Pi Sayısının Sonsuz Olduğunu Nasıl Biliyoruz?

1768 yılında İsviçreli matematikçi Johann Lambert, Pi'nin irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtlamıştı. Peki bu ne anlama geliyor?

Birçok kişi Pi sayısının değerinin yaklaşık olarak 22/7 olduğunu bilir, bu da yaklaşık %99,96 oranında doğrudur. Çoğu pratik amaç için fazlasıyla yeterlidir. Ancak 1768'de İsviçreli matematikçi Johann Lambert, Pi sayısının kesin değerini belirlemek için bu tür kesirleri kullanmanın imkânsız olduğu, çünkü sonsuza kadar devam ettiği gibi dikkat çekici bir gerçeği ortaya koydu.

Bunu kanıtlamak için Pi'nin 'rasyonel' bir sayı olmadığını gösterdi. Yani tam değeri iki tam sayının oranıyla verilen bir sayı. Rasyonel sayılar, birkaç basamaktan sonra duran (örneğin 1/8 = 0,125) veya belirli sayıda basamaktan sonra tekrar eden (örneğin 4/7 = 0,571428571… vb.) ondalık sayılara dönüştürülebilir. Pi'nin rasyonel bir sayı olmadığını göstererek Lambert, ondalık değerinin ne durduğunu ne de döngüye girdiğini sadece sonsuza kadar devam ettiğini belirtti.

Aslında Pi 22/7 değildir. Bu sadece bir tahmin, 22/7 3.142'dir; Pi ise 3.1415'tir. Değer yalnızca üçüncü basamakta farklılık gösterir. Bilimsel amaçlar için kullanılan tahmini Pi değeri yaklaşık kırk basamaktan oluşmaktadır.

Örneğin; Nasa Pi sayısını 22/7 ile hesaplama yapmış olsalardı, Neil Armstrong ve Buzz Aldrin asla Ay'a ulaşamazlardı. Ve NASA Pi sayısının yalnızca yaklaşık 40 basamağını kullanmıştı.

Matematikçi Johann Lambert pi'nin irrasyonel olduğunu kanıtladığında, aynı zamanda sonsuz olduğu gerçeği de ortaya çıktı. Bunun nedeni, tüm irrasyonel sayıların sonsuz olmasıdır.

Pi, aşkın sayılar grubuna aittir. Yani, herhangi bir tam sayının kökü değildir. Bu da şu demek oluyor, herhangi bir dereceden cebirsel bir sayı değildir, bu da onu irrasyonel yapar. Nasıl mı? Çünkü, rasyonel bir sayı, birinci dereceden cebirsel bir sayıdır. Dolayısıyla, bir sayı aşkınsa, otomatik olarak irrasyoneldir.

Yukarıda da belirttiğim gibi bu 2 sayının oranı olarak ifade edilemeyeceğini, bu yüzden ondalık açılımlarının sonsuz olduğunu ifade ettim. Ondalık açılımları sonlanmayan ve tekrarlanmayandır, yani sayı asla bitmez ve asla tekrar etmez. Bunun nedeni, örneğin 0.2378 gibi sonlu bir ondalığımız varsa, bunun 2378/10000 veya 1189/5000 olarak temsil edilebilmesidir.

Yani, bir kesir olarak ifade edilebilir, bu da onu rasyonel yapar. Yani, bir sayının irrasyonel olması için, bir kesir olarak ifade edilemez ve dolayısıyla sonsuzdur.

Pi'nin sonsuz ifadesini sonsuz değeriyle karıştırmayalım. Pi sonludur, oysa ifadesi sonsuzdur. Pi'nin 3 ile 4 arasında sonlu bir değeri vardır, tam olarak 3.1'den büyük, sonra 3.15 ve benzeri.

Örneğin: 3 < π < 4

Dolayısıyla pi sayısı gerçek bir sayıdır, ancak irrasyonel olduğundan ondalık gösterimi sonsuzdur, bu yüzden ona sonsuz diyoruz.

Peki Pi Nasıl Hesaplanır?

Pi'yi hesaplamanın sayısız yolu vardır. Örneğin; bir daire çizdiğimizi hayal edelim ya da gerçekten çizelim, sonra bir cetvel kullanarak çapını ve bir ip parçası kullanarak çevresini ölçebiliriz. Şimdi, dairenin çevresini çapına böldüğümüzde karşımıza Pi’nin değeri çıkacaktır.

Bu yöntem bize Pi sayısının yalnızca 3'e yakın bir yaklaşık değerini verir. NASA'nın Pi sayısının yalnızca yaklaşık 40 basamağını kullandığını söylediğimde, aklımıza gelmiş olabilecek en basit soru, Pi sayısının bu 40 basamağını nasıl bulduğumuzdur.

Dünyanın dört bir yanındaki matematikçiler, yüzyıllar boyunca Pi sayısını hesaplamamıza yardımcı olan teoremler ve formüller geliştirmek için çalıştılar. Pi sayısını bulmak için saygı duyulan yöntemler geliştirdiler.

Pi'nin 'G' ile İlişkisi ve Yerçekimi Sabiti

Yerçekimi ivmesinin karekökünü hesapladığımızda karşımıza sonuç olarak 3,1415 çıkacaktır. Peki bu bir tesadüf mü? Elbette hayır. Bir sarkacın uzunluğu ile zaman periyodu arasındaki ilişkiyi gösteren tipik bir denklem vardır. Bu denklem de T = 2π √L/G ‘dir.

Bir metre uzunluğunda ideal bir sarkaç için zaman periyodu 2 saniyedir. T=2 ve L=1 kullanarak şunu elde ederiz. π2 = g

Pi sayısı böylece yer çekimiyle ilişkilendirilmiş oluyor.

Sonuç olarak Pi'nin ömrü ondalık açılımı kadar sonsuzdur ve bence hala çözülmesini bekleyen gizemli bir sayıdır.