Matematik Bir Keşif mi, Yoksa İcat mı?

Matematik, her ne kadar çok zor bir uğraş olsa da, herkesin gücünü ve güzelliğini takdir edebileceği bir yapıdır. Aslen miktar, yapı, uzay ve değişim gibi olguları araştırmakta kullanılan matematiğin tam bir tanımını yapmak gerçekten çok zordur.

Hepimizin bildiği gibi matematik, sayılarla ve sembollerle uğraşır. Bunları kullanarak, Evren'de var olan ve hatta var olmayan (veya var olsa da, matematikteki gibi idealize olmayan) yapı, olay, olgu ve süreçleri tanımlamakta ve izah etmekte kullanılır. Örneğin matematikte türev kavramı Evren'deki değişim olgusunun karşılığıdır.

Peki türev, Evren'de gerçekten var mıdır? Yani Evren'de değişimin var olma sebebi türev midir (bir diğer deyişle, Evren'deki gerçek değişim, türev matematiğini mi takip eder); yoksa Evren'de değişim matematikten tamamen bağımsız ve habersiz bir şekilde vardır da, biz onu kendi geliştirdiğimiz sembolik bir dil aracılığıyla "türev" olarak mı tanımlıyoruz?

Bu soru, milenyumlardır filozofların ve bilim insanlarının kafasını kurcalamıştır. Twitter üzerinden bu soruyu okurlarımıza yönelttiğimizde, tam 40.694 kişinin verdiği oylar, konu hakkında kesin bir yargının halk arasında da bulunmadığını gösteriyor:

Bu nedenle gelin son birkaç bin yılda bu soru hakkında kat ettiğimiz yolu, geliştirilen argümanları ve farklı bakış açılarını bir inceleyelim. Bu incelemeyi iki kategori altında yapacağız:

1. Matematiğin keşif olduğunu düşünenlerin argümanları
2. Matematiğin icat olduğunu düşünenlerin argümanları

Bu sayede, her iki tarafın argümanlarına yönelik genel bir bakış açısı edinebileceğinizi umuyoruz. Hazırsanız, ilk grup ile başlayalım:

Matematiğin Keşif Olduğunu Düşünenlerin Argümanları

Kimisi matematiğin bir keşif olduğunu düşünür; yani matematik Evren'de var olan bir şeydir. Evren'in dokusu, matematikle işlenmiştir. Matematik, evrensel bir gerçekliktir.

Bunu şöyle düşünebilirsiniz: Etrafınızdaki herhangi bir gerçeğe bakın. Bir masa mesela... Masa, çeşitli fiberlerin bir araya gelmesinden yapılmıştır. Bunlar, atomların bir araya gelmesinin ürünüdür. Atomlar, bir çekirdek etrafında dönen elektronlardır. Bu çekirdekte, protonlar ve nötronlar bulunur ve onlar da, kuarklardan oluşur.

Ama bir elektron nedir? Bir kuark nedir? Bunları tanımlamak için, matematiğe başvurmak zorunda kalırız. Bu matematik, onların ne olduklarını ifade etmenin bir yoludur. Örneğin bir elektron, matematiksel bir denklem olan Dirac denklemine uyan bir fiziksel yapı olarak tanımlanabilir. Bu, matematik bilmeyen biri için hiçbir anlam ifade etmeyecektir; ancak matematik bilen biri, bu denklemin bir elektronu tanımlamak konusunda muazzam bir isabetliliğe ve hassaslığa sahip olduğunu bilir.

Pinterest

İşte anahtar nokta da burasıdır: Matematik sayesinde yaptığımız fiziksel tanımlar gerçeklikten ayırt edilemeyecek kadar hassastır. Örneğin Richard Feynman, Dirac denklemlerinin gerçeği tanımlama başarısı hakkında şöyle söylüyor:

Bu denklemler öylesine isabetlidir ki, eğer bu hassaslığı New York ile Los Angeles arasındaki mesafeyi ölçmekte kullansaydık, mesafe ölçümümüzdeki hata payı, bir insanın saç telinin kalınlığından daha küçük olurdu!

Örneğin Newton'ın kütleçekimine yönelik teorisi, gerçeği (yani gerçek cisimlerin harektlerini) tanımlama konusunda 10 milyonda 1 hassaslığa sahipti. Einstein'ın Görelilik Teorisi, 100 trilyonda 1 hassaslığa sahiptir. Yani matematiği daha iyi anladıkça, fiziksel doğayı da daha iyi tanımlayabilmekteyiz.

Matematik öylesine kapsamlıdır ve öyle yüksek bir iç tutarlılığa sahiptir ki, onun bir şeyleri ifade etmek için geliştirilmiş bir dil olduğunu söylemek mümkün değildir. Kendine has bir sisteme, kendine has bir gerçekliğe sahiptir. Dolayısıyla matematik, Evren'de var olan, Evren'in dokusunda bulunan, gerçek bir olgudur.

Zaten matematik ile gerçek dünya arasındaki uyumsuzluk (yani az önce sözünü ettiğimiz hata paylarının 0 olmayışı; yani isabetliliğin %100 olmayışı) bireysel ve zihinsel deneyimlerimiz ile gerçek olan arasındaki uyumsuzluktan kaynaklanmaktadır. Platon'a kadar giden bu "ideal form" argümanı, matematiksel tanımların nihai gerçeklikler olduğunu, bundan yaşanan sapmaların hepsinin bizlerin ölçüm araçlarının ve algılarının hatalarından ibaret olduğunu ileri sürer.

Matematik, Gerçektir!

Bunu şöyle düşünün: Matematiksel bir gerçek, biz onu ispatladığımız için gerçek değildir; kimse o gerçeği ispatlamamış olsaydı da, matematiksel gerçekler "gerçek" olurdu. Tıpkı doğadaki gerçeklerin, biz onları keşfettiğimiz için gerçek olmaması; kimse onları keşfetmemiş olsaydı da gerçek olmayı sürdürecek olmaları gibi...

Buna bağlı olarak bir fizikçi, fizik ile ilgili bir çalışma yaparken, teorilerini matematiksel olarak geliştirme süreci boyunca, doğaya kendi matematiğini dayatmamaktadır. Doğada zaten bir matematik söz konusudur; fizikçi sadece bu matematiği keşfetmeye çalışmaktadır. Roger Penrose, matematikle ilgili şöyle diyor:

Ben matematiği jeoloji veya arkeoloji gibi görüyorum. Doğada olan bir şeyleri araştırıyorsunuz ve asırlar, milenyumlar, çağlar boyunca orada var olan gerçekleri ilk defa gün yüzüne çıkarıyorsunuz. Ortaya çıkardıklarınız son derece harikulade şeyler oluyor. Matematikte de yaptığınız budur.

Oxy

Platon'un idealist görüşleri, günümüzdeki birçok matematikçinin hayat görüşünü ve çalışmalarını şekillendirmeye devam etmektedir. Matematikçi Gregory Chaitin şöyle diyor:

Birçok matematikçi -ki buna ben de dahilim- kabul etmek istemese de, aslında nesnelerin ideal formları olduğunu ve bunların yalnızca matematiksel olarak ifade edilebileceğini düşünmekteyiz. Yani matematiğin gerçek bir olgu olduğunu kabul etmek zorundayız. Aksi takdirde hayatımızı boşa harcıyoruz demektir.

Büyük matematikçi Gödel, bir keresinde bir astrofizikçi ile yemekte yan yana oturduğunda, onun astrofizik ile ilgili muazzam yeni keşfini ve ne kadar harikulade olduğunu dakikalar boyunca dinledikten sonra, tek cümle etmiştir: "Ben, deneysel bilime inanmıyorum. İnandığım tek şey a priori gerçeklerdir." Yani ona göre, matematiksel olarak ifade edilemeyen her şey basittir, sıradandır, dikkate değer olmayandır. Ona göre aslolan, matematiktir.

Bu bakımdan düşünüldüğünde matematik, fiziksel gerçeklikten bağımsız bir diğer gerçek gibi görülebilir. Bu gerçekliğin "nerede" bulunduğunu bilmemiz mümkün değildir; sonuçta doğada "tam sayı" kavramını bağımsız bir gerçek olarak göremiyoruz. Ancak matematiğin iç tutarlılığı ve gerçeği yansıtma gücü, onun gerçek olduğunun en güçlü kanıtıdır.

Matematik, Bilimden Önde Gider!

Birçok bilim insanının doğada yeni bir şey keşfettiklerinde, bu konunun daha önceden matematikçiler tarafından tamamen soyut bir şekilde gösterilmiş olduğunu fark etmeleri bir tesadüf değildir. Matematiğin doğada bulunduğu gerçeğinin bir uzantısıdır.

Bunun bir örneği, Kuantum Elektrodinamik Teorisi'dir. 2010 yılında Harvard Üniversitesi'nden bir ekip, sadece matematiksel araçları kullanarak, elektronların manyetik alanla ne güçte etkileştiğini belirleyen bir kavram olan "elektronun manyetik momenti"ni trilyonda 1 hata payı düzeyinde hesaplamayı başardılar. Kuantum Elektrodinamik Teorisi ile yapılan ölçümler, bu matematiksel hesap ile birebir aynı sonuca ulaştı! Yani matematik, fiziği öngördü! Kimi zaman buna matematiğin mantıksız derecede isabetliliği denmektedir.

The Cosmos

Bir diğer örnek olarak Simetri Teorisi, bakış açınızı değiştirmenize rağmen olguların yapısal özelliklerinin neden değişmediğini izah eden bir teoridir (yani sadece biyolojik simetri olarak düşünmeyin, parçacıkların davranışlarıyla ilgili bile olabilir). Bir olguya bakabileceğiniz farklı açıların her birini barındıran kümeye simetri grubu adı verilir. İşte bu yaklaşım, fizikte ilk defa uygulanmadan 100 yıl kadar önce matematikte çoktan kullanılıyordu ve doğruluğu gösterilmişti. Matematikte bu teoremlerin geliştirilme nedeni, tamamen matematiksel olan soruları çözebilmekti; aslında fizikle hiçbir ilgisi yoktu. Ancak fizikçiler, simetriyle ilgili gözlemleri üzerine çalışırken, matematikçilerin halihazırda ispatladıkları bu olgunun fizikte gerçekten de karşılığı olduğunu gördüler. Steven Weinberg bu konuda şöyle söylüyor:

Matematikçilerin bilim insanlarından önde gitmeye yönelik bu ürkütücü başarıları, Neil Armstrong'un Ay'a ayak bastığında, orada Jules Verne'ün ayak izlerini bulması gibidir.

Bir diğer harika örnek, yakın geçmişte keşfedilen fraktal yapılardır. Bu yapılar, çok basit matematiksel denklemler kullanılarak, çok karmaşık ve kendini tekrar eden girift yapılardır. Bunlara doğada da birçok yerde rastlamaktayız. Bu yapıların doğada da bulunuyor olması, matematiğin gerçek olan şeylerin özünde olduğu, dolayısıyla bizlerin bu gerçekleri keşfettiği anlamına gelir.

Paul Bourke

Matematiğin Bir Dil Olması, Onun Gerçek Olmadığını Göstermez!

Matematiğin icat edildiğini, dolayısıyla sadece bir dilden ibaret olduğunu ileri süren argümanlar herhangi bir geçerliliğe sahip değildir; çünkü matematiğin bir dil olması, onun gerçekten Evren'de var olduğu ve Evren'i tanımladığı gerçeğini değiştirmez.

Bunu şöyle düşünün: Elbette matematiği doğaya bakarak tanımlıyoruz. Doğadaki çeşitli düzenlilik hallerini kolayca ifade edebilmenin bir yolu olarak kullanıyoruz. Bu bakımdan matematik, çok üst düzey bir dil olarak görülebilir. Ancak bu, onun gerçekten doğada var olmadığı anlamına gelmez; çünkü daha basit yapılı düzenlilik hallerinden yola çıkarak tanımladığımız (yani "icat ettiğimiz") matematik, henüz doğada keşfetmediğimiz gerçekleri öngörmek için kullanılabilmektedir. Bu da, matematik dediğimiz dilin yeni keşiflere göre şekillenmediğini, tam tersine gerçekten de doğanın bir parçası olduğunu ve onun bir kısmını keşfettiğimizde, geri kalanının da sistemli bir şekilde ortaya döküldüğünü görmekteyiz. Bu, onun gerçekliğinin ispatıdır.

Bunu anlamanın bir yolu, antik dilleri düşünmektir. Hiyeroglif gibi antik dilleri çözmeye çalışırken (veya kriptografi çerçevesinde bir şifreyi kırmaya çalışırken), dilin bir kısmını çözmek, geri kalanının kendiliğinden çözülmesini sağlamaktadır. Çünkü dil, rastgele bir şekilde inşa edilmemiştir; belirli bir sisteme sahiptir ve bu, onun gerçek bir yapı olduğunu, kendi iç tutarlılığı olduğunu ve sistemli bir şekilde inşa edildiğini gösterir. Eğer dil rastgele bir şekilde ve dağınık olsaydı, yani doğada var olmayan bir sistem olsaydı, parçalarının çözülmesi bütünün çözülmesine izin vermezdi.

Matematik için de durum budur: Evet, matematik Evren'i tanımlamak için kullandığımız bir dildir; ancak bu dili geliştirebiliyor olduğumuz gerçeği bile, onun gerçek olduğunun ispatıdır.

Farklı Medeniyetler Bile Matematiği Aynı Şekilde Geliştirirdi!

Matematik öyle temel bir gerçekliktir ki, farklı medeniyetler de matematik geliştirecek olsalardı, bizimkiyle aynı matematiğe ulaşırlardı. Bunun nedeni ise basittir: Matematik, gerçekliğin özüdür. Bu gerçeği inceleyen herhangi bir zeki yaşam formu, nihai olarak aynı sonuçlara ulaşacaktır. Belki $1$ sayısını $1$ sembolü ile değil de, $a$ sembolü ile ifade ederler; ancak bu önemli değildir. Önemli olan, o sembollerin ifade ettiği anlamdır.

NBC News

Bu açıdan bakılacak olursa, farklı (uzaylı) medeniyetlerin geliştireceği matematik bizimkiyle aynı olmakla kalmazdı; onların matematik tarihi de bizimkiyle aynı olurdu. Yani nasıl ki Babil'den bu yana matematik belirli temel formları (aritmetik ve geometri gibi) tanımlamak üzerine inşa edilmiştir; onlar da aynı yollardan geçerek bizimle aynı sonuçlara ulaşırdı. Örneğin zaman içinde değişimi tanımlayan türev kavramı, bizimkinden farklı bir şekilde ifade edilemezdi. Farklı sembollerle ifade edilebilecek olsa da, o sembollerin vardığı sonuç birebir aynı olurdu. Bu bile, matematiğin evrensel bir gerçeklik olduğunu, Evren'in yapısal bir gerçeği olduğunu göstermeye yeterlidir.

Matematiğin Tamamı Gerçek Olmasaydı Bile Bu, Matematiğin Gerçekliğini Değiştirmezdi!

Modern matematik çerçevesinde geliştirdiğimiz sistemlerin hepsi gerçeklikle bağlantılı olmak zorunda değildir. Ancak bu, gerçeklikle bağlantılı olan matematiğin gerçek olmadığı anlamına gelmez.

Örneğin az sonra sözünü edeceğimiz gibi, Platon tarafından keşfedilen 5 paralel yüzlü Platonik katının varlığı bir gerçekliktir. Platon ve arkadaşları bunlara tamamen farklı isimler verebilirdi, tamamen farklı şekillerde ifade edebilirlerdi; ancak bu 5 paralel yüzlü katının gerçekliği değişmezdi. Benzer şekilde, 6. veya 7. bir paralel yüzlü katı "icat edemezler"; çünkü böyle bir katı yoktur, gerçek değildir. Sadece var olanları "keşfedebilirler".

Dolayısıyla matematik, özü itibariyle gerçek olanları tanımlamayı başarabilmektedir ve bazı kısımlarının gerçeklikle ilişkili olmaması, matematiksel yapıların gerçek olmadığı anlamına gelmemektedir. Max Tegmark bu konuda şöyle söylüyor:

Evren'in tamamının matematiksel bir yapı olduğunu düşünüyorum. Buna bağlı olarak, fiziksel olan her şeyin, matematiksel evrende bir karşılığı var. Bir nokta, bir çizgi, bir şekil... Hepsi, matematiksel karşılığı olan fiziksel yapılar; dolayısıyla Evren'in kendisi bir matematiksel yapıdan ibaret.

Matematiğin İcat Olduğunu Düşünenlerin Argümanları

Kimisi matematiğin bir icat olduğunu düşünür; yani matematik Evren'de var olan bir şey değildir, sadece Evren'deki süreçleri anlatmak için kullanmakta hemfikir olduğumuz bir dildir; bir protokoldür. Dolayısıyla matematik bizlerin kültürel evriminin bir yan ürünüdür; aslında Evren'de var olup da bizim keşfettiğimiz bir gerçek değildir.

Bunu, IEEE gibi kurumlar tarafından belirlenen bilgisayar iletişim protokollerine benzetebiliriz. Modeminiz ile bilgisayarınızın iletişim kurabilmesinin ve işbirliği içinde çalışabilmesinin nedeni, önceden belirlediğimiz protokollere uygun olarak inşa edilmiş olmasıdır. Modemin çalışma ve veri aktarabilme nedeni, bu protokollerin varlığı değildir. Elektrik devrelerinde elektronlar zaten hareket ederler ve biz, onları belirli kurallara uydurarak farklı cihazların ortaklaşa çalışmasını sağlarız. Steven Weinberg, bu konuda şöyle söylüyor:

Matematik, kendi başına hiçbir şeyin açıklaması olamaz. Fiziksel teoriler, matematiğin prensipleri öyle söylüyor diye var oldukları şekilde değildirler. Matematiksel prensipler, fiziksel teorilerimizi ifade etmek için kullandığımız bir dilden ve bu teorilerin sonuçlarını hesaplamakta kullandığımız entelektüel bir araçtan ibarettir.

Örneğin yukarıda sözünü ettiğimiz Platon, her ne kadar efsanevi bir şekilde okulunun girişine "Matematik/Geometri Bilmeyen Giremez!" yazmışsa da, Platon'un kastettiği ve anladığı matematik, gerçekte olandan son derece çarpıktır. Onun matematik yapmaktaki amacı, "5 element" olarak tanımladığı ateş, su, hava, toprak ve "öz" kavramlarını, 5 Platonik (düzgün) katı ile ifade etmekti: tetrahedron, hekzahedron (küp), oktahedron, dodekahedron, ikosahedron.

Living Enlightened Relationships

Dolayısıyla Platon'a atfedilen ideal form kavramlarının gerçek matematik olduğunu söylemek mümkün değildir. Weinberg, bunları "matematiksel uydurmalar" olduğunu söylüyor. Dolayısıyla modern bilim insanlarının Evren'de matematiğin olduğunu söylemesi ve bu matematiğin ideal formları tanımladığını söylemesi tamamen hatalı bir yaklaşımdır; bu argümanların temeli oldukça çürüktür:

Modern çağda matematiği hak etmediği düzeyde yücelten kişilerden biri Dirac idi. Fiziğin en temel denklemlerinden birisi olan Dirac Denklemi'ni kullanarak tanımladığımız elektronların neden o şekilde davrandığını izah ederken, "Böyle davranıyorlar; çünkü böyle davranmaları matematiksel olarak güzeldir." diyerek matematiği yüceltmişti. Bu doğru değildir. Günümüzde Dirac Denklemi'nin neden "o şekilde" olduğunu çok daha iyi bir şekilde anlıyoruz ve konunun "matematiksel güzellik" ile hiçbir ilgisi yok.

Matematiğin en genel formuyla kitlelere ulaştırılması konusuna ömrünü adamış ve bu yolda Mathematica isimli yazılımı geliştirmiş olan Stephen Wolfram da, matematiğin bir icat olduğunu düşünmektedir. Bunu ispatlamak içinse ilginç bir soru sormaktadır:

Farklı Matematikler Mümkün mü?

Bu soru, şu temelden köken alır:

Günümüzde matematikçilerin kullandığı matematik, var olabilecek tek matematik türü müdür? Yoksa tamamen farklı matematik sistemler inşa etmemiz mümkün müdür? Yani matematik, insanlığın tarihsel gelişiminin yan ürünlerinden biri midir? Bugün kullandığımız matematik, rastgele bir şekilde seçtiğimiz matematiksel öncüllerin bizi getirdiği tarihsel bir hatadan mı ibarettir?

Bu soruyu inceleyen Wolfram, matematiğin tamamen insan icadı olduğunu ve sayısız diğer matematiklerden sadece birisi olduğunu görmüştür. Bu durum, az sonra detaylarına biraz daha gireceğimiz, matematiğin olası en geniş ve tek olası soyut sistem olduğuna inananların görüşleri ile taban tabana ve kuvvetli bir şekilde çelişmektedir.

Antik Babil medeniyetinde aritmetik, ticareti kolaylaştırma adına geliştirilmiştir. Geometri ise, tarım alanlarının ölçümü ve paylaştırılması için geliştirilmiş bir sistemdi. Günümüzdeki matematik, bu tarz temel matematiksel icatların sistemli bir şekilde genelleştirilmesiyle oluşturduğumuz bir yapıdır. Buna ek olarak matematikçiler, matematik için çok önemli olan bir metodolojik fikir eklemişlerdir: Bu fikir, teoremler inşa edip aksiyomlar yoluyla bu teoremleri soyut bir şekilde ispatlayabileceğimiz fikridir. Aksiyomlar, bariz bir şekilde doğru olan, genel geçer olarak kabul edilen ifade veya önermelerdir.

Vimeo

İşte bu yaklaşım, Babil'den bu yana birikimli bir şekilde geliştirilen (sürekli yeni parçaları icat edilen) matematiğin alabileceği formları kısıtlamıştır. Çünkü bir matematikçi, örneğin belli bir sayı grubundan (diyelim ki doğal sayılardan), bir diğer sayı grubuna (diyelim ki sanal sayılara) genellemeler yaparken, mecburen belirli teoremler inşa etmek ve bunları ispatlamak zorundadır. İspatlamayı seçeceği teoremler, elde olan teoremler ve aksiyomlar çerçevesinde ispatlanabilir yapıda olan teoremler olacaktır. Bu birikmiş teorem ve aksiyomlar da, daha önceden aynı şekilde ispatlanabilir yapıda olan teoremlere ve aksiyomlara dayanacaktır. Dolayısıyla tamamen pragmatik nedenlerle yapılan ilk icadından itibaren matematiğin attığı tüm adımlar, doğadaki nesnel ve bağımsız gerçeklerden ziyade, matematikçilerin ispatlayabileceklerini düşündükleri teoremleri itinayla seçmelerinin bir sonucudur.

İşte bu nedenle matematik, doğadan gelmemektedir. Matematik, insanların geliştirdiği bir sistemdir; adeta bir algıda seçicilik ürünüdür. Özellikle de bilim insanları, doğada gördükleri sistemlere uygun olacak matematiksel teoremlere odaklandıkları için (yani tıpkı antik medeniyetler gibi pragmatik oldukları için), doğada da bir matematik varmış gibi gelmektedir.

Deneysel Argümanlar ve Başka Matematikler...

Bunu görmenin bir diğer yolu, formal sistemleri bir bütün olarak incelemek ve rastgele geliştireceğimiz sembolik, tutarlı sistemlerin günümüzdeki matematiğe benzeyip benzemediğini görmektir. Bu, matematiğin bir dil mi yoksa icat mı olduğunu deneysel olarak sınamanın bir yolu olarak görülmektedir.

Eğer ki rastgele geliştirilen sembolik sistemlerin tutarlı ve anlamlı olması için bizim matematiğimize benzemesi gerektiğini görecek olursak, matematiğin gerçekten de nesnel bir gerçeklik olduğu kanısına varabiliriz. Ancak eğer geliştirilen rastgele sistemler, bizim matematiğimizden tamamen alakasız olmasına rağmen tutarlı ve anlamlı ise, öyleyse matematiğimizin tamamen insan ürünü bir icat olduğuna kanaat getirebiliriz.

Stephen Wolfram, günümüzde var olan milyonlarca matematik makalesinin tamamının, belki 1-2 sayfaya sığacak kadar az sayıda aksiyomdan geliştirildiğini söylemektedir. Bu temel aksiyomların alternatifleri olabilir miydi? Yani başka aksiyomlar geliştirecek olursak, başka matematiklere ulaşabilir miyiz? Ulaştığımız bu matematikler, bizim matematiğimize benzer olur muydu?

Cevaplar şöyle: Evet, farklı aksiyomlar mümkündür. Evet, farklı aksiyomlarla farklı matematiklere ulaşmaktayız. Hayır, bu matematikler, bizim matematiğimize hiç de benzememektedir. Üstelik bu diğer matematiklerin hemen hepsi, iç tutarlılığa sahip (kendi kendisiyle çelişmeyen), anlamlı matematiksel sistemlerdir. İlginç bir şekilde, bizim matematiğimizin olası tüm matematikler arasında hiçbir özel tarafı yok gibi gözükmektedir. Uzaylı bir medeniyet, bambaşka bir matematiğe sahip olabilirdi ve biz, bu matematik ile karşılaştığımızda onun "mantıksız bir sistem" olduğunu iddia edemezdik.

Aksiyomların dayandığı sembolleri ve anlamlarını rastgele bir şekilde genişleten Wolfram, son derece katı ve değişmez olduğu düşünülen matematiksel mantık aksiyomlarının alternatiflerini aramıştır. Söylediğine göre mantık gibi bir saha bile, en nihayetinde çok sayıda olası aksiyom sisteminden sadece bir tanesidir. Hatta yaptığı incelemede, bizim mantık sistemimizin, olası tüm aksiyomlardan yaklaşık 50.000'inci sırada olduğunu görmüştür.

Mind Valley

Diğer matematiksel sistemlerin bir kısmı, elimizdeki matematikten daha düşük çeşitliliğe sahiptir; bazı diğerleri ise çok daha gelişmiş özelliklere sahip olabilmektedir. Bu, şu anki matematiğin alt parçaları arasındaki zenginlik ve detay çeşitliliği ile de uyumludur: Örneğin matematiksel mantık, küme teorisine göre çok daha az zenginliğe sahip bir sahadır; buna rağmen mantık, daha karmaşık matematiksel sistemleri başarıyla inşa etmemizi mümkün kılmıştır.

İlginç bir şekilde, Gödel'in Tamamlanmazlık Teoremi gibi yaklaşımlar sayesinde, inşa edilen alternatif matematiksel sistemlerin yaratacağı sonuçların neler olabileceğini öngörmemiz mümkündür. Buna bağlı olarak, çeşitli "indirgenemez hesaplamaların", yani çözmenin mümkün olmadığı veya olamayacağı soruların doğup doğmayacağını, asırlar boyu beklemek zorunda kalmaksızın tespit etmek mümkündür.

Bazı Matematiksel Soruları Neden Çözemiyoruz?

Tüm bunlar, matematikteki Fermat'nın Son Teoremi veya Riemann Hipotezi gibi çözülemez gibi gözüken (veya en azından çözülemeyen) sorularla ilgili ilginç bir noktaya işaret etmektedir: Bu soruları çözemiyor olma nedenimiz, "matematiksel teknolojimizin" yetersiz olması mıdır; yoksa bu sorular, icat ettiğimiz matematik sisteminin zaaflarının bir sonucu mudur? Yani bir başka matematiksel sistem kullanıyor olsaydık, bu zorlu teoremlerin o sistemdeki karşılıklarını kolayca çözerken, başka sahalarda başka çözülemez teoremlerle mi karşılaşacaktık?

Matematik tarihine baktığımızda, bu tarz "zorlu soruların" büyük bir kısmının nihayetinde çözülebildiğini görüyoruz. Örneğin Guinness Rekorlar Kitabı'na "var olan en zor matematik sorusu" olarak geçen Fermat'nın Son Teoremi, ilk ileri sürüldükten 358 yıl sonra, birçok matematikçinin ara basamakları doldurmasından sonra İngiliz matematikçi Andrew Wiles ve öğrencisi Richard Taylor tarafından ispatlanmıştır.

NPR

Bu ne anlama geliyor? Wolfram şöyle anlatıyor:

Eğer geliştirdiğimiz matematik sistemine rastgele sorular yöneltecek olsaydık, sorduğumuz soruların ezici çoğunluğu bu sistem dahilinde hiçbir zaman cevaplanamaz sorular olurdu. Ancak matematikte bu kadar çok çözülemez soruyu pek görmüyoruz. Daha ziyade, çözülemez gibi gelen fakat özünde çözülebilir olan, çok zor soruları görüyoruz. Bana kalırsa bu, matematikçilerin sadece çözülebilir olduğunu düşündükleri sorular üzerine kafa yoruyor olmasındandır. Bu soruların bir kısmı, elbette çözülemeyecek kadar zor gözüken problemlerdir; ancak yine de matematikçilerin içgörüsü dahilinde, muhtemelen çözülebilecek sorulardan seçilmektedir. Tarihsel olarak matematik, kesinlikle çözülemeyecek sorulardan itinayla uzak durmuştur; bu nedenle elimizdeki sistemin, Evren'deki gerçekleri yansıtan tek ve nihai sistem olduğuna inanmaya meyilliyiz. Bu, tamamen hatalıdır.

Doğada Matematik Yoktur!

Uzun lafın kısası, matematiğin doğada gerçekten var olduğuna inanma eğilimi, döngüsel mantık safsatasının (veya hüsnükuruntunun) bir ürünüdür. Bu safsata şöyledir: Doğada çözmeyi ve matematiksel olarak ifade etmeyi başardığımız şeyler, elimizdeki matematiğin çözmemize izin verdiği (ya da çözmeye uygun olduğu) sorulardan ibarettir.

Yani doğa bilimciler, doğaya bakıp da nasıl matematiksel modeller geliştirebildiklerini düşündüklerinde, kaçınılmaz olarak elde var olan matematikle geliştirebilecekleri sistemlere odaklanmak zorunda kalmaktadırlar. Neredeyse hiçbir zaman bunu bilinçli olarak yapmazlar; ellerindeki alet kısıtlılığı onları buna zorlar.

Bir diğer deyişle, doğada henüz çözmeyi başaramadığımız soru işaretlerinin büyük bir kısmı, belki de icat ettiğimiz matematiğin yetersizliklerinden kaynaklanmaktadır. Başka matematikleri kullanıyor olsaydık, o soruları daha kolay modellememiz ve çözmemiz mümkün olurdu; ama belki de bu defa, şu anki matematiğimizle çözebildiğimiz bazı soruları çözememiş olacaktık.

Buna bir örnek olarak Plazma Fiziği verilebilir. Plazma fiziği, elektronları bağımsız olarak hareket edebilen gazları inceleyen bir fizik dalıdır. Henüz gazların ve elektronların bu davranışını tam olarak izah edebilen, "güzel" diyebileceğimiz matematiksel bir teorem üretilememiştir. Eldeki matematik hasbelkader ve son derece karmaşık bir şekilde süreçleri tanımlamaktadır. Dolayısıyla bu konuda bir eksiğimiz bulunmaktadır.

USASK

Bu eksik, matematiğimizin yanlış matematik olmasından kaynaklanıyor olabilir; ancak daha önemlisi, bu konuda "güzel" bir matematiksel denklem geliştirebilecek olsaydık bile bu, plazma o matematiğe uyduğu için değil, biz o davranışı nihayetinde daha yalın bir matematiksel ifadeye dönüştürebildiğimiz için bu denklem geliştirilmiş olacaktı.

Yani matematikte durmaksızın yeni teoremler geliştirilmektedir ve yeni ispatlar yapılmaktadır. Bunların bir kısmı fiziksel gerçeklikle örtüşüyorsa, bunlar, o fiziksel gerçekleri tanımlamak için kullanılmaktadır. Ancak geri kalan kısmının fiziksel bir karşılığı yoktur ve hatta olamaz da. Dolayısıyla doğada matematiğin olduğunu söylemek hatalıdır.

Matematik, Algıda Seçicilikten İbarettir!

Yukarıdaki argümana paralel olarak, matematiğin Evren'i açıklama gücünün tamamen algıda seçicilikten ibaret olduğunu söylemek mümkündür.

Fraktal örneğini ele alalım... Çok basit denklemlerin doğurduğu karmaşık sistemler olan fraktallerin doğada bulunması, matematiğin doğal bir gerçeklik olduğu anlamına gelmez. Çünkü her sistemin kendiliğinden gelişen (İng: "emergent") özellikleri olabilir. Satrancı düşünün. Satranç, kesinlikle insan icadı olan bir sistemdir; tüm kuralları insanlar tarafından uydurulmuştur. Buna rağmen her satranç oyununda beklenmedik bir kombinasyon son derece basit kurallardan doğabilir ve tüm satranç oyuncularını şaşırtabilir.

Basit kuralların bir araya gelmesiyle oluşan sonsuz miktarda kombinasyon vardır ve bunların çok küçük bir kısmı ilgi çekicidir ve doğayla örtüşen yapıdadır. Bizler, bunlara odaklanarak, geliştirdiğimiz sistemin sanki muazzam bir açıklayıcı gücü veya eşsiz bir iç tutarlılığı varmış zannederiz. Bu, kendimizi kandırmaktan başka bir şey değildir. Kimi zaman buna matematiğin mantıklı derecede isabetsizliği denmektedir.

NPR

Evrimsel biyolojiye de hatalı bir şekilde aktarılan Sonsuz Maymun Teoremi'ni düşünün. Boltzmann Beyinleri ile ilgili yazımızda anlattığımız gibi, sonsuz sayıda maymun daktilonun tuşlarına rastgele basacak olursa veya sınırlı sayıda maymun sonsuz süre boyunca daktilo tuşlarına rastgele basacak olursa, Shakespeare soneleri kaçınılmaz olarak bir noktada ortaya çıkacaktır. Bu, maymunların bilinçli bir şekilde sone yazdıkları anlamına gelmez. Biz, Shakespeare sonelerini aradığımız için o rastgelelik içinde düzen görürüz. Derek Abbott, bunu şöyle anlatıyor:

Matematikte olan da budur. Matematik, gerçekte olanın bir yakınsamasından ibarettir. Eğer matematiksel modellerimiz başarısız olacak olursa, ihtiyaç duyduğumuz matematiği geliştirecek biçimde elimizdeki modelleri revize ederiz. Analitik matematiksel ifadeler, insan zihninin, insan zihni için uydurduğu ürünlerden ibarettir. Zihinsel becerilerimiz kısıtlı olduğu için, tahminlerde bulunabilen, zarif matematiksel tanımlara odaklanmaya meyilliyizdir. Bu öngörüler isabetli olmak zorunda değildir ve her zaman deneysel doğrulamalaya muhtaçtırlar. Örneğin modern teknolojide transistörlerin büyüklüğü giderek küçülürken, daha da küçük, ultra küçük transistörler için elimizde olan matematiğin yeterli olmadığını gördük. Bu nedenle matematiği terk ederek, bilgisayar simülasyonları ile deneme-yanılma yolunu tercih ettik. Günümüzdeki mühendislik atılımlarının çoğu da bu şekilde yapılmaktadır.

Matematik Bir Dindir!

Doğada var olmayan veya doğrudan gözlenemeyen şeylerin gerçekliğine inanmak iman gerektirir. Matematiğin ileri sürdüğü argümanların hiçbiri doğada gözlenebilir değildir; sadece onların karşılığı olduğu düşünülen olguları görebilmekteyiz. Dolayısıyla matematiğin gerçek olduğunu düşünmek, bir dinin veya tanrının gerçek olduğunu düşünmekten farksızdır.

Math Munch

Örneğin Gödel, yukarıda da söz ettiğimiz gibi deneysel yaklaşımlara tamamen karşıdır; bunu ölümünden sonra yayınlanan makalelerinde net bir şekilde görmek mümkündür. Matematikçi Gregory Chaitin şöyle anlatıyor:

Gödel'e göre Orta Çağ dininin gerçek anlamıyla yaşadığı tek yer matematikti. Ona göre çağdaş matematikçiler, bu saf matematiği bozmaya çalışmaktaydı. O, matematiği saf halinde tutmak istiyordu. Bu açıdan bakıldığında konu, bir dinden farksızdır; adeta Orta Çağ'dan fırlama bir olgudur. Biraz provokatif olacak belki; ama günümüzde yaşayan saf matematikçilerin hepsi, nihayetinde matematiği bir din olarak görmektedir; Tanrı'nın zihni olarak düşünmektedir. Kendinize şunu sorun: Bu matematik, gerçek doğada nerededir? Matematik nerede? Burada değil, öyle değil mi? Dolayısıyla görünmez bir dünyaya inanıyorsunuz. Bizimkinden daha iyi, daha saf bir dünyaya... Bu, din değil de nedir?

Matematiğin Bir Dil Olması, Gerçek Olmadığının İspatıdır!

Her ne kadar matematik kendi içinde tutarlılığa sahipse ve bir parçasının çözülmesi, bütüne giden yolu açsa da, matematik Evren'den bağımsız olarak var olabilen bir gerçeklik değildir. Dolayısıyla dil analojisi, onun gerçekliğinin ispatı olarak kullanılamaz.

Bunu şöyle düşünün: $2+2=4$ olması, onu o şekilde tanımlayan kişiler olmaksızın mümkün değildir. Bunu düşünmesi zordur; ancak absürt örneklerden yola çıkarsanız bunu anlayabilirsiniz: "Elma ile arabanın eklenmesi, tuğlaya eşittir." Eğer sembolik olunmak istiyorsak: $a+42=selam$. Bu ilk etapta anlamsız gelen tanımlar, eğer ki doğru varsayılırsa, doğrudur. Tamamen yabancı bir matematikte bu önermeler son derece makul ve hatta $2+2=4$ kadar sıradan olabilir.

Ancak önemli olan, onu tanımlayan ve işlevsel hale getiren bir icadın yapılmasıdır. Yani bir bilincin, bu tanımlamaları yapması gerekmektedir. Bu tanımlamalar yoksa, o tanımlar da yoktur. Evet, o tanımlar, bu tanımlamaları yapan kimse olmadan da hayal edilebilir; ancak onların anlamsızlığı, matematiğin evrensel bir gerçek olmadığını, sadece insanların doğayı izah etmekte kullandıkları bir araç olduğunu gösterir.

Uzun lafın kısası insanlar doğaya bakıp, ona uygun semboller üretmişlerdir. Bu sembollerden anlamsız olanlar, doğal seçilim yoluyla matematikten elenmiştir. Geriye kalan sembol, aksiyom ve teoremlerin doğayı açıklıyor olması çok normaldir; çünkü bunlar, doğayı açıklayabilecek şekilde manipüle edilmiş ifadelerden ibarettir.

Matematiğin Evrenselliği Evrimsel Bir Yanılgıdır!

Doğada matematik varmış gibi gelmesinin nedeni, milyonlarca yıldır doğal gerçekliğin içinde evrimleşiyor olmamızdandır. Yani bizler, içgüdüsel olarak doğadaki gerçeklerin belirli şekillerde olması gerektiğini biliriz; çünkü tüm atalarımız bu gerçekler içinde adapte olmuşlardır, beyinleri ve beyin bağlantıları ona göre evrimleşmiştir. Bu nedenle, sonradan geliştirdiğimiz matematiği, beynimizdeki gerçekleri yansıtacak şekilde tasarlamamız çok mantıklıdır.

Bunu şöyle düşünün: Doğada "sayı" denen bir kavram yoktur. Doğada, olgular vardır. Örneğin ağaç dediğimiz canlılar, kendilerini tekrar eden kümeler halinde bir araya gelerek ormanları oluştururlar. İnsanlar ve bütün ataları, ormanlara aşina olacak biçimde evrimleşmişlerdir. Dolayısıyla doğada kendisini tekrar eden unsurlar olduğunu bilirler (bu, ağaçlardan kaynaklı olmak zorunda değildir; sürülerinin üyeleri, taşlar ve diğer herhangi bir nesne ile de olabilir). Buna bağlı olarak, benzer olan şeyleri ifade etmek için kelimeler türetmişlerdir. Benzerlerden herhangi birine "1" adını vermişizdir. Sonrasında, o benzer şeyden kendini iki defa tekrar edenlere "2" demişizdir. Bu, o varlıkların "1 adet" veya "2 adet" olmasından; yani bu sayıların o varlıkların özüne işlemiş olmasından kaynaklanmamaktadır.

The Independent

Matematik, fiziksel gerçekliği dikte etmemektedir. Bizler, matematiği, fiziksel gerçekliğimizi yansıtacak şekilde tanımlarız. Günümüzde var olan, en basitten en karmaşığa bütün matematiksel sistemler, bu basit fiziksel gerçeklerin uydurma bir dil ile tanımlanmasından yola çıkarak geliştirilmiştir. Hiçbir basamakta matematik, fiziksel gerçekliği dikte etmemiştir; ancak her basamakta insan zihni, kendisi için işlevsel olabilecek sistemler üretmiştir. Kimi matematikçi, elde oynayabilecek yeterince teorem bulunduğunda, bunlardan çok daha soyut sistemler inşa etmişse de, nihayetinde en soyut sistemler bile, doğadaki en basit tanımlardan türetilmiştir.

Bunu şöyle de ifade edebiliriz: Tüm sayı sistemleri etrafımızda kendini tekrar eden objeleri kategorize ederek gelişmiştir. 1, 2, 3 gibi sayılar, aslında kategorizasyon amacı taşır. Tek, yani kendini tekrar etmeyen bir olguya "1" deriz. Kendini tekrar ediyorsa, tekrar miktarı kadar bu sayıyı arttırırız. Sayılar böyle oluşmuştur. Tüm matematik, bunun üzerine inşa edilmiştir. Dolayısıyla matematiği, doğadaki sistemleri tanımlamak için, doğadaki sistemlere bakarak geliştirdik. Buna bağlı olarak doğada Fibonacci Sayıları gibi sayıların neden var olmadığını (ve Altın Oran gibi kavramların neden bir illüzyon olduğunu) buradaki yazımızdan okuyabilirsiniz.

Matematik, Bir Metafordur!

Matematiğin doğada var olmadığını anlamanın bir diğer yolu, Metafor Teorisi çerçevesinde incelemektir.

İnsan beyni, doğadaki çeşitli süreçleri tanımlayacak biçimde özelleşmiştir. Daha emzik emme çağında olan bebekler üzerinde yapılan çalışmalar, anneleri bir perdenin arkasına 1 adet oyuncak koyduğunda verdikleri tepkinin, 2 veya 3 adet koyduğundakine göre az olduğunu göstermektedir. Oyuncak sayısı arttıkça, bebeklerin ilgisi de artmaktadır. Bu, daha bebeklik çağında insanların mental aritmetik konusunda bir kapasiteye sahip olduğunu göstermektedir. Benzer şekilde bebekler ve küçük çocuklar oyuncaklarla oynarken, bir kutu içine koydukları nesnelerin sayısının artıp azalmasını algılayabilirler. Kutuya ekledikleri nesnelerin, toplam sayıyı arttırdığını, kutudan aldıkları nesnelerin toplam sayıyı azalttığını bilirler. Bu, aritmetik algısına ek olarak, bir yerde değişim olgusunun daha bebeklikten yerleştiğini göstermektedir.

Tüm bunlar, Evren'e dair algılarımızın daha çok küçük yaştan şekillendiği anlamına gelir. Metafor Teorisi'ne göre insan beyni, doğadaki olgular için çeşitli metaforlar, yani benzetimler kullanarak onları anlamlandırır. Örneğin sonsuz kavramını algılamak oldukça zordur; ancak eğer bir insan sonsuzluğu bir sayı olarak değil de, bir süreç olarak örnekleyecek olursa, sonsuz kavramını algılaması da kolaylaşmaktadır.

Wallup

Metafor Teorisi bu konuda şunu söyler: İnsan beyni, başı ve sonu olan süreçleri bir başlangıç noktası, bir ara süreç ve bir sonuç noktası olacak biçimde modeller. Dolayısıyla bu model çerçevesinde sonsuzu anlamak zordur. Ancak "nefes alışverişi" kavramını düşünürken, insanlar henüz bitmemiş, devam eden süreçleri düşünürler. İşte sonsuzluğu da bu metaforla algıladığımızda, çok daha net bir şekilde kavrayabilmekteyiz. Sonsuz kavramı, henüz bitmemiş olan, devam etmekte olan bir matematiksel kavramdır. Bu nedenle $\pi$ sayısının basamakları durmaksızın devam eder; çünkü sonu gelmemiştir ve belki de hiçbir zaman gelmeyecektir.

Bundan yola çıkarak, Evren'deki unsurların neden matematiğe uyuyormuş gibi olduğunu da anlayabiliriz. Teorinin geliştiricilerinden George Lakoff şöyle anlatıyor:

Matematik Evren'de var değildir. Evren vardır; matematik ona uydurulan metaforlarımızdır. Bir spiral galaksiyi düşünün. İlk etapta bu galaksiler, logaritmik matematiğe uyuyor gibi gözükmektedir. Sanki logaritmik matematik, doğanın içinde var gibidir. Ancak bu galaksilerin nasıl o şekle girdiğini anladığınızda, işin yüzü değişir: Kendi etrafında dönen bir cisim vardır ve bu cisim, dışarı doğru yayılan bir patlamayı barındırır. Bu ikisini, yani rotasyon ve dışarı yayılmaya yönelik metaforlarımızı bir araya getirdiğinizde, logaritmik matematiğin yarattığı metafora uygunmuş gibi gözüken bir sürecin ortaya çıktığını görürüz. Yani logaritma, galaksinin içinde var değildir; bizim, o galaksiyi anlama biçimimizde gizlidir. Bir metafordan ibarettir.

Yani matematiği kullanarak Evren'e uyan metaforlar yaratabiliyor olmamız bir mucize değildir; sadece bilişsel kapasitemizin bunu yapabilmeye uygun olduğunu gösterir.

Sonuç

Sonuç olarak, elbette bu tartışmayı tek bir yazıda sonuçlandırmak mümkün değil. Ancak tüm olasılıklara zihnimizi tamamen açık tutmak, Evren'i daha iyi tanımamızı ve matematiğin Evren'deki yerini daha iyi tanımlamamızı mümkün kılabilir.