Evrenin Denklemlerini "Görebilmek": Fizikteki Meşhur Denklemler Neyi Anlatıyor, Gündelik Hayatta Ne Anlama Geliyor?

Evrende görüp görebildiğimiz veya direkt gözlemleyemesek bile çeşitli teknik araçlarla bunu mümkün kıldığımız tüm fiziksel olguları açıklama çabası, fizik bilimi ve diğer formel bilim dallarıyla mümkündür. Bu yazıda biz işin fizik kısmına odaklanalım ve bunlar üzerine biraz düşünelim.

Doğadaki tüm "fenomenler" (yani "olgular") hakkında yapılan gözlemler ve deneyler sonucu, onların uymakta oldukları bir takım kurallar olduğunu bilmekteyiz. Aslında bu kurallar dediğimiz ifadeler, bizim en genel anlamda bildiğimiz doğa yasalarıdır. Bu yasaların dili de matematiktir. Semboller kullanarak doğadaki bu yasaları keşfedebilme, aynı zamanda bunları geleceğe yönelik yeni keşiflerde kullanabilme çabası, aslında tüm fiziğin amacının çok kısa bir özetidir.

İşte bu yazımızın tam da konusu, bu denklemlerdir. Çoğu okuyucumuzun (bir zamanlar bizlerin de) bu denklemleri gördüğündeki ilk tepkisi, bilinmezliğin ve karmaşıklığın verdiği korku olacaktır. Şöyle bir açıklama getirmekte fayda var: Yazımızda bu tür bir korkuya veya denklemlerin içeriğini bilmenize gerek olmayacak. Her gruptan okuyucu için hazırlanan bu yazıda, aslında o çok korkulan sembolleri içeren denklemleri “görmeyi” (evet görebilmeyi) hedefledik. Bunu da günlük hayattaki örneklerin olduğu bir takım fizikteki problemler üzerinden yapmayı hedefledik.

Peki neden? Çünkü, fiziğin ve formel olan diğer bütün bilim dallarının ortak dili matematiktir. İşin ilgilileri arasında iletişimi ve evrenselliği, denklemlerin matematik içermesine borçluyuz. Eğer bu dili biliyorsak, işler daha da kolaylaşır ve esas yapmamız gereken iş olan evreni anlama çabasına rahatlıkla yönelebiliriz.

Doğayı ve evreni anlama çabası sayesinde günümüz teknolojisine ve Güneş Sistemi’mizin ötesine ulaşabildik! Bundan yüzyıllar, bin yıllar sonra ötesini hayal edebilmek bile mümkün değil; fakat şundan kesinlikle eminiz ki, bu yenilikler ve ilerlemeler de denklemler ve matematiksel araçlarla mümkün olacak! İşte bundan dolayı günlük hayatımızın içerisinde yer alan denklemlerin aslında bize ne “gösterdiğini” ve ne ifade ettiğini ilk örneğimizle başlayarak inceleyelim.

Denklemleri Görebilmek...

1) Motorcu ve Trafik Polisi - Kinematik

Sorumuz şöyle olsun: Hız sınırının 60 km/saat olduğu bir yolda bir motorcu, 72 km/saat sabit hızla hareket etsin. Yol kenarında da duran bir trafik polisi olsun. Polis hız sınırını aşıldığını "Doppler Etkisi" denen bir olaydan faydalanarak tespit etsin ve motorcunun peşine düşsün. Polis aracının ivmesi de (birim zamandaki hız değişimi) $a=4m/saniy{e}^2$ olsun. O halde polis motorcuya kaç metre ve kaç saniye sonra yetişir?

Sorunun içeriği fizikteki kinematik yani Newton Hareket Yasaları’nı içeren denklemler ile ilgili. Dolayısıyla aşağıdaki denklemler ile analitik olarak çözüme ulaşılır. Polis motorcuya 200 metre ve 10 saniye sonra yetişir. Denklemlerin matematiksel ifadesi şu şekildedir:

$x=x_0+V_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ (Denklem 1)

$V^2={V_0}^2+2a(x-x_0)$ (Denklem 2)

Peki aslında bu denklemleri görebilsek, neye benzerlerdi? Geometrik olarak nasıl bir anlam taşırlardı? Cevabı için yukarıdaki denklemleri herhangi bir paket program / dil ile işlerseniz, çıktıları şöyle olacaktır:

Matlab/Anıl Kocabaldır (Matlab with Applications to Engineering, Physics and Finance - B.Lopez, 2009)

Kırmızı çizgiyle ifade edilen polis arabası, mavi ise motorcuya (veya otomobile) ait çizgilerdir. Grafikten de görüleceği üzere polis, 10 saniye ve 200 metre sonra motorcuya yetişebilecektir.

Peki ikisine ait hız denklemlerinin geometrik açıdan anlamı nedir? O halde bakalım:

Matlab/Anıl Kocabaldır (Matlab with Applications to Engineering, Physics and Finance - B.Lopez, 2009)

Mavi çizginin zamana göre sabit kaldığını (motorcunun hızı sabit ve 72 km/saat = 20 m/saniye), kırmızı çizginin “düzgün olarak arttığını” (polis arabasının hızının eşit zaman aralıklarında eşit miktarda arttığını) görüyoruz.

Olayı şöyle fiziğe bağlayalım: Motorcunun uyduğu denklemler “sabit hızlı denklemler” ile ifade edilirken, polis arabasının uyduğu denklemler “sabit ivmeli / düzgün değişen doğrusal hareket” denklemleri ile anılır. İşte fizikteki bu tanımların esas kökeni, denklemlerin geometrik anlamında saklıdır. Bu ilişkiyi farketmek oldukça heyecan verici!

2) Serbest Düşen Topun Hareketi - Kinematik

Herhangi bir yükseklikten serbest bırakılan (yani ilk hızı olmayan, fırlatılmayan) cisimlerin yerçekimi kuvveti etkisi altında yaptığı hareket türüne fizikte “serbest düşme” denilmektedir. Bu tanımdan sonra örneğimizi verelim: 40 metre yükseklikten serbest bırakılan bir top yere kaç saniyede ulaşır ve yere çarptığı andaki son hızı kaç m/saniye’dir?

Bu sorunun çözümü aşağıdaki atış denklemleriyle analitik olarak süre ($t=2.0203$ saniye) ve hız ($V=-19.7990$ m/saniye) bulunur. Hızdaki “-” ifade yön ile ilgili olup, bizim için şu aşamada önemsizdir.

$V=0-gt$ (Denklem 3)

$h_{max}=\frac{V_{0y}^2}{2g}$ (Denklem 4)

Peki bu denklemlerin geometrik anlamı nedir?

Matlab/Anıl Kocabaldır (Matlab with Applications to Engineering, Physics and Finance - B.Lopez, 2009)

Bu grafik bize topun hızının hava sürtünmesinin olmadığı ortamda düzgün bir şekilde (yerçekimi ivmesi $g=9.81m/saniy{e}^2$) arttığını ve 1.dereceden bir denklem olduğunu göstermektedir. Yani bir çizgi! Hız denkleminin içeriğine bakarsak da bunu doğrulamış oluruz çünkü ifadede herhangi bir terimin kuvveti ($t^2,t^n,n=2,3,...$ ) yok.

3) Eğik Atış Yapan Bir Top - Kinematik

Her iki eksende (x ve y ekseni olmak üzere yatay ve düşey doğrultuda) bir ilk hızla atılan cismin hareketi “eğik atış” olarak tanımlanır. Hava sürtünmesinin ihmal edildiği bir ortamda yatayla yaptığı açı ($\theta =57°$) ve ilk hızı ($V_0=27m/saniye$ ) olan bir top maksimum yüksekliğe kaç saniyede çıkar ve bu yükseklik kaç metredir?

Sorunun analitik çözümü için kullanacağımız denklemler yukarıdaki denklemlerdir ve top $t=2.345$ saniye sonra maksimum yükseklik olan $h_{max}=26.16$ metreye çıkacaktır.

Geometrik olarak incelediğimizde ise şu grafikle karşılaşırız:

Matlab/Anıl Kocabaldır (Matlab with Applications to Engineering, Physics and Finance - B.Lopez, 2009)

Grafikten de görüleceği üzere topun hareketini tanımlayan denklemler ve yörünge paraboliktir. Yani içerisinde herhangi bir değişkenin 2. kuvvetini ($V_0^2$ ) içermektedir.

Peki işin içine topun hareketine karşı bir direnç oluşturan hava direnci dahil olursa ne olur? Hava direnci aşağıdaki denklemle ifade edilir şu grafiklerle karşılaşırız:

$F=-c{V}^2\frac{V}{|V|}$ (Denklem 5)

Matlab/Anıl Kocabaldır (Matlab with Applications to Engineering, Physics and Finance - B.Lopez, 2009)

Hava direncinin etkisi ilk grafikte azmış gibi görünse de ikinci grafiğimiz olan aşağıdaki grafik etkiyi daha net görmemize imkan sağlayacaktır:

Matlab/Anıl Kocabaldır (Matlab with Applications to Engineering, Physics and Finance - B.Lopez, 2009)

Fark edileceği üzere $t=15$. saniyeden sonra topun hızı üstel şekilde azalmakta ve bir süre sonra da sabit değere ulaşıp, hareketine öyle devam etmektedir. Biz bu olaya fizikte “limit hız” diyoruz. Herhangi bir akışkan içinde hareket eden cisimler, akışkan ortamın direnci (burada hava direnci) nedeniyle üzerlerine etki eden net kuvvet 0 olduğunda Newton’un Eylemsizlik Yasası gereği sabit hızlı hareket yaparlar.

4) Gezegenin Güneş Etrafındaki Yörüngesi - Astronomi

Güneş etrafındaki yörüngede dolanan herhangi bir gezegen düşünelim. Gezegenin yörüngesini Newton Hareket Yasaları ve Kepler Yasaları ile eliptik formda bulabilmek mümkün. Bu denklemler şöyle yazılabilir:

$F=G\frac{Mm}{r^2}$ (Denklem 6)

$F_x=m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$ (Denklem 7)

$F_y=m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$ (Denklem 8)

Bu denklemleri geometrik olarak incelersek de şu grafiği elde ederiz:

Matlab/Anıl Kocabaldır (Matlab with Applications to Engineering, Physics and Finance - B.Lopez, 2009)

Denklemlere de baktığımızda eliptik formda olduğunu görebilmek mümkün fakat bunu en net görsel olarak yukarıdaki grafikte görebilmekteyiz. Yaptığımız tek şey gezegenin hareket denklemlerini başlangıç koşullarıyla birlikte bir paket programda çizdirmek.

5) Merkür’ün Güneş Etrafındaki Yörüngesi ve Dünya’daki Bir Gözlemcinin Gördüğü - Astronomi

Güneş Sistemi’mizdeki en garip yörüngeye sahip olan Merkür’ün hareket denklemleri şu şekilde tanımlanmaktadır:

$x(t)=93\cos t+36\cos 4.15t$ (Denklem 9)

$y(t)=93\sin t+36\sin 4.15t$ (Denklem 10)

İşin içerisindeki “cos” ve “sin” terimleri göze oldukça korkunç ve bir o kadar da karmaşık geliyor. Ama bu denklemleri görselliğe dökersek aslında herşey daha da sadeleşip anlam kazanacaktır. Hatta "cosinüs" ve "sinüs" fonksiyonları da!

Matlab/Anıl Kocabaldır (Matlab with Applications to Engineering, Physics and Finance - B.Lopez, 2009)

İşte Merkür’ün yörüngesinin neden garip olarak adlandırıldığı ortada. Dünya’daki bir gözlemci için tam olarak görülen yörünge bu.

Yukarıdaki örnekler kısmen de olsa gündelik hayatımızda deneyimleyebildiğimiz / görebildiğimiz fiziksel olgulara dairdi. Şimdi ise işi bir tık daha soyutlaştırıp fizikte önemli kavramlardan olan “elektrik alan” ve “manyetik alan” kavramlarına bakacağız.

6) Noktasal Yük ve Elektrik Alan / Elektromanyetizma

Elektrik alan uzaydaki herhangi bir “kaynak yük”ünün etkisiyle ortaya çıkan “Coulomb Kuvveti” nedeniyle, bu kuvvetin yayılabildiği bir kuvvet alanı olarak tanımlanabilir. Oluşan bu alandan dolayı “alan çizgileri” de mevcuttur. Bu elektrik alan çizgileri (detayına fiziksel nedenlerden dolayı girmeyeğimiz nedenlerden dolayı) yoğunluk ve şiddet bakımından ıraksar yani uzaklaşırlar.

D.Griffiths / Introduction to Electrodynamics, 1999

Bu ıraklaşma ise matematiksel olarak “diverjans” kavramı ile tanımlanır. Maxwell Denklemleri’nden biri olan Elektrik Alan ifadesi şu şekildedir:

$\oint E\cdot da=\int (\nabla \cdot E)d\tau$ (Denklem 11)

O halde elektrik alanı ve bu ıraklaşmayı görsel olarak görmek istersek şu grafiği elde ederiz:

Matlab/Anıl Kocabaldır (Matlab with Applications to Engineering, Physics and Finance - B.Lopez, 2009)

Elektrik alan çizgileri merkezdeki O yükünden giderek şiddet bakımından azalarak uzaklaşmaktadır. Tüm o göze karmaşık gelen denklemin anlatmak istediği zarif ve sade hikaye budur aslında.

7) Manyetik Alan Çizgileri - Elektromanyetizma

Elektrik alan ile manyetik alan aslında bir bütünün iki parçasıdır. En basitinden akım taşıyan bir telin çevresinde oluşan manyetik alanı pusuladaki sapma ile gözlemlemek mümkündür. Dolayısıyla elektriksel yükler etkisi ile manyetik alan oluşmaktadır. Fizikte "Biot-Savart Yasası" ve "Amper Yasası" manyetizmayı açıklayan en genel yasalardır. Aşağıdaki gibi ifade edilirler.

$B(r)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{Ixı}{{ı}^2}dl$ (Denklem 12)

$\nabla xB={\mu }_{0}J$

D.Griffiths / Introduction to Electrodynamics, 1999

İlk şekle bakıldığında akım taşıyan telin etrafında kapalı bir manyetik alan oluştuğunu ve sağdaki şekille de yönünün vektörel olarak (Bkz: Sağ El Kuralı, Manyetizma) nasıl bulunduğu açıklanmıştır.

Değinmemiz gereken konu ise oluşan manyetik alanın sanki “dönüyormuş” gibi olduğudur. Aslında öyledir ve bunu denklemden de görüleceği üzere matematiksel olarak “rotasyonel” operatörü olarak ifade ediyoruz.

O halde her zamanki gibi bu denklemin de geometrik anlamına bakalım:

Matlab/Anıl Kocabaldır (Matlab with Applications to Engineering, Physics and Finance - B.Lopez, 2009)

Grafik bize oluşan manyetik alanın “döndüğünü” ve merkezden uzaklaştıkça şiddetinin azaldığını göstermektedir.

Sonuç

Sonuç olarak toparlarsak, aslında fizikte kullanılan denklemler doğanın birer resmidir, tabii doğru gözle bakabilmeyi başarabilirsek... Bu oldukça önemli bir şey çünkü yaşadığımız evrenin dili matematiktir, bu dilden korkmayıp yeterince iyi öğrenebilirsek (öğrenmenin asla bir sınırı yok ama), gözümüzü korkutan bu olgulardan keyif alabilmek mümkün hale gelecektir.

Matematik esas olarak sabır olayıdır. Belleyerek değil keşfederek anlamak gerekir. - Cahit Arf