Planck Kütlesi Nedir? Genel Görelilik Teorisi ve Kuantum Mekaniği, Planck Kütlesinde Buluşuyor Olabilir mi?

Planck kütlesi, Planck birimleri sistemi olarak bilinen ve insan-yapımı olmayan, Evren'in temel sabitlerinden türetilen birimlerden biridir ve $2.176434(24)\times 10^{-8}\text{kg}$ değerine sahiptir. Formüldeki parantez içindeki sayılar, belirsizliği yüksek olan sayılardır.

Planck kütlesi, yine Max Planck tarafından geliştirilen "Planck zamanı" veya "Planck uzunluğu" gibi diğer Planck birimlerine nazaran oldukça büyüktür. Tam değeri, 0.00000002176434 kilogramdır. Bu, hâlen çok küçük bir kütle olmasına rağmen, insanlar tarafından biraz zorlanarak da olsa tahayyül edilebilecek kadar iri bir kütledir. Örneğin bir pire, yaklaşık olarak 4000-5000 Planck kütlesine sahiptir.

Benzer şekilde, bir Planck Kütlesi bir protonun kütlesinden $10^{19}$ kat kadar daha büyüktür. Diğer birimlerse o kadar küçüktür ki, Planck tarafından geliştirilmesinden sonra uzunca bir süre ne işe yarayabilecekleri çözülememiştir. Planck kütlesinin neden bu kadar büyük olduğu (veya protonun neden bu kadar küçük olduğu) konusunda tartışmalar yaratmıştır.

Planck Kütlesi Nasıl Hesaplanır?

Diğer Planck birimleri gibi Planck Kütlesi de Evren'in temel sabitleri kullanılarak hesaplanabilir. 1 Planck Kütlesi, şu şekilde hesaplanır:

$m_{\text{P}}=\sqrt{\frac{\hslash c}{G}}$

Görebileceğiniz gibi, ilk olarak 1899'da Alman fizikçi Max Planck tarafından önerilen Planck kütlesi, yalnızca 3 evrensel fiziksel sabitle tanımlanmaktadır:

• Yerçekimi sabiti ($G=6.674\times 10^{-11}N{m}^2/k{g}^2$),
• İndirgenmiş Planck sabiti ($\hslash =1.055\times 10^{-34}\text{Js}$),
• Işığın boşluktaki hızı ($c=2.998\times 10^8\text{m/s}$),

Bu sayıların değerlerini yerine yazacak olursak, Planck zamanını hesaplayabiliriz:

$m_{\text{P}}=1.2209\times 10^{19}{\text{GeV/c}}^2$

veya

$m_{\text{P}}=2.176434(24)\times 10^{-8}\text{kg}$

İndirgenmiş Planck Kütlesi

Parçacık fizikçileri ve kozmologlar arasında daha ziyade İndirgenmiş Planck Kütlesi olarak bilinen bir kütle kullanılır. Bu, şu şekilde hesaplanır:

$m_{\text{P}}=\sqrt{\frac{\hslash c}{8\pi G}}$

Burada değerleri yerine yazacak olursak:

$m_{\text{P}}=2.435\times 10^{18}{\text{GeV/c}}^2$

veya

$m_{\text{P}}=4.341\times 10^{-9}\text{kg}$

Burada eklenen $1/\sqrt{8\pi }$ katsayısı, Genel Görelilik Teorisi denklemlerinde dikkate değer miktarda basitleştirme sağlamaktadır ve bu nedenle tercih edilmektedir.

Planck Kütlesi Ne İşe Yarar?

Planck kütlesi, fiziğin birbiriyle uyuşmayan iki dalının potansiyel olarak buluşmasından doğmaktadır: Genel Görelilik Teorisi ile Kuantum Mekaniği.

Herhangi bir kütle için, Einstein'ın kütleçekim teorisi olan Genel Görelilik Teorisi, Schwarzschild yarıçapı adı verilen karakteristik bir uzunluk ölçeği verir. Bu yarıçap, herhangi bir kütlenin bir kara deliğe dönüşmesi için sıkıştırılması gereken hacmi belirler. Ancak kuantum teorisinde de aynı uzunluk ölçeği, Compton Dalgaboyu olarak adlandırılan bir karşılığa sahiptir. Bu dalgaboyu, $E=m{c}^2$ ilkesi gereği, bir parçacığın kütlesine eşit miktarda enerjiye sahip olan fotonun dalgaboyuna eşittir.

Öyleyse ilginç bir soru doğmaktadır: Schwarzschild yarıçapının Compton dalgaboyuna tam olarak eşit olduğu herhangi bir kütle var mı? Evet! İşte o kütle, tam olarak Planck kütlesine eşittir!

Planck kütlesi, kuantum mekaniğine ilginç bir sınır da koymaktadır: Buna göre, bir parçacığın kütlesi (veya enerjisi), Planck Kütlesi'nden büyük olamaz; çünkü böylesi bir parçacığın Schwarzschild yarıçapı, Compton dalgaboyundan büyük olacaktır ve bir kara delik yaratacaktır. Dolayısıyla bu kütle, klasik fiziğin sınırlarının sonu ile kuantum fiziğinin sınırlarının başlangıcı konusunda bize bir fikir vermektedir.

Planck Kütlesi Neden Bu Kadar Büyük?

Planck ölçeğindeki fizik, gündelik dünyada aşina olduğumuz fizikten çok farklıdır. Planck ölçeğinde, kütleçekimi güçlü bir kuvvettir - o kadar güçlüdür ki, atom altı parçacıkların davranışını değiştirir. Bu ölçekte uzay-zamanın kendisi, kuantum dalgalanmaları tarafından parçalanır. 1957'de Amerikalı fizikçi John Wheeler, Planck ölçeğindeki uzay-zamanın, sanal süreçlerin köpürdüğü bir "kuantum köpük" olduğunu öne sürdü. Planck tarafından geliştirilen birimlerin kuantum yerçekimindeki rolünü ilk fark eden de Wheeler oldu.

Tutarlı ve İşlevsel Bir Kuantum Kütleçekimi Teorisi Mümkün mü?

Kuantum elektrodinamiğinde, foton, $e$ ile gösterilen bir "ayar çiftlenimi" (İng: "gauge coupling") yoluyla elektrona bağlanır. Kısa mesafelerde ölçülecek olursa, kuantum etkileri ince yapı sabitini (α) normalleştirir. $E$ enerjisine sahip parçacıklarla yapılan bir saçılma deneyinde, yeniden normalize edilmiş bu çiftlenim, enerji ile logaritmik olarak artar.

Kütleçekiminde ise fotonun karşılığı graviton adı verilen bir parçacıktır. Gravitonlar, kütleye (veya da enerjiye), çiftlenim sabiti olarak bilinen $g$ ile bağlanır. Bu çiftlenimin kuvveti, enerji ile $g=E\sqrt{G}$ denklemini takip ederek, doğrusal olarak değişir. Bu nedenle yerçekiminde, ince yapı sabitinin analoğu sabit değildir. Günümüzde yapılan ve temel parçacıkların $E\approx 300\text{GeV}$ mertebesinde bir enerjiyle saçıldığı parçacık fiziği deneyler sayesinde, kütleçekimi kuvvetinin elektromanyetizmadan 10^-32 kat daha zayıf olduğu görülmüştür. Kütleçekiminin zayıf olma nedeni, Planck kütlesinin büyük olmasıdır.

Çok kısa mesafelerdeyse hikâye farklıdır. Planck ölçeğindeki enerjilerle yapılan bir saçılma deneyinde, kütleçekimi çiftlenimi 1. mertebedendir ve bu tür bir etkileşimde kuantum etkileri kritik derecede önemlidir. Einstein kütleçekimi renormalize edilemez yapıdadır, bu da Genel Görelilik Teorisi'nin tutarlı bir kuantum kütleçekimi teorisi olamayacağı anlamına gelir. Daha ziyade Genel Görelilik Teorisi, kuantum yerçekiminin daha düşük enerjili ve daha büyük mesafelerde işleyen bir yakınsamasından ibarettir. Planck ölçeğinde Einstein'ın göreliliği, onun yerini alması gereken teori her neyse, onun bir parçası haline gelir.

Sicim Teorisi, Her Şeyin Teorisi Olabilir mi?

Şu anda sicim teorisi, en temel yerçekimi teorisi olmak için en iyi adaydır. Sicim teorisinde nokta parçacıklar, boyut olarak Planck uzunluğundaki küçük sicimler olarak tarif edilir. Uzaktan bakıldığında bu sicimler birer nokta gibi görünür. Ancak Planck ölçeğinde çözünürlüğe sahip bir mikroskopla bakacak olursanız, bu ip-benzeri sicimlerin karakterleri de belirginleşecektir. Sicim teorisinin tutarlı bir kuantum yerçekimi teorisi verdiğine inanılmaktadır; ancak bu teorinin de tutarlı olabilmesi için on (veya on bir) boyut gerekmektedir.

Sicim teorisinde, bilinen tüm parçacıklar (kuarklar, leptonlar ve hatta gravitonlar) sicimlerin kuantize olmuş titreşimleri olarak görünürler. Bu anlamda sicim teorisi, doğanın tüm kuvvetlerini ve parçacıklarını birleştirir. Şu anda, sicimlerin var olduğunu gösteren hiçbir doğrudan deneysel kanıt yoktur. Yine de Planck ölçeğine indikçe, henüz keşfedilmemiş ve yeni bir fizik keşfedeceğimiz yönünde oldukça ikna edici dolaylı kanıtlar vardır. Elektrodinamikte olduğu gibi, Standart Model'de de ayar parçacıklarının çiftlenimleri, enerji ile logaritmik olarak değişir. Standart Modelin belirli uzantılarında bu çiftlenimler, 10¹⁶ GeV mertebesine ulaşırlar - ki bu, Planck ölçeğindeki 10¹⁹ GeV mertebesine fazlasıyla yakındır. Bu, Planck ölçeğinin (ve sicim teorisinin) fiziğin birbiriyle bir türlü örtüştürülemeyen kuantum ve görelilik taraflarının nihai birleşmesinde önemli bir rol oynayabileceğini göstermektedir.

Proton Neden Bu Kadar Küçük?

Öyleyse neden Planck kütlesi protonun kütlesinden çok daha büyük? Soruya yaklaşmanın iki yolu vardır: Birincisi, Plank kütlesinin temel bir kütle olduğunu varsaymaktır. Eğer öyleyse, doğal kuvvetlerin Planck kütlesi civarında birleştiğini varsaymak mantıklıdır. Özellikle de Planck kütlesi civarında, kuantum kromodinamiğinin (QCD) "güçlü" çiftlenimi, diğer ayar çiftlenimlerden farklı değildir. Bununla birlikte, kuantum kronodinamiğindeki çiftlenim, elektrodinamikte gördüğümüzün aksine daha düşük enerjilerde giderek güçlenir. Çiftlenim yavaşça ve sadece logaritmik olarak değişir; bu nedenle QCD çiftleniminin, kuarkları ve gluonları protonlara bağlayacak kadar güçlü olması, yaklaşık 1 GeV mertebesine kadar gerçekleşmez. QCD çiftleniminin logaritmik evrimi nedeniyle protonun kütlesi Planck kütlesinden çok daha küçüktür.

İkinci bir bakış açısı, proton kütlesinin daha temel bir ölçeğe yakın olduğunu varsaymaktır. Örneğin, ekstra boyutları olan bir teoride Planck kütlesinin görünürde olduğu gibi 10¹⁹ GeV değil de gerçekte 10³ GeV mertebesinde olabilir. Bunun nasıl çalıştığını görmek için, kuarkların ve leptonların, ekstra boyutların sonsuz değil, $R$ yarıçaplı daireler olduğu altı boyutlu uzay-zamanda gömülü üç boyutlu bir zarla sınırlı olduğunu varsayalım. Ayrıca kütleçekiminin zarla sınırlı olmadığını, ancak iki ekstra boyuta yayılabileceğini varsayalım.

$R$'den daha kısa olan, çok kısa mesafelerde, kütleçekimi kuvveti yasası da altı boyutlu olacaktır. Dolayısıyal aşina olduğumuz gibi ters kare yasasına göre değil, daha çok $G^{\ast }$'ın altı boyuttaki Newton sabiti karşılığına bağlı olarak değişir. $R$'den çok daha büyük mesafelerde ise kütleçekimi kuvvet çizgileri ekstra boyutlara uzanamaz. Bu nedenle, büyük mesafelerde kuvvet yasası ters kare olarak işler.

Dört boyutta olduğu gibi, altı boyutlu teori için temel bir "Planck kütlesi" oluşturulabilir. $G^{\ast }$'ın altı boyutlu Newton sabiti olduğu yer burasıdır. Denklemleri birleştirerek, görünürdeki Planck kütlesini, temel Planck kütlesi ve $R$ yarıçapı cinsinden yazabiliriz: Bu teoride, $M^{\ast }\approx 3\times 10^3\text{GeV}$ olduğu varsayılan $M^{\ast }$'da kuantum yerçekimi önem kazanır. Görünürdeki Planck kütlesi $M_{\text{P}}=10^{19}\text{GeV}$'tur. $R\approx 0.1\text{mm}$ olması koşuluyla, yani bir başka deyişle makroskopik boyutta yeni uzamsal boyutlar olması koşuluyla, bu ikisi uzlaştırılabilir! Bu açıdan bakıldığında, ekstra boyutlar büyük olduğu için kütleçekimi zayıftır denebilir.

Kütleçekiminin ters-kare doğasını milimetre altı ölçeklerde test etmek için son derece zarif (ve dikkatli) deneyler yapılıyor. Ters kare yasasından bir sapma tespit edilirse, bu, yeni makroskopik boyutların bir ipucu olabilir. Yeni boyutların keşfi, fizikçilerin evreni ve insanoğlunun evrendeki yerini anlamalarında bir devrimi ateşleyecektir - ve Planck kütlesi gibi birimlerin modern fizikteki önemini bariz bir şekilde ortaya koyacaktır.