir.^[9] İkinci kanuna göre Güneş ile gezegeni birleştiren doğru parçası eşit zaman aralıklarında birbirine eşit alanlar taramakta, taranan bu alanın geçen zamana oranına ise alansal hız (İng: "areal velocity") adı verilmektedir.^[3] Dolayısıyla alansal hız yörünge boyunca sabittir.^[3]

Güneş'e olan uzaklık sürekli değişirken taranan alanlar nasıl birbirine eşit kalmaktadır?^[3] Çünkü gezegenler yörüngeleri boyunca sabit bir süratle hareket etmemektedir.^[6] Gezegen Güneş'e yakınken aradaki doğru parçası kısadır.^[3] Dolayısıyla aynı sürede eşit bir dilim alanı tarayabilmek için gezegenin yörünge üzerinde daha uzun bir yay çizmesi gerekmektedir.^[3] Eşit sürelerde eşit büyüklükte alanların taranabilmesi için gezegen Güneş'e yaklaşırken hızlanmakta, Güneş'ten uzaklaşırken ise yavaşlamaktadır.^[3] Bu nedenle bir gezegen yörüngesi üzerindeki en yüksek süratine günberi noktasında ulaşmaktadır.^[6] En yavaş hareketini ise günöte noktasında gerçekleştirmektedir.^[6]

İkinci kanunun arkasındaki fiziksel temel, açısal momentum (İng: "angular momentum") büyüklüğünün korunması ilkesidir.^[3] Dönme ve dolanım hareketinin bir ölçüsü olan açısal momentumun korunumu, sadece merkeze veya merkezden dışarıya doğru yönelen radyal kuvvetlerin bulunduğu sistemlerde geçerlidir.^[3] Güneş'in gezegene uyguladığı çekim kuvveti doğrudan Güneş ile gezegen doğrultusu boyunca uzanmaktadır.^[3] Bu nedenle sistemde açısal momentum değişmemektedir.^[3] Kütle değeri ve Güneş'e uzaklığı olan bir gezegenin açısal momentum büyüklüğü, dik doğrusal momentum bileşeni () üzerinden şu denklemle yazılmaktadır:^[3]

Burada niceliği, gezegenin hız vektörünün () Güneş ile gezegen doğrultusuna dik olan bileşenidir.^[3] Aradaki açı olmak üzere bu bileşen şu bağıntıyla hesaplanmaktadır:^[3]

Gezegenin çok kısa bir süresinde taradığı üçgensel alanı açısal momentum bağıntısıyla doğrudan ilişkilidir, çünkü geometrik alan hesabı hızın dik bileşeniyle birleştirildiğinde alansal hız için şu denklem elde edilmektedir:^[3]

Gezegenin kütlesi () ve açısal momentumu () hareket boyunca sabit kalmaktadır.^[3] Bu durumda eşitliğin sağ tarafındaki oranı hiç değişmemekte, böylece alansal hız olan oranı da zorunlu olarak sabit kalmaktadır.^[3] Ayrıca çarpımının sabit kalması, uzaklık () küçüldüğünde dik hız bileşeninin () artmasını gerektirmektedir.^[3] Bu da günberi yakınındaki hızlanmayı matematiksel olarak doğrulamaktadır.^{[3], [6]}

Evrim Ağacı

Üçüncü Kanun: Periyot ile Uzaklık Arasındaki Bağ

Bir gezegenin Güneş çevresindeki bir tam turunu tamamlaması için geçen süreye yörünge periyodu (İng: "orbital period") denmektedir.^{[1], [3]} Bu süre P (veya T) harfiyle gösterilmektedir.^[1] Güneş'e yakın gezegenler turlarını kısa sürede tamamlarken, uzak gezegenlerin dolanımı çok daha uzun sürmektedir, örneğin en içteki gezegen olan Merkür Güneş çevresindeki bir turunu sadece 88 günde tamamlamaktadır.^[6] Dünya için bu süre 365 gündür.^[6] Uzaktaki Satürn ise aynı tur için 10 bin 759 (10.759) güne ihtiyaç duymaktadır.^[6]

Kepler, 1619 tarihli Harmonice Mundi eserinde herhangi iki gezegenin periyodik sürelerinin oranının, ortalama uzaklıklarının oranının küpünün kareköküne eşit olduğunu ortaya koymuştur.^[9] Günümüzde üçüncü kanun olarak bilinen bu kurala göre, bir gezegenin yörünge periyodunun karesi, yörüngesinin büyük yarı ekseninin küpüyle doğru orantılıdır.^[3] Gökbilimde uzaklıkları kolayca ifade etmek amacıyla Dünya ile Güneş arasındaki ortalama uzaklık temel alınmaktadır.^[1] Bu mesafeye astronomik birim (İng: "astronomical unit") adı verilmektedir.^[1] Bir astronomik birim (1 AU), yaklaşık olarak 1,5 × 10⁸ kilometre uzunluğundadır.^[1] Güneş çevresindeki yörüngelerde periyot (P) Dünya yılı, büyük yarı eksen (a) ise astronomik birim (AU) cinsinden yazılabilir, böylece orantı tam bir eşitliğe dönüşmekte ve şu biçimi almaktadır:^[1]

Bu yalın denklem sayesinde bir gezegenin sadece dolanım süresini ölçerek Güneş'e olan ortalama uzaklığını bulabiliriz.^[1]

Çözümlü örnek 2: Mars Güneş'ten kaç AU uzaktadır?

Verilenler: Mars gezegeninin yörünge periyodu Dünya yılıdır.^[1]

İstenen: Mars'ın büyük yarı eksen uzunluğu , AU cinsinden.^[1]

1. adım: bağıntısında periyodun karesi alınmakta ve sonuç yuvarlanarak ara değer elde edilmektedir:^[1]

2. adım: Bu değerin küpkökü alındığında büyük yarı eksen bulunmaktadır:^[1]

Sonuç: Mars'ın büyük yarı ekseni 1,52 AU olarak bulunmaktadır.^[1]

Çembersel bir yörüngede büyük yarı eksen uzunluğu (a) doğrudan yörüngenin yarıçapına (r) eşittir, ayrıca aynı merkezi kütle etrafında dolanan iki küçük cismi karşılaştırırken üçüncü kanun şu biçimde de yazılmaktadır:^{[3], [4]}

Yani periyot, yarıçapın küpünün kareköküyle orantılı olarak değişmektedir.^[4]

Çözümlü örnek 3: Yapay uydunun bir turu kaç saat sürer?

Verilenler: Ay, Dünya etrafındaki bir turunu günde tamamlamakta ve Dünya merkezine ortalama () uzaklıkta dolanmaktadır. Yapay uydu Dünya yüzeyinden ortalama 1500 km yükseklikte dolanmakta, Dünya'nın yarıçapı ise 6380 km olmaktadır.^[4]

İstenen: Uydunun bir turu tamamlama süresi , saat cinsinden.^[4]

1. adım: Yörünge yarıçapı yüzeyden değil Dünya merkezinden ölçüldüğü için uydunun 1500 km yüksekliğine Dünya'nın yarıçapı eklenmektedir:^[4]

2. adım: Ay'ın 27,3 günlük periyodu 24,0 saat/gün çarpanıyla saate çevrilmekte ve yarıçap oranlarıyla birlikte denkleme yerleştirilmektedir:^[4]

Sonuç: Uydunun bir turu 1,93 saat sürmektedir.^[4]

Üçüncü kanun, çok basık bir elips yörüngede dolanan Halley kuyruklu yıldızının en uzak noktasını hesaplamak için de kullanılabilmektedir.^[3]

Çözümlü örnek 4: Halley'in günöte uzaklığı kaç AU'dur?

Verilenler: Halley kuyruklu yıldızı her 75,3 yılda bir günberi noktasına gelmektedir ve günberi uzaklığı 0,586 AU değerindedir.^[3]

İstenen: Kuyruklu yıldızın günöte uzaklığı .^[3]

1. adım: Güneş Sistemi için sadeleşmiş üçüncü kanun bağıntısı (), 75,3 yıllık periyotla için çözülmektedir:^[3]

2. adım: Büyük yarı eksenin günberi ve günöte uzaklıklarının toplamının yarısı olması günötenin biçiminde bulunmasını sağlamaktadır:^[3]

Sonuç: Halley kuyruklu yıldızının günöte uzaklığı 35,0 AU olarak bulunmaktadır.^[3]

Newton'la Gelen Açıklama

Birinci, ikinci ve üçüncü kanun gezegenlerin hareketini büyük bir doğrulukla betimlese de, gezegenlerin neden bu kurallara uyduğunu açıklayan fiziksel temel Isaac Newton tarafından kurulmuştur.^[8] Newton, 1687 yılında yayımlanan Philosophiae Naturalis Principia Mathematica adlı eserinde hareket yasalarını ve kütleçekim ilkesini ortaya koymuştur.^{[5], [8]} Hareket yasalarından biri eylemsizlik ilkesidir.^[8] Bu ilkeye göre hareket halindeki bir cisim, dışarıdan bir kuvvet etkimedikçe süratini veya yönünü değiştirmemektedir.^[8] Duran bir cisim de aynı koşulda harekete geçmemektedir.^[8] Dolayısıyla uzayda düz bir çizgide gitmek yerine sürekli yön değiştiren bir gezegenin üzerinde mutlaka dış bir kuvvetin etki etmesi gerekmektedir.^[8]

Gezegenleri kapalı yörüngelerde tutan bu dış etki, kütlelerin birbirini çekmesinden doğan kütleçekim kuvvetidir ve evrensel kütleçekim yasasına göre iki cisim arasındaki bu çekim kuvveti şu bağıntıyla hesaplanmaktadır:^{[3], [5]}

Bu denklemde ve iki cismin kütlelerini, R aralarındaki uzaklığı, G ise evrensel kütleçekim sabitini temsil etmektedir.^[5] Bu kuvvet uzaklığın karesiyle ters orantılıdır.^{[3], [5]} İşte gezegen hareketlerinin altında yatan ana fiziksel mekanizma bu ters kare ilişkisidir.^{[3], [5]}

Evrim Ağacı

Çembersel Yörüngeden Üçüncü Kanuna

Evrensel kütleçekim yasası kullanılarak üçüncü kanun, çembersel yörüngeler için doğrudan doğruya matematiksel olarak türetilebilmektedir.^[4] Küçük kütleli bir cismin büyük kütlesi etrafında yarıçaplı çembersel bir yörüngede dolandığı durumda merkezcil kuvveti kütleçekimi sağlamakta, dolayısıyla bu kuvvet dengesi şu eşitlikle yazılmaktadır:^[4]

Ayrıca cisim bir tam turda kadar yol aldığından, yörünge sürati şu biçimdedir:^[4]

Sürat ifadesi kuvvet denkleminde yerine konulup düzenlendiğinde çembersel yörünge için şu bağıntı elde edilmektedir:^[4]

Elips yörüngeler için ise büyük yarı eksen () kullanılarak şu denklem elde edilmektedir:^{[3], [4]}

Newton'un genelleştirmesi, yörünge periyodu ile uzaklık arasındaki ilişkinin etkileşen her iki cismin kütlesine de bağlı olduğunu göstermektedir.^[5] Kütleler Güneş kütlesi biriminde, periyot (P) yıl ve uzaklık (a) astronomik birim (AU) cinsinden ifade edildiğinde, genelleştirilmiş yasa şu biçimi almaktadır:^{[1], [5]}

Oysa Güneş Sistemi içindeki gezegenlerin kütleleri Güneş'in kütlesine kıyasla son derece küçüktür.^[5] Bu nedenle Güneş kütlesi biriminde toplamı bire çok yakın çıkmaktadır.^[5] İşte yalın bağıntısının Güneş Sistemi gezegenlerinde yüksek doğrulukla işe yaramasının nedeni bu kütle farkıdır.^[5]

Elipsin Ötesi: Konik Kesitler ve Ortak Kütle Merkezi

Uzaklığın karesiyle ters orantılı evrensel kütleçekim yasası ile ikinci hareket yasası birlikte çözüldüğünde, kütleçekimi altındaki herhangi bir uydunun veya gezegenin izlediği yolun geometrik bir konik kesit (İng: "conic section") olduğu ortaya çıkmaktadır.^[3] Yani elips, olası yörünge şekillerinden sadece biridir.^[3] İki cisim modelinde yörüngenin hangi konik kesit olacağı sistemin toplam enerjisi ve açısal momentumu tarafından belirlenmektedir, dolayısıyla sistemin toplam enerjisine ve dışmerkezlik (e) değerine göre dört konik kesit yörüngesi ortaya çıkmaktadır.^[3]

• Çember yörünge, toplam enerjinin negatif ve dışmerkezliğin tam sıfır () olduğu kapalı ve bağlı özel elips yörüngesidir.^[3]
• Elips yörünge, toplam enerjinin negatif olduğu ve dışmerkezliğin sıfır ile bir aralığında () bulunduğu kapalı ve bağlı yörüngedir.^[3]
• Parabol yörünge, toplam enerjinin tam olarak sıfıra eşitlendiği ve dışmerkezliğin bir () olduğu açık ve bağlı olmayan yörüngedir.^[3]
• Hiperbol yörünge, toplam enerjinin pozitif değer aldığı ve dışmerkezliğin birden büyük () olduğu açık ve bağlı olmayan yörüngedir.^[3]

Kütleçekim etkileşimi karşılıklı olduğundan, uzayda bir cisim diğerinin etrafında dolanırken merkezdeki büyük kütle de tamamen hareketsiz kalmamaktadır, örneğin birbirleriyle kütleçekimsel olarak etkileşen iki yıldız gerçekte ortak kütle merkezi (İng: "barycenter") çevresinde dolanmaktadır.^{[3], [7]} Bu noktaya barisentr adı da verilmektedir.^[7] İki kütlenin ortak kütle merkezi etrafındaki bu karşılıklı hareketi, sistemin toplam enerjisi ve açısal momentumu çerçevesinde şekillenmektedir.^[3] Büyük kütleli bir gezegen ile yıldızı da böyle dolanmaktadır.^[7]

Kanunların Geçerli Olduğu Koşullar

Yalın yörünge kurallarının doğrudan uygulanabilmesi, basit yörünge modelinin dayandığı iki temel koşula bağlıdır.^[4] İlk koşul, küçük m kütlesinin çok daha büyük bir M kütlesi çevresinde dolanmasıdır, böylece barisentr büyük kütlenin hemen hemen merkezinde kalmakta ve büyük M kütlesi duruyormuş gibi hesap yapılabilmektedir.^{[4], [7]} İkinci koşul ise sistemin diğer kütlelerden yalıtılmış kabul edilmesi ve dış kütlelerin küçük etkilerinin ihmal edilmesidir.^[4] Bu iki koşulu sağlayan her sistemde (sadece Güneş Sistemi gezegenlerinde değil, uydularda ve diğer gök cisimlerinde de) bu yasalar geçerlidir.^[4] Ancak gibi yalın oran biçimleri, sadece aynı merkezi kütle çevresinde dolanan iki küçük kütleyi karşılaştırırken kullanılabilir.^[4]

Gerçek sistemlerde diğer cisimlerin bozucu etkileri bulunabilmektedir.^{[4], [7]} Bu nedenle kusursuz elips yörünge betimlemesi, sadece diğer gök cisimlerinin oluşturduğu bozucu etkiler hesaba katılmadığında tam olarak geçerlidir.^[7] Gözlenen yörünge yarıçapı ve periyot oranlarında ortaya çıkan küçük değişimlerin iki temel nedeni bulunmaktadır.^[4] Bunlardan ilki yörünge yarıçapı ve periyot verilerindeki ölçüm belirsizlikleridir.^[4] İkincisi ise sistemdeki diğer cisimlerin yörüngelerde oluşturduğu pertürbasyon (İng: "perturbation") adı verilen kütleçekimsel bozulmalardır.^[4] Dahası klasik kütleçekim modeli çoğu durumda çok iyi bir yaklaşım sunsa da, Güneş'e çok yakın dolanan Merkür yörüngesinin klasik öngörülerden gösterdiği küçük sapmaları genel görelilik kuramı açıklamaktadır.^[4]

NASA / Johns Hopkins University Applied Physics Laboratory / Carnegie Institution of Washington, Kamu malı

Kepler Kanunları Bugün Ne İşe Yarar?

Günümüzde bağıntısı, gökbilimcilerin doğrudan tartamadığı gök cisimlerinin kütlelerini ölçmek için temel bir araç olarak kullanılmaktadır.^{[5], [6]} Çünkü bir yörüngenin uzaklık ve periyot ölçümleri bilindiğinde, merkezdeki toplam kütle hesaplanabilmektedir.^[5] Örneğin Güneş'in kütlesi gezegenlerin uzaklık ve periyotlarından belirlenmektedir.^[5] Jüpiter'in ve diğer gezegenlerin kütleleri ise kendi çevrelerinde dolanan uyduların hareketlerinden hesaplanmaktadır.^{[5], [6]} Aynı yöntem, birbirinin çevresinde dolanan çift yıldız sistemlerindeki yıldızların kütlelerini bulmak için de uygulanmaktadır.^[6]

Uzak bir yıldızın kütlesinin gezegen gözlemiyle nasıl ölçüldüğünü somut bir örnekle inceleyebiliriz.^[5]

Çözümlü örnek 5: Yıldızın kütlesi kaç Güneş kütlesidir?

Verilenler: Dünya benzeri bir gezegen, kendi yıldızının çevresinde AU uzaklıkta ve Dünya yılı periyotla dolanmaktadır.^[5]

İstenen: Yıldızın kütlesi , Güneş kütlesi cinsinden.^[5]

1. adım: Dünya benzeri bir gezegenin kütlesi (), yıldızın kütlesinin () yanında ihmal edilebilecek kadar küçük kabul edildiği için bağıntı için çözülmektedir:^[5]

2. adım: Verilen sayısal değerler denkleme yerleştirilmekte ve payda için ara değeri hesaplanmaktadır:^[5]

Sonuç: Yıldızın kütlesi yaklaşık 2 Güneş kütlesi çıkmaktadır.^[5]

Kütleçekimsel etkileşim aynı zamanda başka yıldızların etrafındaki gezegen sistemlerini bulmaya da olanak tanımaktadır.^{[6], [7]} Büyük kütleli bir gezegen, etrafında dolandığı yıldızı ortak barisentr noktası çevresinde küçük bir yörünge çizmeye zorlamaktadır.^[7] Bu nedenle uzak bir yıldızın bu barisentr çevresindeki hareketini ölçmek, ötegezegen sistemlerini keşfetmekte kullanılan yöntemlerden biridir, ayrıca keşfedilen bu ötegezegenlerin kütleleri de yine genelleştirilmiş üçüncü kanun denklemleriyle belirlenmektedir.^{[6], [7]}

Gök mekaniğinin bu ilkeleri, Dünya'dan gönderilen uzay araçlarının gezegenler arasındaki yörünge geçişlerini planlarken de doğrudan kullanılmaktadır.^{[3], [6]} Örneğin Hohmann aktarımı, iki farklı çembersel yörünge arasında geçiş sağlamaktadır.^[3] Bu aktarımda iki yörüngeyi birbirine bağlayan bir aktarım elipsi (İng: "transfer ellipse") izlenmektedir.^[3] Uzay aracı içteki yörüngeden bu elipsin günberi noktasında ayrılmaktadır.^[3] Dıştaki çembersel yörüngeye ise tam olarak elipsin günöte noktasında ulaşmaktadır.^[3] Elbette modern uzay aracı uçuş planlarında ve hassas kütle ölçümlerinde, Merkür sapmasında da karşımıza çıkan Albert Einstein'ın görelilik kuramıyla ilişkili etkenler de gereken yüksek doğruluğu sağlamak amacıyla hesaba katılmaktadır.^[6]

Sonuç

Kepler kanunları, gezegenlerin elips yörüngelerde dolandığını, eşit sürelerde eşit alanlar taradığını ve periyodun karesinin büyük yarı eksenin küpüyle orantılı olduğunu belirten temel kurallardır.^{[1], [3]} Bu üç yasa tek başına hareketin geometrisini ve zamanlamasını tanımlamakta, hareketi yaratan fiziksel kuvveti ise doğrudan söylememektedir.^[8] Ancak Newton'un kütleçekim açıklaması ve genelleştirmesiyle birleştiğinde, gözlenen bir yörünge hareketi merkezdeki kütleyi açığa çıkaran fiziksel bir kanıta dönüşmektedir.^{[5], [8]} Elbette başka cisimlerin kütleçekimsel bozulmaları ve görelilik etkileri devreye girdiğinde, bu yalın modelin öngörüleri modern düzeltmelerle tamamlanmaktadır.^{[4], [6]}

Mars'ın yörüngesini belirleme çabasıyla başlayan bu ilkeler, bugün evrenin en uç noktalarını inceleyen evrensel bir ölçüm aracına dönüşmüştür.^{[6], [8]} Çünkü doğrudan göremediğimiz karadeliklerin kütleleri bile, kütleçekim etkileri altında dolanan yakın yıldızların yörünge hareketleri izlenerek bu yasalarla belirlenmektedir.^[6] Böylece gökyüzündeki tek bir gezegenin izini sürmekle başlayan bu bilimsel arayış, insanlığa görünmeyen gök cisimlerini uzaktan tartma olanağı kazandırmıştır.^{[5], [6], [8]}