Kendisi 10 ile faktöriyeli ise 10¹² ile kalansız bölünebilen en küçük tam sayı nedir?

Aradığımız en küçük tam sayı 50. Bu problem, iki ayrı kısıtın aynı anda sağlandığı bir minimizasyon sürecidir.

Süreci belirleyen kısıtlar ve darboğaz analizi şu şekildedir:

• Bölünebilirlik kısıtı: Sayının kendisi 10 ile kalansız bölünmelidir. Dolayısıyla aradığımız girdi 10, 20, 30, 40, 50 gibi 10 sayısının pozitif tam katları arasından seçilmelidir. Faktöriyel işlemi negatif tam sayılarda tanımlı değildir, 0 faktöriyel ise 1 değerini ürettiği için 10¹² ile bölünemez.
• Darboğaz analizi: Bir faktöriyelin 10¹² ile tam bölünebilmesi için asal çarpan ayrışımında en az 12 adet 2 ve en az 12 adet 5 çarpanı bulunmalıdır. Faktöriyel hesaplarında 2 çarpanının kümülatif artış hızı 5 çarpanından her zaman çok daha yüksektir. Dolayısıyla sistemdeki darboğaz 5 çarpanıdır. Hedefimiz faktöriyel içinde en az 12 adet 5 çarpanına ulaşmaktır.
• Legendre formülü: Bir n faktöriyel içindeki toplam 5 çarpanı sayısı, n değerinin 5, 25, 125 gibi 5 sayısının ardışık kuvvetlerine bölünmesi ve elde edilen tam kısımların toplanmasıyla bulunur.

10 sayısının katları üzerinden kapasite kontrolü yaptığımızda:

• n = 10 için: 10/5 = 2 adet 5 çarpanı bulunur, kapasite hedefin çok altındadır.
• n = 20 için: 20/5 = 4 adet 5 çarpanı elde edilir.
• n = 30 için: 30/5 + 30/25 = 6 + 1 = 7 adet 5 çarpanı üretilir.
• n = 40 için: 40/5 + 40/25 = 8 + 1 = 9 adet 5 çarpanı sağlar.
• n = 50 için: 50/5 + 50/25 = 10 + 2 = 12 adet 5 çarpanı tam olarak sağlanır.

50 faktöriyel, içerdiği 12 adet 5 çarpanı ve fazlasıyla yeterli olan 47 adet 2 çarpanı sayesinde 10¹² ile kalansız bölünür. Üstelik 49 faktöriyelde yalnızca 10 adet 5 çarpanı bulunduğu için 12 adet 5 çarpanına ulaşabilen en küçük tam sayı zaten 50 sayısıdır. Böylece her iki kısıt da minimum değer olan 50 noktasında karşılanmış olur.