Pi (π) Sayısının Kaç Basamağını Bilmek Yeterlidir?

14 Mart, Dünya Pi Günü olarak kutlanır. $\pi$ sayısının ilk üç basamağı 3.14 olduğundan 3. ayın 14. günü Pi Günü olarak seçilmiştir. Bu tarih, ABD'de kullanılan formatla, 3/14 olarak belirtilir. Aslında diğer ülkelerde de bu "özel gün" aynı gün yaşanır; ancak tarih formatının farklılığından ötürü 14/3 şeklinde gösterilir ve 3.14 olamaz. Bu yüzden bazı bölgelerde 22 Temmuz günü (yani 22/7), $\pi$'nin kesirli gösterimini temsil ettiğinden Pi Günü olarak daha uygun bulunabilir.^[1]

İrrasyonel bir sayı olduğu için sonsuz basamağı olan $\pi$'nin tamamını yazmak mümkün değildir. Bir kesir kullanarak ona yakın bir sayı elde edebilirsiniz (ama asla birebir pi sayısını elde edemezsiniz; zaten "irrasyonel", bu anlama gelir) veya sadece birkaç basamağı yazabilirsiniz. Tabii sonsuza kadar gittiği düşünülen bir sayıyı "3", "3.1" veya "3.14" kadar kısa kullanmak da biraz absürt gelmektedir. Mesela 3.14159 veya 3.14159265359 ya da bir trilyon basamaklı bir gösterim daha iyi olmaz mıydı? Sahi, bu basamakların kaç tanesine ihtiyacımız var?^[2]

Pi Nedir?

$\pi$ sembolüyle de gösterilen pi'yi tanımlamakla başlayalım. En basit tanımıyla $\pi$, bir çemberin çevresinin çapına oranıdır. Yani bir çemberin etrafının uzunluğunu (çevresini) ölçüp, bir noktasından en uzaktaki noktaya olan mesafesine (çapına) bölerseniz $\pi$ sayısını bulursunuz. Nasıl bir çember kullandığınız fark etmez, bu oran her çemberde aynıdır. Bu cümlenin sonundaki noktada da ekvator çemberinde de oran aynı ve $\pi$'ye eşittir.

Ayrıca, $\pi$ sadece çemberlerde değil birçok yerde karşımıza çıkar. Rastgele bir yürüyüşte ve salınan bir yayın yukarı ve aşağı gitmesi için geçen süre içinde, sallanan bir sarkaçta veya rastgele bir sayı dizisinde $\pi$'yi bulabilirsiniz. Son olarak, basit görünen ancak adeta sihirli bir eşitlik olan Euler Eşitliği'nde de $\pi$ görülür:^[3]

$e^{i\pi }+1=0$

Euler Denklemi'nin parçaları, salınım devrelerinde veya Schrödinger'in kuantum mekaniği denklemleri gibi diferansiyel denklemlerin çözümünde ortaya çıkar.

Pi'nin Sadece Bir Kısmını Kullansak Olmaz mı?

Zaten öyle yapıyoruz. Kimse $\pi$'nin tüm basamaklarını yazmıyor, yazamaz da. Önemli olan, $\pi$'nin ne kadarının yeterli olduğu.

Hemen hemen her fizik dersinde $\pi$'yi 3.14 olarak alırız. Peki sadece 3 alsaydık? Böylece hesaplamalar çok daha kolay olurdu. $\pi$'yi 3'e eşit kabul edersek neler olacağına bir bakalım:

Pi ve Hız Göstergeniz

Arabanızdaki hız göstergesiyle başlayalım. Telefonunuzun haritasındaki hız ölçerden bahsetmiyoruz, arabanızdaki 0 ila 200 gibi değerler arasını gösteren hızöçere bakalım. Bu gösterge, tekerleklerin dönüş sayısına göre hızınızı hesaplar. Benzer olarak, kilometre sayacınız da tekerleklerin dönüşüne göre ne kadar yol katettiğinizi bulur.

Tekerleğin 1 tur dönmesi, arabayı tekerleğin çevresi kadar ilerleteceğinden, kilometre sayacı için şu eşitlik yazılabilir:

Wired

Burada $s$, alınan yolu; $f$ ise tur sayısını ifade ediyor. Tekerlek bir tam tur dönerse (yani $f$ = 1 ise) alınan yol ($s$) 2$\pi$$R$ olacaktır. Bu ifadede $f$, tam veya kesirli turları ifade edebilir. Derece veya radyanla ölçülen bir açıyı kullanmak da mümkündür, ancak şimdilik formülü basit tutalım.

Kilometre sayacına dönersek; alınan yolu bildiğimize göre hız, alınan yolun zamana oranıdır. Böylece aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz:

$v=\frac{\Delta s}{\Delta t}=(2\pi R)\frac{\Delta f}{\Delta t}$

Yani, bu formülle, çizgisel hızı tekerleğin açısal hızından elde ederiz. Tek ihtiyacımız olanlar, tekerleğin yarıçapı ve $\pi$'nin değeridir.

Şimdi, tekerleri 25 cm yarıçapındaki arabamızın 50 m/saat (saniyede 22.352 metre) hızla gittiğini düşünelim. Bu da tekerlerin saniyede 14.2297 kez dönmesi demektir.

Ancak diğer yolu kullanır, yani $\pi$'yi 3 alırsak hız göstergesi 47.7466 m/saat hızla gittiğimizi gösterecektir. Bu da hızda %4.5'luk bir hata yapmak demektir.

Fakat buradaki asıl sorunun $\pi$ olmadığına dikkat etmek gerekir; çünkü aslında hız göstergeleri zaten mükemmel çalışamaz. Ayrıca tekerleklerin çapı da önemli bir etkendir. Daha küçük çaplı tekerler kullanırsanız, tekerleklerin her dönüşünde araba daha az yol alacaktır. Bu halde sayacınız gittiğiniz yolu olduğundan daha fazla gibi gösterir. Ayrıca, aşınan veya uygun şekilde şişirilmeyen tekerleklerin de çapı beklenenden farklı olacaktır.

Aslına bakarsanız ABD Ulaştırma Bakanlığına göre, bir sayacın mükemmel ölçümler yapmasına da gerek yoktur: Saatte 5 metrelik bir hata payı içeren bir ölçüm, "yeterince doğru" bir ölçüm sayılmaktadır.^[4] Yani saatte 50 km'lik bir hız 45 veya 55 km şeklinde okunsa bile, ölçüm yeterince doğru olacaktır. O halde, $\pi$'yi 3 almamızda hiçbir sorun yoktur. En azından bu örnek için...

Dünyanın Yoğunluğunu Bulurken Ne Olur?

Şimdi, başka bir hesaplamada $\pi$'yi 3 almayı deneyelim. Küremsi şekildeki Dünya'mızın yoğunluğunu hesaplayalım.

Yoğunluk, kütlenin hacme oranı olarak tanımlanır ($d=\frac{m}{V}$). Dünya'nın kütlesini bulmak için yerçekimi kuvvetinden yararlanabiliriz.^[5] Dünya'nın yarıçapını bulmak içinse birkaç farklı yol var.^[6] Bunları bulunca, geriye sadece hacmi bulmak kalıyor.

Tabii ki yukarıda verdiğimiz basit yoğunluk formülü, Dünya'nın yoğunluğunun yaklaşık bir değerini verecektir. Çünkü Dünya'nın yüzeyi gibi bazı bölgeleri, çekirdeğinden daha az yoğundur. Ancak yine de Dünya'nın kütlesi 5.972 x 10²⁴ kg ve yarıçapı yaklaşık 6.3781 x 10⁶ metredir. Böylece Dünya'nın yoğunluğunu metreküp başına 5,494.87 kg olarak buluruz.

$\pi$'yi 3 almış olsaydık, yoğunluğu 5,754.21 kg/m³ bulacaktık. İki yoğunluk değeri arasında büyük fark varmış gibi görünse de her iki değer de tam olarak doğru değildir. Bunun sebebi Dünya'nın küre değil geoit şeklinde olmasıdır. Dönme hareketinden dolayı Dünya'nın yarıçapı ekvatorda daha genişken kutuplardan geçen bir çemberin yarıçapı daha küçüktür. Sonuç olarak, $\pi$ 'yi 3 almak burada da büyük bir sorun yaratmaz.

Peki Ya Trigonometrik Fonksiyonlar?

Birçok klasik matematik problemi, trigonometrik fonksiyonlarla çözülür. Biz, aşağıdaki basit gölge problemine bakacağız:

Wired

Ağaç yere dik olduğundan, gölgesi bir dik üçgenin kenarınlarından birini oluşturur. İşte, trigonometri! Bu dik üçgenin açılarından birinin ölçüsünü ve bu açının komşu kenarının uzunluğunu biliyoruz. Ağacın boyunu aradığımıza göre, bize diğer kenarın uzunluğu gerekiyor. Bu da bizi tanjant fonksiyonuna götürür (yani "karşı kenar bölü komşu kenar").

Peki bu hesaplamada $\pi$'yi 3 alsak ne değişirdi? Hiçbir şey! Basit trigonometrik fonksiyonlar dik üçgenlerin kenarlarının birbirlerine oranlarıdır. 34 derecelik bir dik üçgeniniz varsa, karşı kenarın komşu kenara oranı her zaman 0.6745 olacaktır. Yani $\pi$'nin değeriyle oynamak hiçbir şeyi değiştirmez. Üçgen de kenarların oranı da aynı kalacaktır.

O halde farklı açıların $\sin$, $\cos$ veya $\tan$ değerlerini nasıl buluyoruz? En eski yol, trigonometrik tabloya başvurmaktır. Bu tablolar, açıların $\sin$, $\cos$ veya $\tan$ değerlerinin yazdığı basit tablolardır:^[7]

ÜniRehberi

Cebinizdeki hesap makinesi de bu yöntemi kullanır. Tabloya ve girdiğiniz açının yaklaşık değerine bakar. Ama anlayacağınız, bu örnekte de $\pi$'nin kaç alındığı önemsizdir.

NASA, Pi Sayısının Kaç Basamağını Kullanıyor?

Bakalım muazzam büyüklükleri hesaplarken $\pi$'nin kaç basamağının kullanıldığının bir önemi var mı?

NASA, uzaydaki mesafeler gibi birçok hesaplamada, pi sayısının ilk 15 basamağını kullanıyor. Peki 15 basamak yeterli mi? NASA'nın bu soruya verdiği cevabın tam metnine buradan ulaşabilirsiniz, ancak biz de burada kısa bir cevap vereceğiz.

Merak ediyorsanız, modern bilimin en uç mühendislik konularından olan uzay mühendisliği için NASA, noktadan sonra 15 basamağa kadar kullanmaktadır:^[8]

$\pi =3.141592653589793$

NASA'nın Dawn misyonunun direktörü ve baş mühendisi Marc Rayman, bu tercihi şöyle temellendiriyor:^[8]

Neden daha fazla ondalık basamak kullanmadığımızı anlamak için, buna biraz daha yakından bakalım. Sanırım, bilim insanlarının şimdiye kadar gerçekleştirdiği ve noktadan sonra sizin sunduğunuz kadar (noktadan sonra onlarca) basamak sayıyı dahil etmenin gerekli olmadığını, fiziksel olarak gerçekçi hesaplamaları kullanarak bile görebiliriz.

Şu örneği düşünün: Dünya'dan en uzak uzay aracı Voyager 1'dir. Bu yazının yazıldığı gün itibariyle, yaklaşık 20.1 milyar kilometre uzaktadır. Diyelim ki tam olarak bu büyüklükte (veya 40.2 milyar kilometre çapında) bir yarıçapa sahip bir dairemiz var ve çevreyi hesaplamak istiyoruz, yani $\pi \times \text{yarıçap}\times 2$ (veya daha bilimsel tabiriyle: 2$\pi$$R$). Yukarıda verdiğim gibi 15. ondalık basamağa yuvarlanan pi kullanırsak, bu çarpımın 125.5 milyar kilometreden biraz fazla çıktığını görürüz. Burada değerin tam olarak ne olduğuyla (isterseniz çarpabilirsiniz) ilgilenmemize gerek yok; daha ziyade, pi'nin daha fazla basamağını kullanmayarak sebep olduğumuz hatanın ne düzeyde olduğuna bakmamız gerekiyor. Başka bir deyişle, pi'yi 15. ondalık noktasından keserek, o daire için birazcık hatalı bir çevre hesaplamış olduk. Bu hata payı, 40.2 milyar kilometre çapındaki daire için sadece 3,8 santimetre civarındadır. Bunu bir düşünün: Etrafımızda 125.5 milyar kilometreden büyük bir dairemiz var ve bu mesafeyi pi'nin 15 basamağıyla hesaplarsak, serçe parmağınızın uzunluğundan bile daha az hata payımız olacak.

Bunu gezegenimiz Dünya üzerinden de düşünebiliriz: Dünya, ekvatorda 12.755 kilometre çapındadır. O zaman çevresi 40.072 kilometredir. Dünyanın çevresini dolaşsaydınız (ve tepeler, vadiler, binalar gibi engeller, dinlenme durakları, okyanustaki dalgalar vb. göz ardı etseydiniz), bu kadar mesafe katederdiniz. pi'nin az önceki gibi 15 basamağa kadar olan, sınırlı versiyonunu kullansaydınız, kilometre sayacınız ne kadar hatalı olurdu? 1 molekül boyutunda olurdu! Elbette moleküller farklı boyutlarda olabilirler; ama sanıyorum bu, pi'yi 15 basamağa kadar kullanmanın sebep olduğu hata payının küçüklüğü hakkında size bir fikir verir. Bunu görmenin başka bir yolu da, daha fazla pi rakamı kullanmayarak kabullendiğiniz hata miktarının, Dünya çevresindeki yolculuğunuz için bir saç telinden 10.000 kat daha ince olacağıdır!

Gelelim en büyük boyuta: Gözlenebilir Evren'e... Evren'in yarıçapı yaklaşık 46 milyar ışık yılıdır. Şimdi farklı bir soru sorayım: Yarıçapı 46 milyar ışıkyılı olan bir dairenin çevresini bir hidrojen atomunun (en basit atomun) çapına eşit bir doğrulukla hesaplamak için, pi sayısının noktadan sonra kaç tane rakamına ihtiyacımız var? Cevap, 39 veya 40 ondalık basamaktır. Evren'in ne kadar fevkalade uçsuz bucaksız olduğunu bir düşünün - ki Evren, gerçekten de kavrayabileceğimizin çok ötesindedir; hatta en karanlık, en güzel, yıldızlarla dolu gecede bile gözlerinizle görebileceğinizin kesinlikle çok çok çok ötesindedir. Bu kadar devasa bir Evren'de tek bir atom ne kadar inanılmaz derecede küçük olduğunu düşünürseniz, böylesi hassas bir hesap için bile sadece 39-40 basamağın yeterli olduğunu görebilir, dolayısıyla birçok mühendislik uygulaması için sadece 10-15 basamağın fazlasıyla yeterli olduğunu anlayabilirsiniz.

Anlayacağınız, pratik tüm amaçlar için 3.14 bile fazlasıyla yeterlidir; garanticiyseniz 3.14159 alabilirsiniz; NASA seviyesinde hassasiyet istiyorsanız 3.141592653589793 alabilirsiniz.