Matematik Felsefesinde Nominalizm Nedir?

Matematiksel nominalizm; matematiksel nesnelerin, ilişkilerin ve yapıların ya hiç var olmadığını ya da soyut nesneler olarak var olmadığını (ne uzay-zamanda yer alırlar ne de nedensel güçlere sahiptirler) savunan bir görüştür. Genel olarak matematiksel nominalizmin iki biçimi vardır: Matematiksel nesnelere bağlılıktan kaçınmak için matematiksel (veya bilimsel) teorilerin yeniden formüle edilmesini gerektiren görüşler ve matematiksel veya bilimsel teorileri yeniden formüle etmeyen, bunun yerine bu teoriler kullanıldığında matematiksel nesnelere bağlılığın söz konusu olmadığını açıklayan görüşler.

Matematiksel Nominalizm ve Matematiksel Platonizm Karşılaştırması

Daha önce matematiksel Platonizm hakkındaki yazımızda nominalizm ile platonizmin kısa bir karşılaştırmasını yapmıştık. Bu yazımızda detaylandıracak olursak matematik hakkındaki ontolojik tartışmalarda bu iki görüşün ön plana çıktığını söyleyebiliriz.

Matematiksel Platonizme göre matematiksel nesneler (ayrıca matematiksel ilişkiler ve matematiksel yapılar da her zaman dahil edilmek üzere) var olur ve soyuttur. Matematiksel nominalizme göre matematiksel nesneler var olmaz veya en azından matematiği anlamlandırmamız için var olduklarının varsayılması gerekmez. Dolayısıyla bir nominalistin görevi, matematiksel nesnelerin varlığına bağlı kalmadan matematiği nasıl yorumlayacağımızı göstermektir. Bunu başarmak için matematik felsefesindeki nominalistler, metafizikle (matematiksel nesnelerin var olup olmadığı), epistemolojiyle ( bu varlıklar hakkında ne tür bir bilgiye sahip olduğumuz) ve bilim felsefesiyle (matematiksel varlıkların varlığına bağlı kalmadan matematiğin bilimdeki başarılı uygulamasını nasıl anlamlandıracağımız) bağlantılar kurar.

Nominalist görüşler çeşitlidir ve bu bağlantılar, nominalist görüşlerin çeşitliliğinin kaynaklarından biridir. Nominalizmin çeşitli versiyonları şu şekildedir: Kurgusalcılık, modal yapısalcılık, yapılandırmacılık, kaçamak görüş, figüratifçilik, indirgemeci nominalizm , agnostik nominalizm. 20. yüzyılda matematik felsefesinde nominalizm hakkındaki tartışmalar, kabaca W. V. Quine ve Nelson Goodman'ın yapılandırmacı nominalizme yönelik geliştirdikleri çalışmalarla başlamıştır.

Matematiksel nominalizm, soyut nesneler hakkındaki anti-realizm biçimidir. Bu, evrenseller hakkındaki geleneksel nominalizm problemlerinden bağımsız bir konudur. Evrensel, farklı varlıklar tarafından somutlaştırılabilen bir şeydir. Soyut nesneler ise ne mekânsal ne de zamansal olduklarından somutlaştırılamazlar. Dolayısıyla matematiksel nominalizm ve evrenseller hakkındaki nominalizm birbirinden bağımsızdır.

Matematiksel Kurgusalcılık

Harry Field, bilimin nominalleştirilmesi için zekice bir strateji sunmuştur. Platoncu görüşlerin aksine bilimde matematiğin faydasını açıklamak için matematiksel teorilerin doğruluğunu varsaymaz. Ona göre matematiksel nesnelere bağlı kalmadan matematiğin başarılı uygulamalarını açıklamak mümkündür.

Field'ın yaklaşımının nominalist doğası, matematiksel nesnelerin var olduğunun varsayılmamasından kaynaklanmaktadır. Dolayısıyla herhangi bir varoluşsal matematiksel ifade yanlıştır ve herhangi bir evrensel matematiksel ifade doğrudur. Field, bilimsel teorilerin formülasyonunda matematiksel nesnelerden nasıl vazgeçileceğini gösteren bir strateji geliştirerek vazgeçilmezlik argümanını reddeder ve nominalist bir duruşun ifade edilmesi için güçlü gerekçeler sunar.

İlk bakışta "sonsuz sayıda asal sayı vardır" ifadesinin yanlış olduğunu söylemek sezgisel olarak ters gelebilir. Ancak sayılar mevcut değilse bu ifadenin gerçek doğruluk değeri budur. Bu endişeye yanıt olarak Field, bir Platoncu ile sözlü bir anlaşmaya varılabilecek kurgusal bir operatör sunar. Söz konusu durumda "aritmetiğe göre sonsuz sayıda asal sayı vardır" denilebilir ki bu açıkça doğrudur. Kurgusal bir operatörün kullanımı göz önüne alındığında ortaya çıkan görüşe "matematiksel kurgusalcılık" denir.

Matematiksel kurgucu tarafından geliştirilen isimleştirme stratejisi, birbiriyle ilişkili iki hamleye dayanmaktadır. Birincisi, matematiğin amacını değiştirmektir. Bu görüşe göre matematiğin doğru normu muhafazakârlıktır. Bir matematiksel teori, fiziksel dünya hakkındaki her tutarlı teoriyle uyumluysa muhafazakârdır. Bu teoriler; kümeler, fonksiyonlar vb. gibi matematiksel nesnelere herhangi bir referans veya niceleme içermez. Matematiksel kurgucu stratejinin ikinci hamlesi, nominalist öncülleri sağlamaktır. Field bunu, Newton yerçekimi teorisinde uygulamıştır. Ayrıca saygın bir geleneğe sahip bir çalışmayı detaylandırır: Hilbert'in geometri aksiyomatizasyonu. Kabaca söylemek gerekirse Field'ın ortaya koyduğu şey, Hilbert'in uzay hakkındaki sonuçlarını uzay-zamana nasıl genişletebileceğiydi.

Tabi ki matematiksel kurgusalcı yaklaşımın bazı sorunları vardır. Matematiksel kurgusalcı bakış açısına göre, matematiksel nesnelerin var olmadığı varsayımıyla bu nesneler hakkında nasıl bilgi edinebileceğimiz sorunu ortadan kalkar. Ancak bunun yerine başka bir sorun ortaya çıkar: Matematikçi ile matematikçi olmayan kişiyi birbirinden ayıran nedir? Buradaki fark (Field'a göre) matematiksel bilgiye sahip olmak veya olmamakla ilgili değil, mantıksal bilgiyle ilgilidir. Yani hangi matematiksel teoremlerin belirli matematiksel ilkelerden türediğini ve hangilerinin türemediğini bilmektir.

Matematiksel kurgusalcı, mantık için bir epistemoloji sağladığı sürece epistemolojik sorun çözülmüş olur. Epistemolojik probleme benzer şekilde matematiğin uygulanması problemi de kısmen matematiksel kurgusalcı tarafından çözülmektedir. Field, matematiksel teorilerin doğruluğunu gerektirmeyen bir matematik uygulaması için açıklama sunar. Bu, matematiğin ilgili anlamda muhafazakâr olmasını gerektirir. Bununla birlikte Field'ın, küme teorisinin muhafazakârlığını kanıtlama girişiminin bir parçası olarak küme teorisinin aksiyomlarına küme teorisi dışı sözcükleri dahil etme biçiminin kısıtlayıcı olması nedeniyle matematiğin muhafazakârlığını kanıtlayıp kanıtlamadığı belirsizdir. Ayrıca kuantum mekaniğinin nominalleştirilmesi, matematiksel kurgusalcılar için hâlâ büyük bir sorun olmaya devam etmektedir.

Modal Yapısalcılık

Modal yapısalcılık, iki özelliği içeren bir matematik yorumlama planı sunar: Matematiğin ana konusu olarak yapılara vurgu yapılması ve matematiği modal mantık açısından yorumlayarak matematiksel nesnelere yapılan atıfların tamamen ortadan kaldırılması. Bir modal yapısalcı için ana fikir; matematiğin yapıların incelenmesiyle ilgilenmesi fakat bu incelemenin gerçek yapılara değil, yalnızca mümkün olası yapılara yönelik olmasıdır. Dolayısıyla modal yorumlama, gerçek matematiksel yapılara bağlı değildir; nesne olarak varlıklarına veya bu yapıları oluşturan herhangi bir nesneye bağlılık yoktur. Bu şekilde, onlara yönelik ontolojik bağlılıktan kaçınılır. Tek iddia, söz konusu yapıların mümkün olduğudur.

Modal yapısalcı anlayışta matematik, matematiksel yapılar ile maddi durumu temsil eden yapılar arasında uygun bir izomorfizm kurularak uygulanır. Burada iki zorlukla karşı karşıya kalınır. Biri, matematiksel ve matematiksel olmayan alanlar arasındaki yapısal eşdeğerliğin ontolojik statüsüyle ilgilidir. İkincisi ise matematiksel ve matematiksel olmayan alanlar arasındaki yapısal eşdeğerliğin epistemolojik statüsüdür.

Bu öneri bir ikileme yol açar. Ya eşdeğerliğin geçerli olduğunu bildiğimiz varsayılır ve epistemolojik soru geçersiz kılınır ya da eşdeğerliğin geçerli olduğunu bilmediğimiz varsayılır ve izomorfizm hakkındaki koşul sağlatılır. Sorun şu ki fiziksel teorileri formüle etmek için bilinen matematik kullanılır. Mesele, bu kullanımı açıklamaktır. Yani ilgili matematiksel yapıların fiziksel yapılarla izomorfik olduğunu anlamamızı sağlayan temelleri ortaya koymaktır.

İndirgemeci Nominalizm

İndirgemeci nominalistlere göre matematiksel teorilerin bilim için vazgeçilmez olduğunu savunmak, matematiksel ve bilimsel teorilerin doğru olduğunu iddia etmek ve matematiksel nesnelerin varlığını reddetmek tamamen tutarlıdır. Yani gerçeğin indirgemeci bir görüşü savunulmaktadır.

İndirgemeci nominalizm, matematiksel söylemin herhangi bir yeniden formülasyonunu gerektirmeyen ve matematiğin vazgeçilmezliğini kabul eden bir yol sunar. Jody Azzouni'nin belirttiği üzere iki bağlılık ayırt edilmelidir: niceleyici bağlılık ve ontolojik bağlılık. Teorilerimiz varoluşsal olarak nicelenmiş ifadeler içerdiğinde bir niceleyici bağlılık söz konusudur. Ancak Azzouni, varoluşsal nicelemenin ontolojik bağlılık için yeterli olmadığını vurgular. Ontolojik bir bağlılık kurmak, yani belirli bir nesnenin varlığına bağlı kalmak için var olan şey için bir ölçüt karşılanmalıdır (nedensel etkinlik, gözlemlenebilirlik, tespit edilebilirlik vb.). Burada Azzouni'nin tercih ettiği ve kolektif olarak benimsendiğini düşündüğü ölçüt, ontolojik bağımsızlıktır. Var olan şeyler dilsel pratiklerimizden ve psikolojik süreçlerimizden ontolojik olarak bağımsız şeylerdir. Önemli olan nokta şudur ki eğer bir şeyi sadece dilsel pratiklerimiz veya psikolojik süreçlerimiz aracılığıyla uydurduysak onun varlığına bağlı kalmamıza gerek yoktur.

Willard Van Orman Quine, en iyi teoriler için vazgeçilmez olan nesneler söz konusu olduğunda nicelleştirici ve ontolojik bağlılıkları tanımlar. Bu nesneler yeniden ifade yoluyla ortadan kaldırılamayan ve ilgili teorileri düzenlerken nicelleştirme yapmamız gereken nesnelerdir. Quine ölçütüne göre bunlar, tam olarak ontolojik olarak bağlı olduğumuz nesnelerdir. Azzouni, bu özdeşleştirmeye karşı çıkmamız gerektiğinde ısrar eder. Konuyla ilgili şu ifadelerde bulunur:

Doğru matematiksel ifadeleri kelimenin tam anlamıyla doğru kabul ediyorum. Bu tür, kelimenin tam anlamıyla doğru matematiksel ifadelerin, ampirik bilim için vazgeçilmez olmadığını gösterme girişimlerinden vazgeçiyorum ve yine de matematiksel terimleri hiçbir şeye atıfta bulunmuyormuş gibi tanımlayabiliyorum. Quine'in ölçütü onları bozmadığı sürece varoluşsal ifadeler ontolojiden arındırılmıştır.

Goodman ve Quine'in Nominalizmi

Felsefi bir eğilim veya araştırma programı olarak nominalizm, büyük ölçüde Nelson Goodman'ın Görünüşün Yapısı başta olmak üzere çeşitli eserlerinde başlattığı yaklaşımla özdeşleştirilmiştir. Goodman için nominalizmin belirleyici özelliği, felsefi ve mantıksal yapıda sınıfların varsayımının reddedilmesiydi. Quine, Goodman ile birlikte yazdığı ve matematik felsefesinde 2. Dünya Savaşı sonrası nominalizmi başlatan Yapıcı Bir Nominalizme Doğru Adımlar adlı ünlü ortak makaleyle bu araştırma programına katılmıştır. Bu makalenin açılış cümlesi olan "Soyut varlıklara inanmıyoruz!", son dönem nominalizminin sloganı olarak da kullanılabilir.^[2]

Sonuç

Matematiksel nominalizmi savunan bir kişi, diğer alanlardaki nominalist yaklaşımları da zorunlu olarak benimsemek zorunda değildir; dolayısıyla bu tutum, kendi içinde bir çelişkiye neden olmaz. Soyut matematiksel nesnelerin varlığını inkar ederken evrensellerin veya diğer soyut kavramların varlığını kabul eden bir kişi için kavramsal alan mevcuttur.^[1]