Simpson 1/3 Kuralı

İntegral hesaplamasında kullanılan sayısal bir yöntem. Verilen bir fonksiyonun belirli bir integralinin yaklaşık değerini bulmak için kullanılır. Temel olarak, eğri altındaki alanı parabolik dilimlerle yaklaştırarak hesaplar. Özellikle eğrinin düzgün bir şekilde değişmediği yerlerde iyi sonuçlar verir ve yüksek doğruluk sağlar.

Bu kural ikinci dereceden bir interpolasyon polinomu kullanılmasıyla elde edilir.

[x₀,x₂] aralığında y=f(x) fonksiyonuna y=P₂(x) polinomuyla yaklaşıldığı kabul edilerek aşağıdaki integral hesaplanır.

$I={\int }_{x_0}^{x_2}f(x)dx\cong {\int }_{x_0}^{x_2}[\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}]y_0+\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}]y_1+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}]y_2]dx\text{(denklem 1)}$

İntegral hesaplandıktan sonra gerekli işlemler yapılırsa h=(x₂-x₀)/2 olmak üzere yaklaşık olarak aşağıdaki genel formüle eşit olduğu bulunur.

$I\cong \frac{h}{3}[y_0+4y_1+y_2]$

Hata terimi ise aşağıdaki gibi olup, burada c, x0 ile x2 arasındadır. Hata terimi, gerçek sonuç ile genel formül arasındaki değer farkıdır.

$e=-\frac{1}{90}{f}^{(4)}(c)h^5$

Eğer tam olarak denklem 1'in çözümü yani integralin tam çözümü gerekiyorsa yaklaşık genel çözüm formülü ve hata terimi formülünü birleştirilerek çözüme ulaşılır.

$I=\frac{h}{3}[y_0+4y_1+y_2]-\frac{1}{90}{f}^{(4)}(c)h^5$