Zamana Meydan Okuyan Problem: Fermat'ın Son Teoremi

Bu yazıda matematikçileri 358 yıl boyunca uğraştıran bir problemden bahsedeceğiz. Riemann hipotezi, Poincaré sanısı gibi problemleri çözmek bir yana, problemin tanımını anlayabilmek bile çok fazla matematik bilgisi gerektirir. Öte yandan Fermat'ın (aslında "Ferma" diye okunur; dolayısıyla "Fermat'nın" şeklinde yazılması gerekir) son teoremini bir ilkokul çocuğu bile ilk görüşte anlayabilir. Bu kadar basit görünen bir problemin en büyük matematikçileri bile bu kadar zorlayacağı kimin aklına gelirdi?

Fermat'ın son teoremi arkasında çok derin bir matematik barındırmaktadır. Biz burada çok fazla detaya girmeden çözüme nasıl ulaşıldığını açıklamaya çalışacağız. a²+b²=c² denklemini sağlayan a, b, c üçlülerini bulmanızı isteseydik cevaben ne derdiniz? 3, 4, 5 veya 5, 12, 13 gibi değişik çözümleri saniyesinde söylerdiniz. Peki kuvvetler 2'den büyük tam sayılar olduğunda bu denklemi sağlayan üçlüleri bulun deseydik ne olurdu? Çok basit, bulamazdınız... Şöyle ki:

University of Utah

n tam sayısının 2'den büyük olduğu durumlarda bu denklemi sağlayan a, b, c üçlüleri bulunamaz. Fermat'ın iddia ettiği buydu. Bu teoremi not ettiği kitaba insanları yıllar boyu merakta bırakan bir cümle yazdı:

Ben bunun çok güzel bir ispatını buldum, ama kanıtı bu kenar boşluğuna sığdırmak olanaksız.

Yıl 1994'ü gösterdiğinde Andrew Wiles'ın kanıtı resmi olarak kabul edildi. Kanıt toplam 129 sayfa sürdü. Fermat için iki ihtimal vardı: Ya Fermat çok daha kısa bir yol buldu ya da bu teoreme dair bir kanıt bulduğunu düşündü ama yanılıyordu. İkinci ihtimal daha ağır basıyor; çünkü bu problemi çözmek için gereken teknikler 20. yüzyılın ortalarına kadar bilinmiyordu.

Taniyama-Shimura-Weil Sanısı

Bu sanı Fermat'ın son teoreminin çözümünde kilit nokta oldu. Japon matematikçiler Goro Shimura ve Yutaka Taniyama tarafından öne sürüldü. 1967 yılında André Weil tarafından yazılan bir yazı ile bu sanı Batı'da tanındı. Weil yazdığı bu yazıda sanıya dair bir kanıt bulamasa da doğru olabileceğine dair kanıtlar buldu. Bu sayede onun da ismi eklendi ve bu sanı Taniyama-Shimura-Weil sanısı olarak bilinmeye başlandı. Bu sanıdan bahsedebilmek için 2 kavramı bilmemiz gerekiyor:

1. Eliptik Eğriler

y²=x³+ax+b formundaki eğrilere eliptik eğriler denir. Bu eğriler hiçbir zaman kendisini kesmez ve tekilliği yoktur. Eliptik eğriler sayı teorisinde çok önemli rol oynamaktadır.

Arstechnica

2. Modüler Form

Kompleks düzlemin üst yarısında bulunan ve belirli şartları sağlayan kompleks analitik fonksiyonlara modüler form denir. Modüler formlar, modüler grupların grup etkisine göre belirli fonksiyonel denklemleri sağlarlar.

Mcgill University Mathematics and Statistics Department

Bu iki kavramı açıkladıktan sonra artık Taniyama-Shimura-Weil sanısı ile ilgili bilgi verebiliriz. Bu sanı ortaya çıkana kadar eliptik eğriler ve modüler formlar arasında hiçbir bilindik bağlantı yoktu. Birisi sayı teorisi ile ilgiliyken diğeri kompleks analiz ile ilgiliydi. Taniyama-Shimura-Weil sanısı bu iki kavramın aynı şey olduğunu sadece farklı şekillerde gözüktüğünü söyler. Taniyama-Shimura-Weil sanısının formal açıklaması şudur: Her eliptik eğri için aynı Dirichlet-L serisine sahip bir modüler form vardır.

Düğüm Çözülüyor!

1960'lı yıllarda Yves Hellegouarch çok alakasız gözüken iki şey arasında bağlantı kurdu. Denklemdeki (a, b, c) üçlüleri ile eliptik eğriler arasında bağlantı kurdu. y²=x(x-aⁿ)(x+bⁿ) şeklinde bir eliptik eğri oluşturdu. Denklemdeki a, b ve n dereceden kuvvet bu eğride bulunuyordu. Bu eğri gereken ilgiyi görmedi, ta ki Gerhard Frey bunun ne kadar önemli olduğunu fark edene kadar...

Gerhard Frey 1982-1985 yılları arasında bu eğrinin sıra dışı özelliklerine dikkatleri çekmeyi başardı ve bu eğri onun adı ile isimlendirildi. Frey eğrisi Fermat'ın son teoremi ile Taniyama-Shimura-Weil sanısını birbirine bağlıyordu. İki problemden birinin kanıtlanması diğerinin de kanıtlanması anlamına geliyordu. Ortaya epsilon sanısı çıktı. Epsilon sanısına göre Frey eğrileri modüler olamazdı. Epsilon sanısı Ken Ribet tarafından ispatlandı ve bu sanının adı Ribet Teoremi oldu.

Ribet Teoremi ve Taniyama-Shimura-Weil sanısı çelişiyor gibi gözüküyordu. Bu çelişkiden tek bir sonuç çıkacaktı ve bu da Fermat'ın son teoreminin çözümü olacaktı. Taniyama-Shimura-Weil sanısına göre her eliptik eğri modüler olmalıydı. Eğer Taniyama-Shimura-Weil sanısı ispatlanırsa, Ribet tarafından modüler olamayacağı ispatlanan Frey'in eliptik eğrisi mevcut olamazdı. Yani böyle bir eliptik eğri yoksa, Fermat'ın son teoremini sağlayan a, b, c üçlüleri de olamazdı. Fermat'ın son teoreminin doğruluğunu kanıtlamanın yolu, Taniyama-Shimura-Weil sanısını kanıtlamaktan geçiyordu.

İspat

O yıllarda matematik dünyası Taniyama-Shimura-Weil sanısının o dönemki bilgi ile kanıtlanamayacağını düşünüyordu. Andrew Wiles bu ispatın yapılabileceğine inanan nadir insanlardan biriydi. 7 yıllık bir çalışma sonucu Taniyama-Shimura-Weil sanısını eliptik eğrilerin bir alt türü için kanıtladı. İspatında hata bulundu ve kabul edilmedi. Andrew Wiles ve eski öğrencisi Richard Taylor bir sene boyunca hatayı düzeltmek için uğraştılar ve başarılı oldular. 1994 yılında Andrew Wiles ispatını tekrar sundu ve bu sefer kabul edildi. 358 yıldır ispatlanmayı bekleyen bir problem en sonunda ispatlandı. Andrew Wiles 2016 yılında matematiğin en prestijli ödüllerinden birisi olan Abel Ödülüne layık görüldü.

Nature

Zamanının İlerisinde Bir Matematikçi: Srinivasa Ramanujan

Bu ispattan bağımsız olarak, bir de Srinivasa Ramanujan'ın çalışmalarını açıklayalım. Wiles'ın ispatı için gereken bilgiler Ramanujan yaşarken bilinmiyordu. Ramanujan'ın çalışmalarını Wiles'a göre ne kadar erken yaptığını bir karşılaştırma ile göstermek en mantıklısı olur. Ramanujan öldüğünde 1920 yılıydı, Wiles'ın ispatı kabul edildiğinde ise 1994 yılıydı. Ramanujan'ın Fermat'ın son teoremi ile ilgilendiği o öldükten sonra defterleri incelendiği zaman anlaşıldı.

Ramanujan Fermat'ın son teoremini ispatlayamadı belki ama buna çok yakın denklemlere çözüm buldu. aⁿ+bⁿ=cⁿ+1 ve aⁿ+bⁿ=cⁿ-1 denklemlerine n'in üç ve dört olduğu durumlar için sonsuz sayıda çözüm içeren çözüm ailesini buldu. Sadece bununla kalmayan Ramanujan, Fermat'ın son teoremini ispatlayabilmek için eliptik eğrilerle de uğraştı. Eliptik eğrilerin varlığı çok uzun süredir bilinmesine rağmen çok gelişmiş bir kavram değildi ve o dönemlerde kullanımı yoktu. Eliptik eğriler teorisi 1930 ve 1940'lı yıllar arasında gelişmeye başladı. Eliptik eğrilerin kullanım alanı yokken bile Ramanujan, tıpkı Wiles gibi, Fermat'ın son teoremini ispatlamak için eliptik eğrileri kullanmayı denedi.

Ramanujan, eliptik eğriler üzerinde çalışırken eliptik eğrilerden çok daha ileri ve karmaşık bir kavramı keşfetti. Bu kavram 40 yıl sonra matematikçiler tarafından keşfedildi ve buna k3 yüzeyi dendi. Bu kavram kendisine matematik ve modern fizikte yer buldu.

Ramanujan'ın hem eliptik eğrileri kullanımı hem de k3 yüzeyi ile ilgili olan çalışmaları zamanına göre fazlasıyla gelişmiş ve yenilikçiydi. Sadece Fermat'ın son teoremini çözmek için doğru yolu izlemekle kalmayıp geleceğe çok fazla etkisi olan kavramları da keşfetmişti. Bu kadar büyük bir matematikçi 32 yaşında hayata veda etmeseydi, matematik dünyası çok daha ileride olabilirdi.

Son Sözler

Andrew Wiles, Fermat'ın son teoremini on yaşındayken kütüphanede gördü. O günden beri teorem hep ilgisini çekmeye devam etti. O dönemki matematikçiler Taniyama-Shimura-Weil sanısının ispatlanamayacağını düşünüp pes etmişken o hiçbir zaman inancını yitirmedi. Şu ana kadar var olmuş en şık ve zor ispatlardan birisini yaptı. Andrew Wiles'ın yaptığı ispatı tam olarak anlayabilmek için cebirsel geometri, sayı teorisi, değişmeli cebir, modüler formlar hakkında iyi derecede bilgiye sahip olmak gerekir. Bu ispatın zorluğunu açıklamak için verilecek en iyi örnek şudur: Wiles ispatını sunduğu zaman, birkaç matematikçi hariç, kimse anlamamıştı ve anlamayan bu kişiler de alanlarında uzman matematikçilerdi. Eğer Fermat gerçekten yazdığı gibi bir ispat bulduysa, bundan çok daha kısa olduğu kesin.