Laplace Denkleminin Dairesel Bölgede Neumann Tipi Sınır Koşullarında Çözümü

Laplace denklemi ilk defa Pierre Simon Laplace tarafından çalışılmış, matematikte, fizikte ve mühendislikte oldukça önemli bir denklemdir. Fizikte en çok akla gelen uygulama alanı Maxwell denklemleri, Laplace operatörü ile ifade edilir. Kimyada ise bu denklem, homojen olmayan versiyonu ile karşımıza çıkar: Young-Laplace denklemi. Bu denklem yüzey gerilimi veya duvar gerilimi fenomeni nedeniyle su ve hava gibi iki statik sıvı arasındaki arayüz boyunca sürdürülen kılcal basınç farkını tarif eder.

Matematiksel olarak ise en bilindik eliptik tipteki kısmi türevli diferansiyel denklemdir. Ayrıca kompleks analizde bir kompleks fonksiyonun analitik olup olmamasını Laplace denklemi ile çok yakından alakası vardır. Bu yazıda Laplace denklemi basitçe detaylara girerek tanıtılıp daha sonra Neumann tipi sınır koşullarına sahip homojen Laplace denkleminin dairesel bir kesit üzerinde çözümü yapılacaktır.

Tanım(Laplace Operatörü): $u$ iki değişkenli fonksiyonunun Laplace operatörü altındaki görüntüsü $\Delta u$ ile gösterilir ve $\Delta u=u_{xx}+u_{yy}$ ile tanımlanır. İç çarpım ile bir gösterim yapacak olursak ">$\Delta u=<\nabla ,\nabla u>$ ile tanımlanır.

Tanım (Laplace Denklemi): İki boyutlu öklid uzayından bir boyutlu öklid uzayına tasvir yapan ikinci mertebeden türevleri mevcut olan bir $u$ fonksiyonu $u_{xx}+u_{yy}=0(1)$ denklemini bir $D$ bölgesinde sağlıyorsa $u$ fonksiyonuna $D$ bölgesinde harmonik fonksiyon denir. $(1)$ denklemine ise Laplace denklemi adı verilir.

Tanım (Neumann tipi sınır koşulu): Neumann tipi sınır koşulu bir kısmi türevli diferansiyel denklemde bilinmeyen fonksiyonun kısmi türevleri üzerine verilen koşullardır.

Harmonik fonksiyonlar Laplace denkleminden çok daha farklı yerlerde de karşımıza çıkar. Kompleks kümede tanımlı bir fonksiyonun analitikliği ile ilgili çok güçlü bilgiler sunarlar. Harmonik fonksiyonların kümesini $H$ ile göstereceğiz. Aşağıdaki kanıtsav da analitiklik ile harmonik fonksiyonlar arasındaki ilişkilerden birini içeriyor.

Kanıtsav: $f(z)=u+iv$ kompleks basit bağlantılı bir altuzayda tanımlı bir fonksiyon olsun, bu fonksiyonun analitik olması için gerek ve yeter koşul $u$ ve $v$ fonksiyonlarının $H$ kümesine ait olmasıdır.

Kanıt: Yeterlilik koşulu daha çok kompleks analiz gerektirdiğinden sadece gereklilik koşulu kanıtlanacaktır, yeterlilik koşulu için ileri okumalar bölümünden bir kanıt bulunabilir. $f=u+iv$ basit bağlantılı bölgede analitik olsun, o halde Cauchy-Riemann denklemleri sağlanır. Karışık türev teoreminden bu fonksiyonların harmonik olması gerektiği kolayca görülür. QED.

Dairesel bir bölgede çözmeden önce, çözümün mantığını özümsemek gerektiğinden önce dikdörtgensel bölgede bir çözüm yapacağız. Dairesel bölgede de aynı yöntemi izleyeceğiz.

Problem: $D$ bölgesi $0\le x\le a,0\le y\le b$ bölgesi olsun. Bu bölgede Laplace denkleminin sınır koşulları $u_x(0,y)=u_y(x,0)=u_y(x,b)=0,u_x(a,y)=f(y)$ olarak verilsin. Bu problemi çözelim.

Değişkenlerin ayrılması yöntemini kullanarak adi diferansiyel denklem çözer gibi bir çözüm önerisinde bulunacağız, önerimiz $u(x,y)=X(x)Y(y)$ formunda olsun, bunu tercih etmemizin nedeni değişkenlerine ayrılabilen bir fonksiyonla başa çıkmanın çok daha kolay olmasındandır.

Çözüm önerisini Laplace denkleminde yerine koyarsak $X^{\prime \prime }-\lambda X=0...(3),Y^{\prime \prime }+\lambda Y=0...(4)$ olmak üzere iki denkleme ulaşırız. Burada $\lambda$ özdeğerleri temsil etmektedir, $(4)$ denklemi için sınır koşullarından $Y^{\prime }(0)=Y^{\prime }(b)=0$ koşullarını elde ederek bir Sturm Liouville problemi elde ederiz.

Çözüm yapılırsa ${\lambda }_n=\genfrac{}{}{0ex}{}{n\pi }{b}$ olarak bulunur.

$Y_n(y)=\cos (\genfrac{}{}{0ex}{}{n\pi }{b}y)$ olarak bulunur, dikkat etmek gerekir ki $n=0$ olduğunda $Y_0(y)=a_0$ sabit fonksiyon olacaktır.

Özdeğerler $(3)$ denklemine de konursa $X_n(x)=a_n\cosh (\genfrac{}{}{0ex}{}{n\pi }{b}x)+b_n\sinh (\genfrac{}{}{0ex}{}{n\pi }{b}x)$ olarak bulunur, burada $n$ pozitif tamsayıdır. süperpozisyon ilkesinden dolayı genel çözüm $u(x,y)=a_0+\sum (a_n\cosh (\genfrac{}{}{0ex}{}{n\pi }{b}x)+b_n\sinh (\genfrac{}{}{0ex}{}{n\pi }{b}x))\cos (\genfrac{}{}{0ex}{}{n\pi }{b}y)$ sayılabilir sonsuz toplam olarak bulunur.

Sınır koşulları yerine yerleştirilirse, $a_n=0,b_n=B{\int }_{-\pi }^{\pi }f(w)\cos (\genfrac{}{}{0ex}{}{nw\pi }{b})dw$ olarak bulunur, burada $B=\genfrac{}{}{0ex}{}{b.cosech(\genfrac{}{}{0ex}{}{na\pi }{b})}{n{\pi }^2}$ sabittir. Ayrıca Fourier açılımından dolayı $a_0=0$ olmalıdır yani ${\int }_{-\pi }^{\pi }f(w)dw=0$ eşitliği sağlanmalıdır.

Kompleks Analiz

Bu problemin çözümü bize çözümün varlığı hakkında bir koşul söyler, peki diferansiyel denklemlerin olmazsa olmazı çözümün tekliği için neler söyleyebiliriz? Bize burada kompleks analiz yardım edecek. Harmonik fonksiyonların supremum ve infimum prensiplerinden yararlanarak çözümün tekliği hakkında bir kanıtsav ortaya atacağız.

Kanıtsav: Bir $D$ bölgesinde harmonik bir $u$ fonksiyonu supremum (infinimum) değerini bu bölgenin sınırında alır.

Bu kanıtsavın kanıtı için ileri okumalar kısmından okuma yapılabilir.

Kanıtsav: $D$ bölgesinde Neumann tipi sınır koşullarına sahip Laplace denklemini sağlayan bir harmonik fonksiyon varsa bu fonksiyon tektir.

Kanıt: Çelişki yöntemi ile kanıt yapacağız. $u_1,u_2$ iki çözüm olsun. O halde $u=u_1-u_2$ fonksiyonunu tanımlayalım $u_{xx}+u_{yy}=\Vert \nabla (u_1-u_2){\Vert }^2$ olur. Buradan diverjans teoremi kullanılırsa $u_1=u_2$ sonucuna varılır. Yani çözüm varsa o çözümün tekliği garanti edilir.

Buraya kadarki elde ettiğimiz sonuçlar bize çözümün varlığı, tekliği, supremum ve infimum değerini nerede aramamız gerektiğini gösterdi, bütün bu ısınma turları karşılığında artık istediğimiz şey olan dairesel bölgede çözümü yapabiliriz.

Dairesel bir bölgede çözüm için koordinat takımı değişikliğine gitmek gerekir,bu denklemi çözmek için aşağıda tanıtılacak kutupsal koordinat takımı kullanılacaktır.

Tanım (Kutupsal Koordinatlar): $(x,y)\to (r,\theta )$ koordinat dönüşümü $x=r\cos (\theta ),y=r\sin (\theta )$ 0 , 0≤\theta≤2\pi">$r>0,0\le \theta \le 2\pi$ ile tanımlanan dönüşümdür.

Laplace denklemini kutupsal koordinat takımında ifade etmek istersek kısmi türev operatörünün zincir kuralını da kullanarak $u_{xx}+u_{yy}=u_{rr}+r^{-1}{u}_r+r^{-2}{u}_{\theta \theta }=0...(2)$ denklemine elde ederiz. Artık çözmek istediğimiz problemi çözmek için gerekli her bilgiye sahibiz.

Problem: $u_{rr}+r^{-1}{u}_r+r^{-2}{u}_{\theta \theta }=0,R_1\le r\le R_2,0\le \theta <\alpha \le \pi /2$

Sınır koşulları $u_r(R_1,\theta )=f(\theta ),u_r(R_2,\theta )=g(\theta ),u_{\theta }(r,0)=0=u_{\theta }(r,\alpha )$

Adi diferansiyel denklemlerdeki mantıkla aynı olarak bir çözüm önerisinde bulunacağız. $u(r,\theta )=R(r)T(\theta )$ formundaki bu öneri denklem için klasik çözüm önerisidir. Bu öneriyi denklemde yerine yerleştirirsek, $r^2{R}^{\prime \prime }+r{R}^{\prime }+\lambda R=0(3),T^{\prime \prime }+\lambda T=0(4)$ olmak üzere iki yeni denklem elde ederiz. Burada $\lambda$ keyfi değildir özdeğer adı verilir.

Dikdörtgensel bölgede uyguladığımız yöntemi buraya uyarlarsak, $(4)$ denklemine ana problemimizdeki sınır koşulları yardımı ile $T^{\prime }(0)=T^{\prime }(\alpha )=0$ sınır koşullarını eklersek bu denklemi bir Sturm-Liouville problemine dönüştürürüz.

$(4)$ denklemini sınır koşullarıyla birlikte çözersek ${\lambda }_n=0$ özeğeri için $T_0(\theta )=b_0(sabit)$ ${\lambda }_n=n\pi /\alpha$ özdeğeri için $T_n(\theta )=\cos (n\pi \theta /\alpha )$ özfonksiyonları bulunur, burada $n$ doğal sayıdır.

Bulduğumuz özdeğerleri $(3)$ denkleminde de kullanırsak $R_0(r)=a_0\ln (r)$ ve $R_n(r)=a_n{r}^{n\pi /\alpha }+b_n{r}^{-n\pi /\alpha }$ olarak bulunur. Süperpozisyon ilkesinden:

$u(r,\theta )=a_0\ln (r)+b_0+\sum ($$a_n{r}^{n\pi /\alpha }+b_n{r}^{-n\pi /\alpha })$$\cos (n\pi \theta /\alpha )$

çözümüne ulaşılır. Sınır koşulları da işin içine katılırsa Fourier serilerinden esinlenilerek

$a_0=R_1/2\pi {\int }_{-\pi }^{\pi }g(\theta )d\theta$, $a_n=\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha /n{\pi }^2{\int }_{-\pi }^{\pi }(R_2^{-(n\pi +\alpha )/\alpha }g(\theta )-R_1^{-(n\pi +\alpha )/\alpha }f(\theta ))\cos (n\pi /\alpha )d\theta }{C}$

$b_n=\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha /n{\pi }^2{\int }_{-\pi }^{\pi }(R_2^{(n\pi -\alpha )/\alpha }g(\theta )-R_1^{(n\pi -\alpha )/\alpha }f(\theta ))\cos (n\pi /\alpha )d\theta }{C}$

burada:

$C=(R_1/R_2{)}^{(n\pi -\alpha )/\alpha }-(R_2/R_1{)}^{(n\pi -\alpha )/\alpha }$ olarak hesaplanır. Ayrıca Green teoreminden dolayı $b_0=0$ olarak bulunur.

Bu denklemi biraz daha analiz edersek, $R_1\to 0$ iken çözümün bilinen bir problem olan dairesel bölgede Neumann tipi Laplace denklemi problemine dönüşmesi beklenir. Gerçekten de $a_0\to 0,f(\theta )\to 0$ olur ve katsayılar da bu çözümlü problemle uyumlu olur. Yani önerdiğimiz bu çözüm bütün dairesel tipteki bölgeler için geçerlidir, Laplace denkleminin Neumann tipi probleminin en genel çözümü bu önerdiğimiz çözümdür.

Bu karmaşık katsayılar bize tıp için çok önemli bir cihaz hakkında çeşitli bilgiler verir. Örneğin, Elektriksel Empedans Tomografi cihazının potansiyel fonksiyonunun seviye eğrileri, tam dairesel bölge üzerindeki Laplace denklemi ile bulunabilir. Bunun için tek yapmamız gereken şey $R_1=0,f(\theta )=0,g(\theta )=I_0\delta (\theta -\pi /2)-I_0\delta (\theta +\pi /2)$ olarak almak. Burada $I_0$ bir sabit ve $\delta$ Dirac delta fonksiyonudur. Bu problemi çözebilir misiniz?

Laplace denkleminin cilt cilt kitaplara ancak sığacak özellikleri vardır ancak bu yazıda birkaçını paylaştık ve Laplace denkleminin özel bir hali için çözüm yaptık. Son bölümde uygulama olarak yaptığımız Elektriksel Empedans Tomografi probleminin çözümünü de sizlere alıştırma olarak bırakıyoruz.