Sonsuzluk Nedir? Sonsuzdan Büyük Sonsuz Olabilir mi?

Hayvanlardan bugüne kadar çok şey öğrendik, onların fiziksel özelliklerinden esinlenerek uçak yaptık, sonar cihazını yaptık. Ancak hayvanlardan öğreneceğimiz şeyler sadece fiziksel değil, hayvanların eşleştirme mantığını kullanarak sonsuzluğu da nihayetinde tanımlayabiliriz.

1,2,3... Bu sayı dizisini ne kadar ileriye götürebiliriz? Saniyede üç tane sayı sayabilsek (çok iyimser bir yaklaşım olduğunu saymaya başlayınca göreceksiniz) günde 259.200 , yılda 94.608.000 tane sayı sayabiliriz. Eğer bir insan nefes aldığı saniyeden 100 yaşına kadar sayabilirse 9.460.800.000'e kadar sayabilir. Sadece sayı saymak üzerine kurulu 100 yaşına kadar yaşayabilen bir ailenin var olduğunu varsayarsak bu aile 50 kuşak sonra 473.040.000.000‬ sayısına varacaktır. Bu ailenin keşfedilen ilk insan olduğunu varsayarsak (ilk insan örnekleri 200.000 yıl önce Afrika'da bulunmuştur), şu anda insanlığın 18.921.600.000.000‬'a kadar saymış olması gerekmektedir. Peki sonsuz bu sayı mıdır? Okuyucu muhtemelen tabii ki hayır cevabını vermiştir.

Bir sosyal bilimciye, fizikçiye, matematikçiye, mühendise "Sonsuz nedir?" diye sorulduğunda tamamen farklı 4 cevap almanız muhtemeldir. Farklı cevaplar almanız muhtemelen kafanızı karıştıracaktır ama aslında sonsuz kavramının ne olduğu saymak kavramından gelir. Bu yazıda sayma kavramını farklı bir şekilde, çoğu hayvanın yaptığı şekilde tanımlayacağız.

Hayvanlar Nasıl Sayı Sayar?

Hayvanlarda sayı duygusu, sayı miktarlarının tanınmasını ve karşılaştırılmasını içerir. Toplama gibi bazı sayısal işlemler, sıçanlar ve büyük maymunlar da dahil olmak üzere birçok türde gösterilmiştir. Şempanzelerde kesirleri temsil eden ve kesir ilavesi gözlemlenmiştir. Yaklaşık sayı sistemine sahip geniş bir tür yelpazesi, bu mekanizmanın erken evrimsel kökeni veya çoklu yakınsak evrim olaylarını göstermektedir.

Yani hayvanlar sayıları iki niceliği karşılaştırarak tanımlar. Belki ilkokuldan beri saymayı bu şekilde öğrenmemiz gerekiyordu. Çünkü bu tarz saymak aslında çok büyük matematiksel teorileri doğurur. Biz burada sayı saymayı kümeler arası fonksiyonlar inşa ederek yapacağız fakat bunun için öncelikle bazı bilgileri edinmemiz gerekiyor.

OpenMind BBVA

Tanım (Kardinalite)

$A$ kümesinin kardinalitesi $|A|$ ile gösterilir ve bu kümenin eleman sayısı olarak tanımlanır.

Ölçü teorisi hakkında araştırma yapmış olan okuyucuya bunun kümenin dış ölçüsünden farklı bir kavram olduğunu hatırlatmak isteriz. Bir kümenin kardinalitesi, bize kümenin büyüklüğü hakkında bilgi verir. Şimdi bu kavramı birebir ve örten fonksiyonların perspektifinden düşünelim.

• $f:A\to B$ fonksiyonu birebir fonksiyon olsun o halde $|A|\le |B|$ olur.
• $f:A\to B$ fonksiyonu örten olsun o halde $|A|\ge |B|$ olur.
• $f:A\to B$ fonksiyonu birebir ve örten olsun o halde $|A|=|B|$ olacaktır.

Ayrıca okuyucu için alıştırma olarak $A\subset B$ ise $|A|\le |B|$ eşitsizliğini göstermekle uğraşmasını tavsiye ediyoruz. Bu eşitsizlik işimize yarayacaktır.

Dikkat edilmesi gerekiyor ki eşitliğin sağlanması için $A$'nın $B$'nin öz alt kümesi olmasına gerek yoktur, zaten sonsuzluk kavramını da buradan inşa edeceğiz. Ayrıca yukarıdaki 3. maddeye bakılırsa, iki kümenin aynı büyüklükte olması için gerek ve yeter şartın kümeler arasında birebir ve örten bir fonksiyon bulunması olduğu görülür.

Hayvanların bizden iyi bildiği şey, saymanın bu şekilde yapılması gerektiği. Hayvanlar iki niceliği kıyaslarken niceliklerdeki elemanları birbiriyle eşleştirir, biz bunu daha matematiksel bir yapı olarak yani fonksiyonlarla ifade ediyoruz. Hayvanlar, "Eğer ikinci nicelikte bazı elemanlar bu eşleştirme konusunda dışarıda kalıyorsa bu ikinci nicelikte daha fazla eleman vardır. Tersi durumda, birinci nicelikte daha fazla eleman vardır. Eğer iki nicelikte tam olarak eşleşiyorsa iki nicelikte birbiriyle aynı büyüklüktedir." sonucuna varırlar. Bunu, aşağıdaki görsel ile gösterebiliriz.

Wikiversity

Muhtemelen hayvanlar birebir ve örten bir fonksiyon aramıyordur; ama biz, sonsuzluğu kavramak için, bu tür bir fonksiyon arayacağız. Sonlu sayıda elemana sahip kümelerin kıyaslanması kolaydır, ancak sonlu sayıda elemana sahip olmayan kümelerin karşılaştırılması biraz daha karmaşıktır. Biz bu yazının devamında "sonlu sayıda elemana sahip olmayan kümelerin hepsi sonsuz sayıda eleman içerir" yargısını kıracak, sonsuzluk kavramını ikiye ayıracağız.

Şimdi, tam sayılar ile doğal sayılar kümesinin kardinalitelerini kıyaslayalım, yani hayvanların yaptığı gibi elemanlarını eşleştirelim. Daha matematiksel olarak bir birebir ve örten bir fonksiyon bulalım. Doğal sayılar kümesini sıfırı içerecek şekilde tanımlayalım.

$f:\mathbb{N}\to Z$ fonksiyonunu (burada $Z$ tam sayılar kümesi) $f(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{, }x=0\\ -\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}& \text{, }xtek\\ \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}& \text{, }xnegatifveçift\end{array}$

olarak tanımlayalım. Bu fonksiyonun birebir ve örten olduğunu göstermek okuyucuya bırakılmıştır.

Burada ilginç bir nokta var: Bu fonksiyon, bize tam sayılar ve doğal sayıların aynı niceliğe sahip olduğunu anlatıyor. Yani $|Z|=|\mathbb{N}|$.

İlk etapta önemini anlamamış olabilirsiniz; ancak bu eşitliğin ne kadar ilginç bir eşitlik olduğunu göstermek için bir tanım yapalım.

Tanım: $A$ bir küme olsun. $-A=\{-a|a\in A\}$ olarak tanımlanır.

Yukarıdaki tanım çerçevesinde $Z=\mathbb{N}\cup -\mathbb{N}$, 0 haricinde iki ayrık kümenin birleşimi olarak düşünülebilir. Bu tanımdan dolayı $\mathbb{N}\subset Z$ olur ancak kardinaliteleri eşit olur, bu da yukarıda okuyucuya bıraktığımız eşitsizliğin bir uygulamasıdır. Ayrıca $|Z|=|\mathbb{N}|+|\mathbb{N}|-1$ olur, -1 olmasının sebebi de 0'ın iki kümede de yer almasındandır.

Bu denklem ve üstte bulduğumuz sonuç birleştirilirse, $|Z|=|\mathbb{N}|=|\mathbb{N}|+|\mathbb{N}|-1$ olur; basit sadeleştirmelerle $|\mathbb{N}|=1$ bulunur - ki bu imkansızdır çünkü doğal sayılar bir tane değildir. O halde bu işlem üzerinde bir sadeleştirme yapılamaz; yani bilinenin aksine bir toplama işleminden söz ediyoruz. Buradan, doğal sayılar kümesinin kardinalitesi üzerinde bilinen işlemlerin yapılamayacağı sonucuna varılır.

Doğal sayılar kümesinin kardinalitesi $|\mathbb{N}|={\aleph }_0$ ile gösterilir. Bu niceliğin sayısal bir değeri yoktur; fakat "sayılabilir sonsuz" adı verilir. Buradaki "saymak" gündelik yaşamda kullandığımız anlamıyla "saymak" değil, eşleştirmenin mümkünatı dolayısı ile söylenmiş bir sözdür. Bunu hayvanlar, evrimsel temelleri dolayısıyla bizden daha iyi yapmaktadırlar. İşleri biraz daha irdeleyelim ve rasyonel sayılar kümesine bir göz atalım.

$\mathbb{Q}=\{\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}|a,b\in Zebob(a,b)=1\}$ bu kümeyi $\mathbb{Q}=\{(a,b)|a,b\in Zebob(a,b)=1\}$ olarak düşünelim, aşağıdaki kanıtsavı kullanıp bakış açımızı değiştireceğiz.

Kanıtsav: $f:A\to B$ fonksiyonu birebir ve $g:B\to A$ fonksiyonu da birebir ise, $A$ ile $B$ arasında birebir ve örten bir fonksiyon vardır.

Çılgınca gelecek; ancak $|\mathbb{Q}|=|\mathbb{N}|$ sonucuna varacağız. Bunu görmek için ise ilk eşleştirmeyi rasyonel sayılardan doğal sayılara yapacağız. $f:\mathbb{Q}\to Z$ fonksiyonu $f(n)=\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1}$ fonksiyonu birebirdir. İkinci eşleştirmeyi ise tablo ile yapacağız. Tam sayıları satır ve sütunlara yerleştirelim araya da satır ve sütunu bölüm formunda yazalım.

Science Photo Library

Bu çılgınca yöntem, ilk olarak Georg Cantor tarafından yapılmıştır. Bu tablodaki eşleştirme fonksiyonu da birebirdir; bu da bizi $|Z|=|\mathbb{N}|=|\mathbb{Q}|$ eşitliklerine ulaştırır. İnanılmazdır; ancak ne kadar rasyonel sayı varsa, o kadar tam sayı ve o kadar da doğal sayı vardır ve hepsi de sayılabilir sonsuz kadardır!

Bu kavram, "en küçük sonsuzluk" olarak tanımlanır.

Georg Kantor ve Sonsuzluk Kavramı

Burada biraz Georg Cantor tarafından duruma bakmamız gerekmektedir. Cantor, kümeler kuramını kuran ve sonsuz kavramına ilk defa kavranabilirlik getiren Alman bir matematikçidir. Zamanının çok ötesindeki düşünceleri daha yeni anlaşılmaktadır. Öyle ki sonsuzluğun tek olmadığını düşünmüş ve göstermiştir.

Gerçek sayılar kümesinin doğal sayılar kümesini kapsadığı açıktır; peki onun kardinalitesi hakkında ne söylenebilir? Cantor, bu kez gerçek sayılar kümesinin kardinalitesinin doğal sayılarınkiyle aynı olmadığını gösterdi.

Kanıtsav: $|\mathbb{R}|>{\aleph }_0$

Kanıt: Çok daha çılgınca bir iddia ortaya atıp $[0,1]$ aralığının kardinalitesinin, sayılabilir sonsuzdan büyük olduğunu göstereceğiz. Varsayalım ki $|[0,1]|={\aleph }_0$ olsun, o halde $f:\mathbb{N}\to [0,1]$ birebir ve örten fonksiyonu vardır. Daha farklı bir deyişle bu aralıktaki bütün sayıları kapsayan sonsuz listeler vardır, örneğin $a_1=0.24372293$, $a_2=0.84756129$ ... gibi. $N$ sayısını şöyle tanımlayalım: $n.$ basamağındaki sayı eğer 9'dan küçükse listedeki $n.$ sayı +1 değeri alsın, 9 ise 0 değeri alsın. $N$ hiçbir listede bulunamaz, bu sayede listenin tamamlanmadığı ortaya çıkar - yani birebir ve örten bir fonksiyon yoktur. Bu da $|[0,1]|>{\aleph }_0$ eşitsizliğine götürür. $[0,1]\subset \mathbb{R}$ olduğundan $|\mathbb{R}|>{\aleph }_0$ sonucuna ulaşırız.

Bu kanıtsav bize çok başka şeyler de söyler. Örneğin irrasyonel sayıların kümesini $ir$ ile gösterirsek $\mathbb{R}=ir\cup \mathbb{Q}$ olacağını biliyoruz, $|\mathbb{R}|=|ir|+|\mathbb{Q}|$ olur çünkü irrasyonel sayılar ile rasyonel sayılar ayrıktır. Yukarıdaki eşitlikten $|ir|>{\aleph }_0$ sonucuna varırız. Dahası gerçek sayılar kümesinin kardinalitesi "sayılamaz sonsuz" olarak tanımlanır, buradaki sayılamamaktan kastın ne olduğunu artık biliyoruz. Bu tanım ışığında $|\mathbb{R}|=|ir|$ olduğu sonucuna varırız. Yani irrasyonel sayılar rasyonel sayılardan çok daha fazladır.

Sayılamaz sonsuzluk ise $2^{{\aleph }_0}$ ile gösterilir.

Sonuç

Sonsuzluk kavramının ortaya çıkışı, kümeleri karşılaştırmaktan gelir. Hayvanların karşılaştırma güdüsü, matematikçilerin fonksiyon kurmasına benzetilebilir ve bu benzetmeden dolayı sonlu sayıda elemanlı kümelerin karşılaştırması gibi sonlu sayıda elemanlı olmayan kümelerin de karşılaştırması yapılabilir.

Bir kümenin sonlu olmaması, sonsuz olması anlamına gelmez; sayılabilir ya da sayılamaz sonsuz olduğu anlamına gelir. "Sayılamaz sonsuzluk" genelde kısaca sonsuzlukla sayılabilir; sonsuzluk ise kısaca sayılabilirlik ile anılır; ancak ikisi de sonsuzluğun bir temsilidir.