Matematik Felsefesinde Platonculuk: Matematiksel Platonizm Nedir?

Matematik felsefesi, kendi başına bir araştırma konusu olarak analitik felsefede önemli bir rol oynar. Matematiksel bilginin açıklanması epistemoloji açısından da önemlidir. Soyut kavramlara örnek verebileceğimiz sayılar, kümeler gibi matematiksel nesneler; zaman ve mekandan bağımsız ele alınır. Bu tür nesneler ontoloji ve metafizik konusu olarak kendilerine daha geniş bir düşünce çerçevesinde yer bulur.

Matematiksel Realizm ya da diğer adıyla Matematiksel Platonculuk, soyut matematiksel nesnelerin varlığının dilimizden, düşüncelerimizden ve uygulamalarımızdan bağımsız olduğu metafiziksel görüştür. Elektronların ve gezegenlerin bizden bağımsız olarak var olması gibi sayılar ve kümeler de bizden bağımsız olarak var olurlar. Ayrıca elektronlar ve gezegenler hakkındaki ifadelerin, ilgili oldukları nesneler ve bu nesnelerin bütünüyle nesnel özellikleri tarafından doğru ya da yanlış kılınması gibi, sayılar ve kümeler hakkındaki ifadeler de aynı şekilde doğru ya da yanlış kılınır. Bu nedenle matematiksel doğrular icat edilmez, keşfedilir.

Soyut matematiksel nesnelerin varlığına yönelik en önemli argüman, kökenini Gottlob Frege’den alır ve şu şekilde ilerler. Matematiğin dili, soyut matematiksel nesnelere atıfta bulunmayı ve bu nesneler üzerinde niceleme yapmayı amaçlar. Ayrıca çok sayıda matematiksel teorem doğrudur. Ancak bir cümle, alt ifadeleri amaçladıkları şeyi başarmadıkça doğru olamaz. Dolayısıyla bu ifadelerin atıfta bulunduğu ve üzerinde niceleme yaptığı soyut matematiksel nesneler vardır.

Frege'nin argümanına rağmen, filozoflar matematiksel platonizme karşı çeşitli itirazlar geliştirmişlerdir. Matematiksel platonizm, son birkaç on yıldır matematik felsefesinde en çok tartışılan konular arasında yer almaktadır.

Matematiksel Platonizm Nedir?

Genel olarak Platonculuk, "matematiksel" sıfatını başka bir sıfatla değiştirerek ortaya çıkmış herhangi bir görüştür. "Platonculuk", Platon'un soyut ve ebedi formlar hakkındaki ünlü teorisinden esinlenmiş olsa da bu kavram tarihsel ilham kaynağından bağımsız olarak tanımlanmakta ve tartışılmaktadır. Tartışılan Platonizm tamamen metafizik bir görüştür. Bu nedenle somut epistemolojik içeriğe sahip diğer görüşlerden ayırt edilmelidir.

Matematiksel Platonizm; üç tezin birleşimi olarak kabul edilebilir:

• Varoluş: Sayılar, kümeler ve fonksiyonlar gibi saf matematiğin incelediği nesneler vardır ve bu kavram yalnızca bu nesneler için geçerlidir.
• Soyutluk: Her matematiksel nesne soyuttur ve bir nesne, ancak uzay-zamansal olmayan ve bu nedenle nedensel olarak etkisiz ise soyut olarak adlandırılır.
• Bağımsızlık: Matematiksel nesneler, tüm zeki varlıklardan ve onların dilinden, düşüncesinden ve uygulamalarından bağımsızdır.

Platonculuğun matematiksel önemine ve varoluş argümanına geçmeden önce Matematiksel Platonizme benzer bazı görüşleri inceleyelim.

Nesne Gerçekçiliği

Bu kavram, "varoluş" ve "soyutluk" kavramlarının birleşimi olarak nitelendirilebilir. Nesne gerçekçiliği, çağdaş felsefede genellikle soyut nesnelerin olmadığı görüşüyle tanımlanan ve başka bir yazı altında inceleyeceğimiz nominalizme karşıdır. Nesne gerçekçiliği, Matematiksel Platonizmdeki bağımsızlığı dışarıda bıraktığı için mantıksal olarak ondan daha zayıftır. Dolayısıyla nesne gerçekçiliğinin felsefi sonuçları, Platonizmin sonuçları kadar güçlü değildir.

Matematik felsefesindeki bazı görüşler Platoncu olmamakla birlikte nesne gerçekçidir. Bunun bir örneği, matematiksel nesnelerin varlığını doğrulayan ancak bu nesnelerin matematikçilere ve onların faaliyetlerine bağlı olduğunu veya bunlar tarafından oluşturulduğunu savunan geleneksel sezgici görüşlerdir.

Doğruluk Değeri Gerçekçiliği

"Doğruluk değeri realizmi", her iyi biçimlendirilmiş matematiksel ifadenin; bizim tarafımızdan bilinebilir olup olmamasına ve mevcut matematiksel teorilerimizden mantıksal olarak türetilip türetilmediğine bakılmaksızın, benzersiz ve nesnel bir doğruluk değerine sahip olduğu görüşüdür. Dolayısıyla doğruluk değeri realizmi açıkça metafizik bir görüştür. Ancak Platonizmden ayrıldığı nokta, ontolojik bir görüş olmamasıdır. Çünkü doğruluk değeri realizmi, matematiksel ifadelerin benzersiz ve nesnel doğruluk değerlerine sahip olduğunu iddia etse de bu doğruluk değerlerinin matematiksel nesnelerin ontolojisi açısından açıklanması gerektiği şeklindeki Platoncu fikre bağlı değildir.

İşlevsel Gerçekçilik

İşlevsel gerçekçilik, matematiğin Platonculuk doğruymuş gibi ele alınması ve uygulanması gerektiğini savunan metodolojik bir görüştür. Burada Platonculuk, aşağıdaki gibi bazı matematiksel yöntemleri savunmak için kullanılır:

1. Niceleyici matematiksel nesnelere atıfta bulunuyor ve bunları kapsıyor gibi görünen klasik birinci dereceden diller.
2. Sezgisel mantıktan ziyade klasik mantık.
3. Yapıcı olmayan yöntemler (örneğin bazı varlık ispatları) ve yapıcı olmayan aksiyomlar (örneğin Seçim Aksiyomu).
4. Önerme içermeyen tanımlar.
5. Hilbertçi İyimserlik (her matematiksel problemin prensipte çözülebilir olduğuna dair inanç).

İşlevsel gerçekçiliğe göre bu ve diğer klasik yöntemler tüm matematiksel akıl yürütmede kabul edilebilir ve kullanılabilir yöntemlerdir. Ancak işlevsel gerçekçilik, bu yöntemlerin Platonculuk'a dayanması gerekip gerekmediği konusunda bir tavır almaz. Yani Platonculuk açıkça felsefi, işlevsel gerçekçilik ise her şeyden önce matematiğin kendi içsel metodolojisine ilişkin bir görüştür.

Bu görüşün metodolojisini incelersek öncelikle Matematiksel Platonizmin doğru olduğu varsayılır. O halde matematiğin dili açıkça 1. maddede açıklandığı gibi olmalıdır. Gerçekliğin bağımsız olarak var olan herhangi bir parçası hakkında klasik olarak akıl yürütmenin meşru olması koşuluyla 2. madde de geçerli olur. Platonizm, matematiğin icat edilmek yerine keşfedilmesini sağladığı için matematikçilerin kendilerini yapıcı yöntemler ve aksiyomlarla sınırlamalarına gerek kalmaz ve bu da 3. maddeyi oluşturur. 4. madde için Gödel'e ait güçlü ve etkili bir argüman vardır ki şunu içerir: Tanımlanan nesneler, tanımlarımızdan bağımsız olarak var olduğunda impredikatif tanımlar meşrudur. Son olarak eğer matematik bağımsız olarak var olan bir gerçeklikle ilgiliyse o zaman her matematiksel problemin benzersiz ve belirlenmiş bir cevabı vardır, bu da Hilbertçi İyimserlik için motivasyon sağlar. Böylece 5. madde de sağlanmış olur.

Ancak işlevsel gerçekçilik, Platonizmi açık bir şekilde ima etmez. Doğruluk değeri gerçekçiliği tartışmasının gösterdiği gibi matematiğin Platoncu dili, matematiksel nesnelere atıfta bulunmaktan ve bunlar üzerinde nicelleştirme yapmaktan kaçınacak şekilde analiz edilebilir. Dahası matematiğin dilinin yüzeysel bir analizi haklı gösterilebilse bile bu, nesne gerçekçiliğini destekler; Platonizmi değil.

Frege'nin Varoluş Argümanı

Matematiksel nesnelerin varlığına dair bir argüman şablonunu açıklayalım. Genel biçimde bir argüman geliştiren ilk filozof Gottlob Frege olduğundan buna, "Frege'nin argümanı" diyeceğiz.

Argümanın Yapısı

Frege'nin argümanı iki öncüle dayanır. Bunlardan ilki matematik dilinin semantiği ile ilgilidir. Matematik dilinin tekil terimleri matematiksel nesnelere atıfta bulunmayı ve birinci dereceden niceleyicileri de bu nesneleri kapsamayı amaçlar. İkinci öncül ise "gerçek"tir. Matematiksel teorem olarak kabul edilen cümlelerin çoğu doğrudur.

Matematiksel teoremler olarak kabul edilen ve bir veya daha fazla matematiksel tekil terim içeren cümleleri düşünelim. Gerçeklik gereği bu cümleler doğrudur. S, bu tür bir cümle olsun. Klasik semantik gereği ise S' nin doğruluğu, tekil terimlerin matematiksel nesnelere atıfta bulunmada başarılı olmasını gerektirir. Dolayısıyla Matematiksel Platonizmdeki "varoluş gereği matematiksel nesneler" olmalıdır.

Klasik Semantiği Savunmak

Klasik semantik, matematik dilinin semantik olarak genel dil işlevlerine çok benzediğini iddia eder. Tekil terimlerin ve niceleyicilerin semantik işlevleri sırasıyla nesnelere atıfta bulunmak ve nesneler üzerinde döngü oluşturmaktır. Bu, profesyonel matematikçiler topluluğu tarafından kullanılan yarı biçimsel bir dilin işleyişi hakkında geniş kapsamlı ampirik bir iddiadır. Klasik semantik ilk bakışta güçlü bir akla yatkınlık sergiler. Çünkü matematik dili, sıradan matematik dışı dil ile aynı semantik yapıya sahip gibi görünmektedir.

Gerçeği Savunmak

Doğruluk çeşitli yollarla savunulabilir. Tüm savunmaların ortak noktası, öncelikle matematiksel ifadelerin doğruluklarının değerlendirilebileceği bir standart belirlemek ve ardından matematiksel teoremlerin bu standardı karşıladığını savunmaktır.

Tercih edilebilecek yollardan bir tanesi, matematiğin kendisinden daha temel bir standarda başvurmaktır. Mantıkçılık buna bir örnek teşkil eder. Frege ve diğer mantıkçılar, öncelikle saf mantığın herhangi bir teoreminin doğru olduğunu iddia ederler. Daha sonra, matematiğin belirli dallarının teoremlerinin yalnızca saf mantık ve tanımlardan yola çıkarak kanıtlanabileceğini göstermeye çalışırlar.

Bir başka yol, ampirik bilimin standartlarına başvurmaktır. Quine-Putnam'ın vazgeçilmezlik argümanı buna bir örnektir. İlk olarak ampirik bilimin vazgeçilmez herhangi bir parçasının doğru olma olasılığının yüksek olduğu ve bu nedenle ona inanmakta haklı olduğumuz ileri sürülür. Daha sonra matematiğin büyük bir bölümünün ampirik bilim için vazgeçilmez olduğu iddia edilir. Her iki iddia da doğruysa gerçeğin doğru olma olasılığının yüksek olduğu ve dolayısıyla gerçeğe inanmanın haklı olduğu sonucuna ulaşılır.

Üçüncü bir yol ise matematiğin kendi standartlarına başvurmaktır. Mantık ve fiziğin iddialarının doğruluğunu savunurken mantık ve fiziğin dışındaki standartlara başvurmamıza gerek yoktur. Aksine mantık ve fiziğin, kendi özgün gerekçelendirme standartlarını sağladığını varsayıyoruz. Bu strateji matematik için de geçerlidir. Bu yol, son yıllarda "matematiksel doğalcılık" başlığı altında ilgi görmüştür.

Ontolojik Bağlılık Kavramı

Frege'nin argümanının bazı versiyonları, ontolojik bağlılık kavramı çerçevesinde ifade edilir. Quine Kriteri'ne göre; birinci dereceden bir cümle, ontolojik olarak, cümlenin doğru olması için değişkenlerin aralığında olduğu varsayılması gereken nesnelere bağlıdır. O halde, klasik semantikten, matematiğin birçok cümlesinin ontolojik olarak matematiksel nesnelere bağlı olduğu sonucu çıkar.

Bunu bir örnekle ele alalım. Tekil terimlerin veya birinci dereceden niceleyicilerin normal bir uzantısal oluşumunu içeren tipik bir matematiksel teorem, S olsun. Klasik semantiğe göre bu ifadeler, matematiksel nesnelere atıfta bulunmayı veya matematiksel nesneler üzerinde bir aralık oluşturmayı amaçlar. S'nin gerçek olması için değişkenlerin aralığında matematiksel nesneler bulunmalıdır. Quine Kriteri'ne göre bu, S'nin ontolojik olarak matematiksel nesnelere bağlı olduğu anlamına gelir.

Frege'nin argümanının "ontolojik bağlılık" terimi kullanılmadan geliştirildiğini unutmamak gerekir. Ontolojik bağlılık tanımına yönelik herhangi bir meydan okuma, Frege'nin argümanıyla bağlantısızdır.

Varoluştan Matematiksel Platonizme

Frege'nin argümanına dayanarak varoluşu kabul ettiğimizi varsayalım. Gördüğümüz gibi bu, henüz Matematiksel Platonizmi kabul etmek anlamına gelmiyor. Yazının başında bahsettiğimiz gibi Matematiksel Platonizm; varoluşa "soyutluk" ve "bağımsızlık" olmak üzere ek iki iddianın eklenmesinin sonucudur.

Soyutluk, felsefe standartlarına göre tartışmasız kalmıştır. Onu sorgulayan az sayıdaki filozoflar arasında Maddy (saf olmayan kümelerle ilgili) ve Bigelow (kümeler ve çeşitli sayı türleriyle ilgili) yer almaktadır. Bu göreceli tartışmasızlık, soyutluğun açık savunmalarının az sayıda geliştirildiği anlamına gelir.

Matematiksel Platonizme Yönelik İtirazlar

Matematiksel Platonizme karşı çeşitli itirazlar geliştirilmiştir. Bunların en önemlilerini aşağıdaki başlıklar altında inceleyelim.

Epistemolojik Argüman

En etkilisi, muhtemelen Paul Benacerraf'tan ilham alan itirazdır. Amerikalı filozof Hartry Field'ın 1989'da geliştirdiği Benacerraf'ın itirazının iyileştirilmiş versiyonu, üç öncüle dayanmaktadır:

1. Matematikçiler güvenilirdir; yani neredeyse her matematiksel önerme S için, eğer matematikçiler S'yi kabul ediyorsa, o zaman S doğrudur.
2. Matematiğe olan inancın haklı çıkarılabilmesi için en azından prensipte 1. öncülde bahsedilen güvenilirliğin açıklanabilir olması gerekir.
3. Eğer Matematiksel Platonizm doğruysa bu güvenilirlik prensipte bile açıklanamaz.

Bu üç öncül doğruysa Matematiksel Platonizmin matematiğe olan inancımızı zayıflattığı sonucu çıkacaktır. Peki öncüller doğru mudur? İlk iki öncül nispeten tartışmasızdır. Platoncuların çoğu zaten 1. öncüle bağlıdır ve 2. öncül sağlam görünmektedir. Eğer bir inanç oluşum prosedürünün güvenilirliği prensipte bile açıklanamazsa o zaman prosedür tamamen şans eseri işliyor gibi görünür ve bu da bu şekilde üretilen inançlar için sahip olduğumuz herhangi bir gerekçeyi zayıflatır. 3. öncül ise çok daha tartışmalıdır. Field bu öncülü matematiksel iddialarımızın doğruluk değerlerinin uzay-zaman dışında bir alemde bulunan Platonik varlıkları içeren olgulara bağlı olduğunu ve bu nedenle prensipte bile bizden nedensel olarak izole olduklarını gözlemleyerek savunur. Ancak bu savunma, söz konusu güvenilirliğin yeterli bir açıklamasının mutlaka bir nedensel korelasyon içermesi gerektiğini varsayar.

Metafiziksel Bir İtiraz

Benacerraf'ın bir diğer ünlü makalesi, Matematiksel Platonizme karşı metafiziksel bir itiraz geliştirir. Benacerraf, doğal sayıların, $\omega$ dizisindeki konumlar olmaları nedeniyle sahip oldukları özelliklerden başka hiçbir özelliğe sahip olmadıklarını savunan; günümüzde yapısalcı bir görüş olarak bilinen yaklaşımı savunarak başlıyor. Örneğin 3 sayısının 2'den sonra gelmesi, 6'nın yarısı olması ve asal olması gibi yapısal olarak tanımlanmış ilişkisel özelliklere sahip olmaktan başka bir özelliği yoktur. Dolayısıyla sayılar aslında nesne değildir çünkü sayıların özelliklerini verirken yalnızca soyut bir yapıyı karakterize ederiz ve ayrım; yapının elemanlarının, aynı yapının diğer elemanlarıyla olan ilişkilerinden başka hiçbir özelliğe sahip olmamasında yatmaktadır. Başka bir deyişle Benacerraf, yalnızca yapısal özelliklere sahip nesnelerin olamayacağını iddia eder.^[1]