Matematik Felsefesinde Yapılandırmacılık Nedir?

Yapılandırmacı matematik, klasik matematikten "vardır" ifadesinin "inşa edebiliriz" şeklinde yorumlanmasıyla ayrılır. Yapılandırıcı yaklaşımda, yalnızca varoluşsal niceleyiciyi değil; tüm mantıksal bağlaçları ve niceleyicileri bu mantıksal ifadeleri içeren bir önermenin kanıtını nasıl inşa edeceğimize dair talimatlar olarak yeniden yorumlamamız gerekir. Klasik matematikte önermeleri doğrulamak için onun değilini varsayarak ve ardından bu varsayımdan bir çelişki türeterek matematiksel ispat yapmak mümkündür. Ancak yapılandırmacı matematikte niceleyicileri doğrulamaya dayalı bir yol izlenmektedir.

Dışlanmış Orta İlkesi

Üçüncü Halin İmkansızlığı olarak da belirtilen Dışlanmış Orta İlkesi bize, bir $p$ önermesiyle ilgili yalnızca iki olasılık olduğunu söyler; ya $p$ doğrudur ya da $p$'nin olumsuzlaması (değili) doğrudur. Matematiksel gösterimi sonraki anlatımlarda da anlaşılır olması için şu şekildedir:

$(p\vee \neg p)$

Bu ilkeye göre $\neg p$'yi iddia etmek, $p$ 'nin bir çelişkiyi ima ettiğini göstermektedir. Ancak çoğu zaman matematikçilerin ne bir kanıtı ne de bir ispatı olacaktır. Bunu görebilmek için Goldbach Sanısı'nı düşünmek yeterli olacaktır: 2'den büyük her çift tam sayı, iki asalın toplamı olarak ifade edilebilir. Bu hipotez, 1742'de Goldbach'ın Euler'e yazdığı mektupta ilk kez ortaya atılmasından bu yana birçok matematikçinin çabalarına rağmen ne kanıtlanabilmiş ne de çürütülebilmiştir. Goldbach Sanısı, matematikteki eski ve en çok bilinen çözülmemiş problemlerden biridir. Bu gerçek, yapılandırmacı matematik yaklaşımını anlamamıza yardımcı olacaktır.

Mantığın Yapıcı Yorumu

Matematiğin tam anlamıyla hesaplamalı bir şekilde geliştirilmesi, klasik matematiğin dayandığı birçok yorumu olanaksız kılmaktadır. Yapıcı çalışmalar ortaya koyabilmek için klasik yorumlardan yapıcı yorumlara yönelmek gerekmektedir. Bu noktada matematikteki yapılandırmacılığın çeşidi diyebileceğimiz farklı yaklaşımlardan bahsetmek yerinde olacaktır.

Matematiksel Sezgicilik

Matematiksel sezgicilik, Hollandalı matematikçi Luitzen Egbertus Jan Brouwer tarafından ortaya atılan bir matematik felsefesi yaklaşımıdır. Yeri gelmişken yazıda geçen sezgicilik kavramı ile her seferinde "matematiksel sezgicilik" kast edildiğini belirtmekte fayda var.

Brouwer, topolojide çığır açan çalışmalar yapan ve genç yaşta ünlenen parlak bir matematikçiydi. Hayatı boyunca bağımsız bir zihne sahipti ve bu özelliği onu birçok matematikçi, özellikle de David Hilbertle çatışmaya soktu. Brouwer 24 yaşında, solipsist içeriği matematik felsefesinin habercisi olan Yaşam, Sanat ve Mistisizm adlı kitabını yazdı.

Doktora tezinde, sezgiciliğin temelleri ilk kez formüle edildi ancak henüz bu isim altında ve nihai biçimde değildi. 1913'ten itibaren Brouwer, doktora tezinde formüle ettiği fikirleri tam bir matematik felsefesine dönüştürmeye giderek daha fazla kendini adadı. Sadece sezgicilik felsefesini rafine etmekle kalmadı, aynı zamanda özellikle "süreklilik teorisi" ve "kümeler teorisi"ni bu ilkelere göre yeniden ele aldı.

O zamana kadar Brouwer; Cambridge, Viyana ve Göttingen gibi dönemin bilimsel merkezlerinde sezgicilik üzerine etkili konferanslar veren ünlü bir matematikçiydi. Felsefesi birçok kişi tarafından garip bulunsa da zamanın en ünlü matematikçilerinden bazıları, Platoncu Kurt Gödel bunlardan biriydi, tarafından klasik akıl yürütmeye ciddi bir alternatif olarak ele alındı.

Sezgicilik, matematiğin zihnin bir yaratımı olduğu fikrine dayanır. Bir matematiksel ifadenin doğruluğu, ancak onu doğrulayan zihinsel bir kurgu yoluyla kavranabilir ve matematikçiler arasındaki iletişim, farklı zihinlerde aynı zihinsel süreci yaratmanın bir aracı olarak hizmet eder.

Matematiğe dair bu görüşün, matematiğin günlük pratiği üzerinde geniş kapsamlı etkileri vardır. "Riemann hipotezi" gibi şu anda ne kendisinin ne de olumsuzunun kanıtı bulunmayan önermeler vardır. Sezgicilikte bir önermenin olumsuzunu bilmek, önermenin doğru olmadığını kanıtlayabilmek anlamına geldiğinden bu, hem A önermesinin hem de A önermesinin değilinin sezgisel olarak geçerli olmadığı anlamına gelir. Önermeler zaman içinde kanıtlanabilir hale gelebilirler ve bu nedenle öncesinde sezgisel olarak geçerli kabul edilebilirler.

Sezgiciliğin İki Eylemi

Sezgiciliğin ilk aşamasına göre matematiği, matematiksel dilden ve dolayısıyla teorik mantık tarafından tanımlanan dil olgularından tamamen ayırarak özünde dilsiz bir zihinsel faaliyet olduğunu kabul etmek gerekir.

Sezgiciliğin ikinci aşaması ise yeni matematiksel varlıklar yaratmanın iki yolunu kabul etmektir. İlk yol, daha önce edinilmiş matematiksel varlıkların serbestçe ilerleyen sonsuz dizileri şeklinde yaratımdır. Diğer yol ise daha önce edinilmiş matematiksel varlıklar için varsayılabilir özelliklerin; bu özellikler belirli bir matematiksel varlık için geçerli olması durumunda, bu varlığa eşit olarak tanımlanmış tüm matematiksel varlıklar için de geçerli olması koşulunu sağlamasıdır.

Brouwer'ın felsefesinin temelini sezgiciliğin bu iki eylemi oluşturur. Brouwer yalnızca bu iki eylemden sezgisel matematik alanını yaratır. Bu noktada sezgicilik, matematiksel Platonizm'den ayrılır. Çünkü bizden bağımsız bir matematiksel gerçeklik varsaymaz. Dolayısıyla Brouwer'ın sezgiciliği diğer matematik felsefelerinden ayrı durur.^[1]

Brouwer-Heyting-Kolmogorov (BHK) Yorumu

Sezgisel matematikçinin kullandığı mantığı tanımlamak için öncelikle zihnin matematiksel süreçlerini analiz etmek gerekiyordu, bu analizden mantık çıkarılabilirdi. 1930'da Brouwer'ın en ünlü öğrencisi Arend Heyting, sezgiselcinin kullandığı mantığı o kadar açık bir şekilde karakterize eden bir dizi biçimsel aksiyom yayınladı ki bunlar evrensel olarak sezgisel mantık aksiyomları olarak bilinir hale geldi:

• $(P\vee Q)$ kanıtlamak için ya $P$'nin kanıtına ya da $Q$'nun kanıtına sahip olmalıyız.
• $(P\wedge Q)$ kanıtlamak için hem $P$'nin hem de $Q$'nun kanıtına ihtiyacımız vardır.
• $(P\to Q)$ ispatı, herhangi bir P ispatını Q'nun ispatına dönüştüren bir algoritmadır.
• $\neg P$ kanıtlamak için $P$ şunu ima eder ki $0=1$.
• $\exists xP(x)$ kanıtlamak için bir $x$ nesnesi oluşturmalı ve $P(x)$'in geçerli olduğunu kanıtlamalıyız.
• $\forall x\in SP(x)$ ispatı, herhangi bir $x$ nesnesi ve $x\in S$ doğruluğunu kanıtlayan verilere uygulandığında $P(x)$' in geçerli olduğunu kanıtlayan bir algoritmadır.

Özyinelemeli Yapıcı Matematik

1940'ların sonlarında Rus matematikçi Andrey Andreyevich Markov, esasen sezgisel mantıkla "özyinelemeli fonksiyon teorisi" olan alternatif bir yapıcı matematik biçimi RUSS'ı geliştirmeye başlamıştır. Bu çeşitte nesneler Gödel numaralandırması yoluyla tanımlanır ve işlemlerin tümü özyinelemelidir. RUSS ile Turing, Church ve diğerlerinin 1936'da hesaplanabilir süreçlerin doğasını açıklığa kavuşturan çalışmalarından sonra geliştirilen klasik özyinelemeli analiz arasındaki temel fark, RUSS' ta kullanılan mantığın sezgisel olmasıdır.

Markov, matematiksel kurguların farklı bir mantık biçimi gerektirdiğini kabul eder. Ancak kurgu sürecinin dil dışı veya zihinsel olduğu görüşüne katılmaz. Bunu, bilgisayarda yürütülebilen bir süreç gibi gerçek olarak anlar. Dolayısıyla Markov, yapıcı nesnelerle zihinsel olarak tasarlanmış nesneleri değil, alfabedeki harfler gibi somut nesneleri, yani ayırt edilebilir işaretler koleksiyonunu anlar.

Buna göre Markov, Brouwer'ın matematiğin ve matematiksel işlemlerin belirli nesnelerin yeterince açık olduğu ve bu nesnelerin bu işlemlerle manipüle edilmesinin tutarsızlıklara yol açamayacağı varsayımını reddeder ve matematiksel önermeleri serbest matematiksel yaratımın salt imgeleri olarak gören görüşünü göz ardı eder.

Sonuç olarak Markov'un görüşüne göre yapıcı matematik, yapıcı süreçleri ve bu süreçler tarafından üretilen yapıcı nesneleri inceler; bu da yeni bir mantık biçimine yani Markov'un anlamında yapıcı matematiksel mantığa ihtiyaç duyar.^[2]

Bishop'ın Yapıcı Matematiği

Matematikte yapıcılığın profilini yükseltmek için gereken şey; Brouwer'ın klasik olmayan ilkelerine veya özyinelemeli fonksiyon teorisinin mekanizmasına bağlı kalmadan, derin analizin kapsamlı bir yapıcı gelişiminin mümkün olduğunu gösterecek üst düzey bir matematikçiydi. Bu ihtiyaç, 1967'de Errett Bishop'ın Yapıcı Analizin Temelleri adlı monografisinin yayınlanmasıyla karşılandı. Bishop, bu çalışmasıyla Hilbert tarafından çok güçlü bir şekilde ifade edilen şu yaygın görüşü yalanlamış oldu:

Dışlanmış Orta İlkesi'ni matematikçiden almak, astronomun teleskobu kullanmasını veya boksörün yumruklarını kullanmasını yasaklamakla aynı şey olurdu.

Bishop'ın matematiği olan BISH, okunabilirlik avantajına sahip olmakla kalmaz; Bishop'ın kitabının herhangi bir sayfasını açtığınızda gördüğünüz şey açıkça analiz olarak tanınabilir, sezgisel veya özyinelemeli matematikten farklı olarak birçok farklı yoruma izin verir. Sezgisel matematik, özyineleyici yapıcı matematik ve hatta klasik matematik, BISH için modeller sunar.

Deneyimler, sezgisel mantığa sınırlamanın matematikçileri her zaman algoritmik olarak tanımlanabilecek bir şekilde çalışmaya zorladığını göstermektedir; bu nedenle algoritmik matematik, yalnızca sezgisel mantık kullanan matematikle eşdeğer görünmektedir. Eğer durum böyleyse sezgisel mantığı kullanarak yapıcı matematiği yalnızca "yapıcı nesneler sınıfı" üzerinde değil, makul bir şekilde tanımlanmış herhangi bir matematiksel nesne üzerinde uygulayabiliriz.

Yapıcı matematiğin temel özelliği olarak mantığı ele alan bu görüş; Brouwer, Heyting, Markov, Bishop ve diğer yapılandırmacı öncülerin inancının bir parçası olan matematiğin mantık üzerindeki üstünlüğünü yansıtmamaktadır. Öte yandan, uygulamadaki yapıcı matematiğin özünü yakalamaktadır.

Gerçek matematik yapmak için sezgisel mantıktan daha fazlası gerekmektedir. Bishop için matematiğin yapı taşları, pozitif tam sayılardı. BISH için erken dönem biçimsel sistemler arasında Myhill'in sayı, küme ve fonksiyonun temel kavramlarına dayanan aksiyomatik temeli; Feferman' ın açık matematik sistemi ve Friedman' ın sezgisel ZF küme teorisi yer alıyordu. Bishop' ın matematiğini anlamak için bu biçimsel temeller detaylıca incelenebilir.

Martin-Löf'ün Yapıcı Tip Teorisi

Martin-Löf, 1966-68 yılları arasında Avrupa'da verdiği derslere dayanarak Yapıcı Matematik Üzerine Notlar adlı eserini yayınladı. Martin-Löf'ün kitabı, BISH'ten ziyade RUSS'ın ruhuna uygundu. Martin-Löf daha sonra dikkatini Bishop tarzı yapıcı matematiğin temeli olarak tip teorisine yöneltti. Makine öğreniminin temeli üzerine fikirleri, kendi sözleriyle şöyledir:

Her matematiksel nesne belirli bir tür veya tiptedir ve her zaman türüyle birlikte verilir. Bir tür, o türden bir nesne oluşturmak için ne yapmamız gerektiğini açıklayarak tanımlanır. Başka bir deyişle bir tür, o türden bir nesne olmanın ne anlama geldiğini anlıyorsak iyi tanımlanmıştır. Dolayısıyla örneğin $N\to N$ ($N$'den $N$'e fonksiyonlar) bir türdür. Bunun nedeni temel özyinelemeli fonksiyonlar gibi belirli sayı kuramsal fonksiyonları bilmemiz değil, genel olarak sayı kuramsal fonksiyon kavramını anladığımızı düşünmemizdir.

Sonuç

Matematikçilerin matematiğin yapıcı içeriğini analiz etmek için izlediği geleneksel yol, klasik mantığı takip eden yoldur; gerçek bir bilgisayar tarafından verilemeyen kararlardan kaçınmak için matematikçi, özyinelemeli fonksiyon teorisi gibi katı algoritmik sınırlar içinde kalmak zorundadır. Buna karşılık yapıcı matematikçinin izlediği yol, hesaplama açısından kabul edilemez kararları otomatik olarak ele alan sezgisel mantığı takip eder. Bu mantık, matematiği yapıcı sınırlar içinde tutmak için yeterlidir. Böylece matematikçi; bir analist, cebirci, geometrist veya diğer matematikçiler gibi doğal bir tarzda çalışmakta özgürdür.

Karşılaşılabilecek kısıtlamalar, yalnızca sezgisel mantığın getirdiği kısıtlamalardır. Bishop ve diğerlerinin gösterdiği gibi Hilbert tarafından ortaya atılan ve bugün hala yaygın olarak kabul gören, sezgisel mantığın matematiğin gelişimini imkansız kılacak kısıtlamalar getirdiği inancı açıkça yanlıştır.

Derin, modern matematiğin büyük bölümü tamamen yapıcı yöntemlerle üretilebilir ve üretilmiştir. Dahası yapıcı matematik ile programlama arasındaki bağlantı, soyut matematiğin bilgisayar üzerinde gelecekteki uygulaması ve geliştirilmesi için büyük umut vaat etmektedir.