Temel Bilimlerde Hangi Matematiksel Uzaylar Kullanılır? Hilbert Uzayı Nedir?

Fizikte uzay, genellikle üç boyutlu geometrik bir yapıyı veyahut nesneyi ifade etmek için kullanılır. Bazı durumlarda zamanın da dahil edilmesiyle dört boyutlu hatta on bir boyutlu bir yapı olarak tanımlanabilir. Fizikteki uzay boyutları, deney ve gözlemlerle örtüşecek biçim ve miktarda olmak zorundadır. Ancak matematikte durum farklıdır: Matematikte, istenen herhangi bir sayıda boyut tanımlanabilir.

Bu makalede fizik, matematik ve mühendislik alanlarında sıklıkla kullanılan uzay tanımlarını kısaca vererek, en önemlilerinden biri olan Hilbert Uzayı'nın ne anlam ifade ettiğini anlatmaya çalışacağız.

Uzay Nedir?

Matematikte uzay, belirli bir şekilde etkileşime giren bir vektörler topluluğunu ifade eder. Diğerlerinin yanı sıra tanımlanmış bir dizi operatöre, (sözgelimi toplama çıkarma gibi operatörlere) ve mesafe metriğine, yani iki vektör arasındaki mesafeyi ölçme işlevine sahiptir.

Wikimedia

Topolojik Uzay Nedir?

Bir topolojik uzay, alt uzayların sürekli bozulumunu ya da deformasyonunu veya daha genel olarak bakacak olursak her türlü sürekliliği tanımlamaya izin veren, topoloji adı verilen bir yapıya sahip bir kümedir. Öklid uzayları ve daha genel anlamda metrik uzaylar, herhangi bir mesafe veya metrik bir topolojiyi tanımladığından topolojik uzay örnekleridir. Topolojide dikkate alınan deformasyonlar, homeomorfizmler ve homotopilerdir. Bu tür deformasyonlar altında değişmez olan bir özellik, topolojik bir özelliktir. Aşağıda topolojik özelliklerin temel örnekleri verilmiştir:

• Bir çizgi ile bir yüzey arasında ayrım yapılmasını sağlayan boyut,
• Bir çizgi ile bir daire arasında ayrım yapmaya izin veren kompaktlık,
• Bir daireyi kesişmeyen iki daireden ayırmaya izin veren bağlantılılık.

Ancak uzay ve topolojik uzay aynı değildir. Uzay kavramı, doğrusal uzay ve topolojik uzay olarak ikiye ayrılır. Bu, kaba bir sınıflandırmadır; aslında bu uzaylar birbirlerini dışlamazlar. Her iki kategoriye de giren metrik uzaylar vardır.

Doğrusal uzaylar, doğrusallığa uyan önceden tanımlanmış işlemlere sahip vektör uzaylarıdır. Bir iç çarpım kavramı olmadığı ve dikey bir çizgi veya daire tanımlayamadığımız için doğrusal uzayların belirli kısıtlamaları vardır. Topolojik uzaylar gerçek dünyaya daha yakındır ve etrafımızdaki şeyleri tekdüze yüzeyler gibi tanımlamamıza yardımcı olurlar. Dolayısıyla topolojik uzaylardan yola çıkarak Hilbert uzaylarına ulaşmak çok daha kolaydır.

Metrik Uzay Nedir?

Matematikte bir metrik uzay; genellikle "nokta" olarak adlandırılan öğeleri arasında mesafe kavramı bulunan bir kümedir. Mesafe, "metrik" veya "mesafe işlevi" adı verilen bir işlevle ölçülür. Metrik uzaylar, matematiksel analiz ve geometri kavramlarının çoğunu incelemek için kullanılan en genel kavramdır.

Bir metrik uzayın en bilinen örneği, her zamanki mesafe kavramıyla 3-Boyutlu Öklid uzayıdır. Diğer bir iyi bilinen örnek, açısal mesafe ve hiperbolik düzlem ile donatılmış bir küredir. Bir metrik, fizikselden ziyade mecazi bir mesafe kavramına karşılık gelebilir. Toplar, tamlık, tekdüzelik, Lipschitz ve Hölder sürekliliği dahil olmak üzere matematiksel analizin temel kavramlarının çoğu metrik uzayların düzeninde tanımlanabilir. Süreklilik, kompaktlık, açık ve kapalı kümeler gibi diğer kavramlar metrik uzaylarda, hatta daha genel topolojik uzaylar ortamında da tanımlanabilir.

Metrik Uzay, küme üzerinde tanımlanmış bir metriğe sahip olan topolojik uzayın bir alt kümesidir. Bir metrik temel olarak uzaydaki iki nokta arasındaki mesafeyi hesaplayan bir fonksiyondur. Fonksiyon, her $x,y\in X$ çiftine bir $d(x,y)$ gerçek sayısı verir. Ayrıca fonksiyon aşağıdaki özellikleri sağlamalıdır:

• Tüm $(x,y)\in X$ için $d(x,y)\ge 0$.
• Eğer $x=y$ ise $d(x,y)=0$.
• Tüm $(x,y)\in X$ için $d(x,y)=d(y,x)$ (Değişmeli özellik).
• Her $(x,y,z)\in X$ için $d(x,z)+d(z,y)\ge d(x,y)$ (Üçgen eşitsizliği).

Bu özellikler, Öklid uzayında karşılaştığımız uzaklık fonksiyonu için doğru olduklarından yeterince sezgiseldir. Bu özellikleri sağlayan herhangi bir $d$ işlevi bir metrik işlev olabilir. Bu nedenle $M$ metrik uzayı, $(X,d)$'nin sıralı çifti olarak tanımlanır. Sıklıkla kullanılan bazı metrik işlevler şöyle tanımlanır:

• Öklid Mesafesi: $d(x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$
• Manhattan Mesafesi: $d(x,y)=|y-x|$
• Minkowski Mesafesi: $d(x,y)=(\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^p{)}^{1/p}$

Tamlık Nedir?

İlerlemek için değinmemiz gereken bir diğer önemli kavram, bir metrik uzayın "tamlığıdır" ki bu kavramı anlayabilmek için Cauchy dizilerini bilmemiz gerekir. Cauchy Dizisi, dizi ilerledikçe üyeleri giderek birbirine yaklaşan bir dizidir. Mavi noktaların $n$ arttıkça nasıl yakınlaştıklarını aşağıdaki şekilde görebiliriz.

Bir metrik uzay $[M=(X,d)]$ bağlamında Cauchy Dizisi, seri ilerledikçe mesafesi küçülen dizi olarak tanımlanır. Öyle ki, $N$ pozitif bir tam sayı olmak üzere N">$m,n>N$ verildiğinde$d(x,y)<ϵ$ ifadesi doğrudur.

Böylece dizi, $X$'teki bir öğeye yakınsar. Bir metrik uzay içindeki her Cauchy Dizisi, $X$'teki bazı öğelere yakınsıyorsa tam olarak adlandırılır.

Norm ve Normlu Uzay Nedir?

Norm, bir vektör uzayındaki (sıfır vektörü hariç) her vektöre uzunluğunu veya büyüklüğünü gösteren pozitif bir değer veren bir fonksiyondur. Genellikle $||x||$ olarak gösterilir. Normun genel tanımı şöyle yazılabilir:

$||x|{|}_p=(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p{)}^{1/p}$

Bu denklemde $p$ değişkenine bir değer atarsak, birkaç farklı örnek görebiliriz. Mesela $p=1$ değeri için mutlak değer normunu, $p=2$ için ise Öklid normunu elde ederiz.

Normlu bir vektör uzayı, mesafe fonksiyonu fark vektörünün uzunluğu olarak tanımlanan bir metrik uzaydır:

$d(x,y)=||x-y||$

Her normlu uzay hem doğrusal bir topolojik uzay hem de bir metrik uzaydır. Doğrusal ve topolojik uzaylar arasındaki kesişmenin mükemmel bir örneğidir.

Matematikte normlu bir vektör uzayı veya normlu uzay, üzerinde bir normun tanımlandığı gerçek veya karmaşık sayılar üzerindeki bir vektör uzayıdır. Bir norm, fiziksel dünyadaki sezgisel "uzunluk" kavramının genelleştirilmesidir. Metrik uzayların üzerinde metrik fonksiyon $d$ dışında tanımlanmış herhangi bir işleç yoktur. Bununla birlikte, analizde ortaya çıkan uygulamaların çoğu vektörün uzunluğunu gösteren bir normdan türetilmiştir.

Banach Uzayı Nedir?

Matematikte, daha spesifik olarak fonksiyonel analizde, bir Banach uzayı tam bir normlu vektör uzayıdır. Dolayısıyla bir Banach uzayı, vektör uzunluğunun ve vektörler arasındaki mesafenin hesaplanmasına izin veren bir metriğe sahip bir vektör uzayıdır ve bir Cauchy vektör dizisinin her zaman uzay içinde iyi tanımlanmış bir sınıra yakınsaması anlamında tamamlanmıştır.

İç Çarpım Uzayı Nedir?

İç çarpım uzayı, iç çarpım olarak bilinen yeni bir yapı sunar. Öklid uzayında iç çarpım, skalerlerle nokta çarpımı ile aynıdır. İç çarpım, skaler bir nicelik üretmek için iki vektör üzerinde hareket eden matematiksel bir operatördür. Aşağıda bazı özellikleri verilmiştir:

• Doğrusallık: $⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$
• Eşlenik Simetri: $⟨x,y⟩=\overline{⟨y,x⟩}$
• Pozitif-Kesinlik: $⟨x,y⟩\ge 0,(\forall x\ne 0)$

Vektörler arasındaki diklik ve açı artık hesaplanabildiğinden, iç çarpımlar metrik uzaylara önemli bir yapı katar. İç çarpımları kırarsak öklid normuna yani skaler forma iner. İç çarpım uzayları, temel ilkeleri daha yüksek boyutlu vektörleri tahmin etmek kolay olduğu için öklid uzaylarını genelleştirmenin harika bir yoludur.

Hilbert Uzayı Nedir?

Matematikte Hilbert uzayı, iç çarpım tarafından tanımlanan norma göre tamamlanmış bir iç çarpım uzayıdır. Hilbert uzayları, Fourier açılımı kavramını ve Fourier dönüşümü gibi belirli doğrusal dönüşümleri açıklığa kavuşturmaya ve genelleştirmeye hizmet eder. Hilbert uzayları, kuantum mekaniğinin matematiksel formülasyonunda çok önemlidir; ancak kuantum mekaniğinin birçok temel özelliği, Hilbert uzayları hakkında ayrıntılara girmeden de anlaşılabilir. Hilbert uzayları daha çok fonksiyonel analizde incelenir.

Hilbert Uzayı'nın Kısa Tarihi

Alman matematikçi David Hilbert, Hilbert uzayını ilk olarak 1902-1912 döneminde dikkatini çeken integral denklemler ve Fourier serileri üzerine yaptığı çalışmasında tanımladı. Hilbert'in araştırmasından kısa bir süre sonra, Avusturyalı-Alman matematikçi Ernst Fischer ve Macar matematikçi Frigyes Riesz, kare integrallenebilir fonksiyonların (mutlak değerlerinin karesinin integralinin sonlu olduğu fonksiyonlar), Hilbert uzayına eşdeğer tam bir iç çarpım uzayında "noktalar" olarak da kabul edilebileceğini kanıtladılar. Bu bağlamda Hilbert Uzayı, kuantum mekaniğinin gelişmesinde rol oynamış, uygulamalı matematik ve matematiksel fizikte önemli bir matematiksel araç olmaya devam etmiştir. 

Hilbert uzayının keşfi, analiz alanında matematikçilerin oldukça genel lineer uzayların özelliklerini inceledikleri yeni bir alan olan fonksiyonel analizi başlattı. Bu uzaylardan biri, şimdi Hilbert uzayları olarak adlandırılan, ilk olarak 1929'da Macar-Amerikalı matematikçi John von Neumann tarafından bu uzayları soyut bir aksiyomatik şekilde tanımlamak için kullanılan bir tanım olan tam iç çarpım uzaylarıdır. 

Hilbert uzayı ayrıca topolojide yeni fikirler için bir kaynak sağlamıştır. Bir metrik uzay olarak Hilbert uzayı, sonsuz boyutlu doğrusal bir topolojik uzay olarak kabul edilebilir ve 20. yüzyılın ilk yarısında topolojik özellikleriyle ilgili önemli sorular ortaya atılmıştır. Başlangıçta Hilbert uzaylarının bu tür özelliklerinden ilham alan araştırmacılar, 1960'larda ve 70'lerde sonsuz boyutlu topoloji adı verilen yeni bir topoloji alt alanı oluşturmuştur.

En eski Hilbert uzayları; 20. yüzyılın ilk on yılında David Hilbert, Erhard Schmidt ve Frigyes Riesz tarafından incelenmiştir. Bu uzaylar kısmi diferansiyel denklemler, kuantum mekaniği, Fourier analizi ve ergodik teorilerinde vazgeçilmez araçlardır.

John von Neumann, bu farklı uygulamaların birçoğunun altında yatan soyut kavram için "Hilbert uzayı" terimini icat etmiştir. Hilbert uzay yöntemlerinin başarısı, fonksiyonel analiz için çok verimli bir çağ başlatmıştır.

Hilbert uzayları, onları integral denklemler bağlamında inceleyen David Hilbert'in adını almıştır. "Der abstrakte Hilbertsche Raum" tanımı, John von Neumann'ın 1929'da yayınlanan sınırsız Hermitian operatörleri üzerine yaptığı ünlü çalışmasına dayanmaktadır. Von Neumann, kuantum mekaniğinin temelleri üzerine Hilbert ve Lothar (Wolfgang) Nordheim ile başlayan ve Eugene Wigner ile devam eden ufuk açıcı çalışmasının bir sonucu olarak bunların önemini belki de en açık şekilde anlayan matematikçidir.

Soyut bir Hilbert uzayının elemanlarına bazen "vektörler" denir. Uygulamalarda vektörler, tipik olarak karmaşık sayı veya fonksiyon dizileridir. Örneğin kuantum mekaniğinde, fiziksel bir sistem, sistemin olası durumlarını temsil eden dalga fonksiyonlarını içeren karmaşık bir Hilbert uzayı ile tanımlanır. Kuantum mekaniğinde yaygın olarak kullanılan düzlem dalgaların ve bağlı durumların Hilbert uzayı, hileli Hilbert uzayı olarak da bilinir.

Geometrik sezgi, Hilbert uzay teorisinin birçok yönünde önemli bir rol oynar. Pisagor teoreminin ve paralelkenar yasasının tam benzerleri bir Hilbert uzayında geçerlidir. Daha derin bir seviyede, doğrusal bir alt uzaya veya bir alt uzaya dikey izdüşüm, optimizasyon problemlerinde ve teorinin diğer yönlerinde büyük önem arz eder. Bir Hilbert uzayının bir elemanı, klasik geometrideki Kartezyen koordinatlara benzer şekilde, ortonormal bir temele göre koordinatlarıyla benzersiz bir şekilde belirtilebilir. Bu temel sayılabilir şekilde sonsuz olduğunda, Hilbert uzayını kare toplanabilen sonsuz dizilerin uzayı ile tanımlamaya izin verir. İkinci uzay genellikle eski literatürde Hilbert uzayı olarak anılır.

Hilbert Uzayı'nın Matematiksel Tanımı

Bir Hilbert uzayı, iç çarpımı $⟨f,g⟩$ olan bir H vektör uzayıdır, öyle ki norm şu şekilde tanımlanır:

$|f|=\sqrt{⟨f,f⟩}$

Bir $H$ uzayı bu norma göre tam ise $H$'ye Hilbert uzayı denir. Bu bağlamda tamlık, uzayın her bir Cauchy dizisinin farklılıklar normunun sıfıra yaklaşması anlamında uzayda bir elemana yakınsadığı anlamına gelir. Bu nedenle her Hilbert uzayı aynı zamanda bir Banach uzayıdır. (Ancak her Banach uzayı bir Hilbert uzayı değildir.)

Tüm sonlu boyutlu iç çarpım uzayları da Hilbert uzaylarıdır. Ancak uygulamalarda sonsuz boyutlu örnekler çok daha önemlidir. Bu uygulamalar şunları içerir:

• Üniter Grup Temsilleri Teorisi,
• Kare İntegrallenebilir Stokastik Süreçler Teorisi,
• Kısmi diferansiyel denklemlerin Hilbert Uzay Teorisi,
• Dirichlet Probleminin formülasyonları,
• Dalgacık Teorileri de dahil olmak üzere fonksiyonların spektral analizi,
• Kuantum Mekaniğinin matematiksel formülasyonları.

İç çarpım, kişinin "geometrik" bir görüş benimsemesine ve sonlu boyutlu uzaylardan aşina olduğu geometrik dili kullanmasına izin verir. Tüm sonsuz boyutlu topolojik vektör uzayları arasında Hilbert uzayları, en uygun ve sonlu boyutlu uzaylara en yakın olanlardır.

Fourier analizinin bir amacı da belirli bir işlevi, verilen temel işlevlerin katlarının (muhtemelen sonsuz) toplamı olarak yazmaktır. Bu problem, Hilbert uzaylarında soyut olarak incelenebilir: Her Hilbert uzayının ortonormal bir temeli vardır ve Hilbert uzayının her elemanı, bu temel elemanların katlarının toplamı olarak benzersiz bir şekilde yazılabilir.