Pi Sayısı Neden İrrasyoneldir?

$\pi$ sayısı hepimizin okulda şimdiye kadar yüzlerce kez gördüğü bir sayıdır. Okullarda bize $\pi$ sayısının "Çemberin çevresinin çapına oranı" olduğu söylenir hatta muhtemelen defterinize zamanında şunu yazdınız:

$\pi =\frac{Çevre}{Çap}$

Bu tanım doğru olmakla birlikte bunun haricinde de tanımlar yapmak mümkündür. Şimdi bize öğretilen bir diğer şeye gelelim: $\pi$ sayısı irrasyoneldir. Yani \pi sayısı iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz veya kısaca $a$ ve $b$ tam sayı iken şu eşitliği sağlayan $a$, $b$ değerleri yoktur:

$\pi =\frac{a}{b}$

Peki, neden? Neden pi sayısı bir irrasyonel sayıdır? Tanımı bile çevrenin çapa oranı iken neden 2 tam sayının oranı şeklinde yazılamaz?

$\pi$ Sayısının irrasyonelliğinin İspatı

Belki daha önceden $\sqrt{2}$ sayısının neden irrasyonel olduğunun kanıtını görmüşsünüzdür. Genellikle bu kanıt olmayana ergi kullanılarak yani önce bir varsayımda bulunarak sonra bu varsayımın yanlış olduğunu göstererek yapılan ispatlanır. Bu sefer gene olmayana ergi kullanacağız ama işimiz maalesef $\sqrt{2}$'de olduğu kadar kolay olmayacak.

Kısaca $\pi$'nin İrrasyonelliğinin Tarihi

Eğer $\pi$ rasyonel ise $a/b$ şeklinde ($a,b\ne 0\in \mathbb{Z}$) yazılabilir. O zaman $\pi =a/b$ diyelim ve şu şeklide bir fonksiyon tanımlayalım:

$f(x)=\frac{x^n(a-bx{)}^n}{n!}$

Şu şekilde bir fonksiyon daha tanımlayalım:

$F(x)=f(x)-f^{\prime \prime }(x)+f^{(4)}(x)+\cdots +(-1{)}^n{f}^{(2n)}(x)$

Şimdi $F(0)$ ve $F(\pi )$'$F(\pi {)}^{\prime }$nin her zaman tam sayı olduğunu kanıtlayalım. Şimdi $f(x)$'in ne olduğunu hatırlayalım:

$f(x)=\frac{x^n(a-bx{)}^n}{n!}$

Biraz düzenleyelim:

$f(x)=\frac{x^n(a-bx{)}^n}{n!}=\frac{(ax-b{x}^2{)}^n}{n!}=\frac{1}{n!}((\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})(ax{)}^n(b{x}^2{)}^0-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})(ax{)}^{n-1}(b{x}^2{)}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})(ax{)}^{n-2}(b{x}^2{)}^2+\cdots +(-1{)}^{n-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1}\right)(ax{)}^1(b{x}^2{)}^{n-1}+(-1{)}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})(ax{)}^0(b{x}^2{)}^n)$

Görebileceğiniz üzere $f^{(j)}(0)$; $j<n$ için her zaman $0$, $j\le 2n$ için her zaman $x$ içermeyen terimin çarpanı $n!$'e bölünebilir. ve $j>2n$ için tekrardan $0$'dır. Yani $f^{(j)}(0)\in \mathbb{Z}$ ve dolayısıyla $F(0)$ her zaman tam sayıdır.

Şimdi $F(\pi )$ için bakalım. Şimdi fonksiyonda $x$ yerine $a/b-x$ yazalım:

$f(a/b-x)=\frac{(a/b-x{)}^n(a-b(a/b-x){)}^n}{n!}=\frac{x^n(a-bx{)}^n}{n!}$

Demekki $f(x)=f(a/b-x)$ yani $f(0)$ için bulduğumuz her şey $f(a/b)$ yani $f(\pi )$ için de geçerli. Demekki $F(\pi )$ bir tam sayı.

Şimdi şu fonksiyona bakalım:

$F^{\prime }(x)\sin x-F(x)\cos x$

Şimdi bunun türevini alalım:

$\frac{d}{dx}{F}^{\prime }(x)\sin x-F(x)\cos x=(F^{\prime \prime }(x)\sin x+F^{\prime }(x)\cos x)-(F^{\prime }(x)\cos (x)-F(x)\sin x)=F^{\prime \prime }(x)\sin x-F(x)\sin x=f(x)\sin x$

$\frac{d}{dx}{F}^{\prime }(x)\sin x-F(x)\cos x=f(x)\sin x$

O halde şunu diyebiliriz:

${\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx=(F^{\prime }(x)\sin x-F(x)\cos x){|}_0^{\pi }=(F^{\prime }(\pi )\sin \pi -F(\pi )\cos \pi )-(F^{\prime }(0)\sin 0-F(0)\cos 0)=F(\pi )+F(0)$

Kısaca:

${\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx=F(\pi )+F(0)$

Eğer $\pi =a/b$ ise bu fonksiyonun değerinin her zaman tam sayı çıkacağını biliyoruz. O zaman şu şekilde bir eşitsizlik kuralım:

$0<{\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx<\frac{{\pi }^{n+1}{a}^n}{n!}$

Bunun nedeni $0<x<\pi$ için $\sin (x)$ her zaman pozitif ve $0<x<\pi$ için $f(x)$ de pozitiftir o zaman:

$0<f(x)\sin x$

Şimdi ise $0<x<\pi$ için $0<x(a-bx)<xa$ olacağı için:

$0<f(x)<\frac{(ax{)}^n}{n!}$

Aynı zamanda $0<x<\pi$ için $0<\sin x<1$ olduğu için:

$0<f(x)\sin x<\frac{(ax{)}^n}{n!}$

Şimdi hepsinin 0 dan $\pi$'ye integralini alalım:

${\int }_0^{\pi }0dx<{\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx<{\int }_0^{\pi }\frac{(ax{)}^n}{n!}dx$

Bunları hesaplarsak:

$0<{\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx<\frac{{\pi }^{n+1}{a}^n}{n!}$

Burada eğer $n$'i sonsuza götürüsek:

$\underset{n\to \infty }{\lim }0<\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx<\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\pi }^{n+1}{a}^n}{n!}$

Limitleri hesapladığımızda:

$0<\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin xdx<0$

Buradan da görüyoruz ki yeterince büyük bir $n$ için integral 0 ve 1 arasında değerler alabilir. Bu da $F(0)+F(\pi )$'nin tam sayı olması ve dolayısıyla $\pi$'nin $a/b$ şeklinde yazılabilmesi ile çelişkiye sebep olur. Demekki $\pi$ irrasyonel olmalı ki bu tür $a$, $b$ değerleri seçilemesin. Yani $\pi$ irrasyoneldir.^[3]