Matematiğin En Güzel Formülü: Euler Formülü Nedir?

Meşhur matematik sabitleri dendiğinde akla gelen 5 sayı vardır: $e$, $\pi$, $i$, $0$ ve $1$. Bunları kısaca hatırlayacak olursak:

• Euler Sabiti ($e$): $\mathrm{2.71828...}$ diye giden bu sayı, özellikle doğal logaritma ve üstel sayılar gibi kavramlarda çok büyük öneme sahiptir. Transendental bir sayı olan Euler sabiti, hiçbir sonu olmaksızın uzayıp gitmektedir. Euler sayısıyla ilgili çok daha fazla bilgiyi buradan alabilirsiniz.
• Pi Sayısı ($\pi$): $\mathrm{3.14159...}$ diye giden bu sayı, herhangi bir çemberin çevresinin çapına oranı olarak tanımlanabilir. Tıpkı Euler sayısı gibi transandental bir sayı olan pi sayısının da bilinen bir sonu yoktur. Pi sayısı ile ilgili çok daha fazla bilgiyi buradan alabilirsiniz.
• Hayali Sayı Katsayısı ($i$): $\sqrt{-1}$ olarak tanımlanan bu sayı, karmaşık sayı sisteminde bir sayının "hayali" olarak ifade edilen kısmını tanımlamakta kullanılır.
• Sıfır ($0$): Matematikte son derece merkezi bir role sahip olan bu çift doğal sayı, ne pozitif ne de negatif olan bir sayıdır. Genellikle "boş" veya "hiç" kavramları ile ilişkilendirilir. Toplama işleminin etkisiz elemanı olmasından ötürü bir sabit olarak görülebilir.
• Bir ($1$): "Birim sayı" olarak bilinen bu en küçük pozitif tam sayı, herhangi bir şeyin tek başına olmasını ifade eder. Sıfır olmayan ilk doğal sayıdır. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olmasından ötürü bir sabit olarak görülebilir.

Elbette matematikte burada saydığımızdan çok daha fazla sayıda sabit vardır; ancak şüphesiz bu beşi, matematiğin temelinde yer alan sabitlerdir. Normalde birbirinden tamamen alakasız gibi gözüken bu sayılar, sıra dışı bir formülde bir araya gelirler:

$e^{i\pi }+1=0$

Son derece karmaşık ve hatta "kaotik" sayıları bir araya getirerek, son derece zarif bir şekilde en basit ve en temel sayılara ulaşan bu yalın formül, tarih boyunca birçokları tarafından "Shakespearsı bir güzellik" veya "matematiğin en güzel formülü" gibi ifadelerle nitelendirilmiştir.

Euler Formülü Ne Anlama Geliyor?

Dikkat edebileceğiniz gibi, aslında formülün söylediği şey şudur:

$e^{i\pi }=-1$

Aslında Euler formülü, matematikte oldukça meşhur olan $e^t$ şeklinde ifade edilebilecek üstel fonksiyonun bir versiyonudur ($i\pi$ çarpımı, matematikte "karmaşık" sayı dediğimiz sayılara bir örnektir). Bu ifadeyle ilgili en meşhur olan şey, lise veya üniversite matematik derslerinden hatırlayacağınız üzere, $e^t$ ifadesinin türevinin kendisine eşit olmasıdır. Bir diğer deyişle:

$\frac{d}{dt}(e^t)=e^t$

Kuvvet Serileri ile İspat

Bu üstel fonksiyondan faydalanabilmek için, daha önceden ispatlanmış bazı eşitlikleri kullanmamız gerekmektedir. Örneğin bir başlangıç noktası olması açısından, üstel sayıların kuvvet serileri tanımını bilmemiz gerekmektedir. Buna göre, $e^t$ gibi bir ifade, aynı zamanda şu şekilde yazılabilir:

$e^t=1+\frac{t}{1!}+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots$

Dolayısıyla, $e^{i\pi }$ sayısı, şu şekilde açılabilir:

$e^{i\pi }=1+i\pi +\frac{{(i\pi )}^2}{2!}+\frac{{(i\pi )}^3}{3!}+\frac{{(i\pi )}^4}{4!}+\frac{{(i\pi )}^5}{5!}+\frac{{(i\pi )}^6}{6!}+\frac{{(i\pi )}^7}{7!}+\frac{{(i\pi )}^8}{8!}\dots$

$=1+i\pi -\frac{{\pi }^2}{2!}-\frac{i{\pi }^3}{3!}+\frac{{\pi }^4}{4!}+\frac{i{\pi }^5}{5!}-\frac{{\pi }^6}{6!}-\frac{i{\pi }^7}{7!}+\frac{{\pi }^8}{8!}+\dots$

Bunları düzenleyecek olursak:

$=(1-\frac{{\pi }^2}{2!}+\frac{{\pi }^4}{4!}-\frac{{\pi }^6}{6!}+\frac{{\pi }^8}{8!}-\dots )+i(\pi -\frac{{\pi }^3}{3!}+\frac{{\pi }^5}{5!}-\frac{{\pi }^7}{7!}+\dots )$

Dikkatli bir göz, bu seriler mutlak olarak yakınsak olduğu için, terimlerden ilkinin $\cos (x)$, ikincisinin $\sin (x)$ fonksiyonlarının Maclaurin açılımları olduğunu görecektir. Dolayısıyla, aynı eşitliği şöyle de yazabiliriz:

$e^{i\pi }=\cos (\pi )+i\sin (\pi )$

Bu durumda, $\cos (\pi )=-1$ ve $\sin (\pi )=0$ olduğu için:

$e^{i\pi }=-1$

sonucuna varırız. Bunun daha zarif gözükmesi için, sağdaki terimi sola taşıyacak olursak:

$e^{i\pi }+1=0$

İşte!

Geometrik İspat

Ancak bu ispattan çok daha eğitici olan bir yol, 3Blue1Brown tarafından takip edilen geometrik yöntemdir. Çünkü o sayede, formülü zihnimizde görselleştirmemiz ve fiziksel bir gerçeklik ile ilişkilendirmemiz mümkün olur.

Bunu anlamak için, 3Blue1Brown tarafından çekilen ve tarafımızdan Türkçe altyazılandırılan aşağıdaki videoyu izleyebilirsiniz. Aşağıda, yazılı olarak da adım adım izah edeceğiz.

Öncelikle matematikteki türev kavramının ne olduğunu hatırlayalım: Türev, değişimi ölçen bir araçtır ve buradaki yazımızdan konuyu tam olarak anlamanız mümkün olabilir. Buna ek olarak, fizikteki temel bir gerçeği de hatırlayabiliriz: Konumun zamana göre değişimi (türevi) hıza eşittir. Zaten bu nedenle hız kavramından, örneğin "1 saniyede 10 metre ilerleme" şeklinde bahsederiz. Yani zamana bağlı olarak konumun değişimi... Hızın zamana göre türevi (değişimi) ise ivmedir; ancak neyse ki Euler Formülü'nü anlamak için ivmeye ihtiyacımız olmayacak.

Bu durumda $e^t$ ifadesinin bir cismin (örneğin bir arabanın) konumunu belirttiğini varsayarsak, karşımıza ilginç bir gerçek çıkıyor: Bir şeyin türevinin kendine eşit olması demek; fiziksel bir bağlamda düşünecek olursak, bir cismin konumunun her zaman hızıyla orantılı olması demektir! Dolayısıyla bunu, başlangıç noktasından 10 metre uzaktaki bir cismin hızının saniyede 10 metre olması, cisim 20 metre uzağa ulaştığında hızının da saniyede 20 metreye çıkması ve bu şekilde düzenli olarak, mesafeyle doğru orantılı bir biçimde artması şeklinde de düşünebiliriz. Yani hızımız, başladığımız noktadan uzaklaştıkça, uzaklaşma miktarımıza eşit oranda artmaktadır. Bu tarz bir artış dengelidir ve kademeli olarak hızın (ve tabii ki mesafenin) artmasıyla sonuçlanır.

Eğer $e^t$ yerine $e^{2t}$ olursa, başlangıç noktasından uzaklaşıldıkça, hızımız uzaklaşma miktarımızdan 2 kat daha hızlı artar. Çünkü $e^{2t}$ ifadesinin türevi, $2e^{2t}$'dir. Yani hızımız, konumumuzun her zaman 2 katıdır. Örneğin başlangıç noktasından 10 metre uzaktayken, hızımız saniyede 20 metredir. Başlangıç noktasından 30 metre uzağa ulaştığımızda, hızımız saniyede 30 metre değil, saniyede 60 metre olur. Bu, görebileceğiniz gibi hızla kontrolden çıkan, müthiş hızlı büyüyen bir hızlanmadır (ve uzaklaşmadır).

Eğer $e^t$ yerine $e^{-0.5t}$ olsaydı, bu defa hızımız ile konumumuz birbirine zıt olurdu; çünkü $e^{-0.5t}$ sayısının türevi $-0.5e^{-0.5t}$'dir. Sayının önündeki eksi işareti, hızımız ile konumumuzun zıt yönde olması anlamına gelir. Yani başlangıç noktasından 10 metre uzaktaysak, hızımız ters yönde saniyede 5 metre demektir. Başlangıçtan 5 metre uzağa geldiğimizde, hızımız saniyede 2.5 metreye düşer. Böylece hızımız durmaksızın azalarak, giderek başlangıç noktasına yakınsarız.

Bu durumda, $a$'nın herhangi bir sayı olabildiği $e^{at}$ ifadesinde, $a$ yerine $i$ yazacak olursak elde ettiğimiz $e^{it}$ ifadesi nasıl bir hız/konum ilişkisi ifade ederdi? $e^{it}$ ifadesinin türevi $i{e}^{it}$'dir. Bir vektörün (örneğin hız vektörünün) $i$ ile çarpılması, onun sayı doğrusundan çıkarak, bir ekseni gerçek sayılar, diğer ekseni hayali sayılar olan karmaşık düzlemde 90^o döndürülmesi anlamına gelir. Bu nedenle, artık başlangıç noktasından ulaştıkça, hızımız gittiğimiz yön ile aynı doğrultuda değil, ona 90^o açıda olur. Bu da, hareket halinde olan cismin (örneğin aracımızın) sürekli bir daire etrafında dönmesi demektir. Tıpkı bir ipin ucuna bir kütle bağlayıp, tek bir merkez etrafında (mesela başınızın üzerinde) durmadan döndürmenizde olduğu gibi!

Bu dairesel hareket, aradan $\pi$ kadar süre geçtiğinde, yani $e^{i\pi }$ düzeyine ulaştığında, konumumuz, ilk başladığımızdan tam 180^o ters olur. Yani 1 birimlik konum vektörümüz 0'dan başlayıp 1'e doğru işaret etmek yerine, 0'dan başlayıp -1'e işaret eder. Bu ne demektir?

$e^{i\pi }=-1$

Bunu da yeniden düzenleyecek olursak:

$e^{i\pi }+1=0$

İşte! Euler Formülü'nü geometrik olarak göstermiş olduk. Tabii ki yukarıdaki videoda çok daha rahat anlayabilirsiniz; ancak yazılı olarak da anlatarak takip edebileceğiniz bir metin oluşturmaya çalıştık.

Artık "matematiğin en güzel, en zarif, en sıra dışı" formülünün ne anlama geldiğini ve neyi ifade ettiğini biliyorsunuz!