Euler Sayısı Nedir? "e Sayısı" Ne Anlama Gelir ve Ne İşe Yarar?

Özellikle sayısalcı okurlarımızın bileceği gibi, 2.71828... diye giden Euler'in Sayısı (kısaca $e$) sayısının matematikteki değeri çok büyüktür ve kullanım alanı da aşırı geniştir. Özellikle logaritma ve üstel sayılar konusunun vazgeçilmezidir.

Ancak örneğin pi ($\pi$) sayısından bahsederken olanın aksine, $e$ sayısını anlamak pek de kolay değildir. pi sayısının en kolay anlatımı, "bir çemberin çevresinin çapına bölümünden doğan sayı" ifadesidir; her ne kadar tam olarak o olmasa da pi sayısı... Ama bu başka bir yazının konusu...

$e^x$ sayısının logaritmasının alınması sonucunda x'in elde edileceği şeklinde ifade edilen bu sayıya yönelik anlatımlar, e sayısının tam olarak ne olduğunu anlamamıza pek de yardımcı olmamaktadır. Bu durumda... Bu $e$ sayısı da neyin nesi?

Diyelim ki bankada 1 TL paramız var ve bu parayı her yıl ikiye katlayacak şekilde, %100 oranında çılgın bir faiz elde ediyoruz. Bu durumda paramız nasıl büyüyecektir?

• 1 yıl sonra: 2 TL
• 2 yıl sonra: 4 TL
• 3 yıl sonra: 8 TL

Bu şekilde gider. Bunu, matematiksel olarak ifade etmek isteyecek olursanız, $2^x$ şeklinde yazabilirsiniz. Burada x, "toplamda geçen yıl miktarını" ifade etmektedir. Örneğin 3 yıl sonunda ne kadar paranız olacağını bilmek isterseniz, yapmanız gereken $2^3$ işlemidir ve sonucu da 8'dir.

Peki ya 1 TL ile değil de, 3 TL ile başlasaydık ve aynı faiz oranına sahip olsaydık? O zaman şöyle bir para büyümesi görecektik:

• 1 yıl sonra: 6 TL
• 2 yıl sonra: 12 TL
• 3 yıl sonra: 24 TL

Görülebileceği gibi $2^x$ hesabı burada çalışmamaktadır, çünkü x yerine 2 sayısını girdiğimizde 4 sayısını elde ederiz ama hesabımızda 12 TL vardır. Bunu düzeltmemiz gerekiyor. Benzer şekilde, paramız 2 katına çıkmak yerine %50 faiz alıyor olsa, 1 TL ile başladığımızda şöyle bir artış elde ederdik:

• 1 yıl sonra: 1.5 TL
• 2 yıl sonra: 2.25 TL
• 3 yıl sonra: 3.375 TL

Yine, görülebileceği gibi, $2^x$ hesabı burada çalışmamaktadır. İşte hem başlangıç miktarını, hem de artış miktarını genelleştirmek için şöyle bir formül geliştirebiliriz:

$\text{Toplam Para}=\text{Başlangıçtaki Para}\times {(1+\text{Artış Oranı})}^x$

Örneğin 5 TL ile başlasak ve faiz oranımız da %15 olsa, yukarıdaki formülü kullanarak paramızın nasıl büyüyeceğini görebiliriz: 

• 1 yıl sonra: $5\times {(1+0.15)}^1=5.75\text{ TL}$
• 2 yıl sonra: $5\times {(1+0.15)}^2=6.6125\text{ TL}$
• 3 yıl sonra: $5\times {(1+0.15)}^3=7.6044\text{ TL}$
• 4 yıl sonra: $...$

Bunların Euler'in Sayısı ile Alakası Ne?

Pekala, bunların $e$ ile alakası nedir? İşte şimdi ona geliyoruz. 

Tuhaf bir şey yapalım ve 1 yılda %100 faiz örneğimizi modifiye edelim: 6 ayda bir, %50 faiz isteyelim. Yani süreyi de, faizi de yarısına indirelim. 1 TL ile başladığımızda paramız şöyle büyüyecektir:

• 6 ay sonra: 1.5 TL
• 1 yıl sonra: 2.25 TL
• 1.5 yıl sonra: 3.375 TL

İlginç bir şey fark ettiniz mi? Bunu yaptığımızda, 1 yıl sonra 2.25 TL elde ediyoruz. %100 faiz durumunda ise 1 yıl sonunda 2 TL elde ediyorduk. Yani bu ufak hileyle gelirimize 0.25 TL ek yapmış olduk. Peki ya bunu sürdürseydik? Yılı da, faizi de 3'e bölüp her 4 ayda bir %33.3 faiz isteseydik? Bu durumda:

• 4 ay sonra: 1.33 TL
• 8 ay sonra: 1.77 TL
• 1 yıl sonra: 2.37 TL

İnanılmaz! Sadece faizi ve faiz sıklığını aynı sayıya bölerek 1 yıl sonundaki kâr marjımızı giderek artırıyoruz. Şimdi de 0.37 TL katmış olduk ve sayı her seferinde artıyor!

İyi ama bu artış sonsuza kadar sürecek mi? Yılı da, faizi de 365'e bölüp her gün %0.27 faiz istesek? 

• 1 gün sonra: 1.0027 TL
• 2 gün sonra: 1.0054 TL
• ...
• 365 gün sonra: 2.675 TL

Gerçekten de ek 0.675 TL elde ettik; ancak 365 gibi büyük bir sayıya böldüğümüzde, artık artış da yavaşlamaya başladı.

Limit Teoremi

İşte matematikte bu tip azalan artışları izah eden teoreme Limit Teoremi adı verilmektedir. Faiz sıklığını sonsuza kadar küçültecek olsanız da, paranız sonsuz düzeyde değil, belli bir noktada limitlenmiş bir şekilde büyüyecektir. 

Bunu izah edebilmek için, bir önceki denklemimizde Artış Oranı olarak tanımladığımız şeyi zaman cinsinden yazalım. Çünkü fark edeceğiniz gibi, 1 yılı tamamlamak için ihtiyacımız olan zaman gittikçe artarken (son hesabımızda 365 adım atmamız gerekti, bir önceki hesabımızda sadece 3, ondan öncekinde sadece 2 adım atmıştık), faiz oranını bu zaman artışıyla ters orantılı olarak azaltıyoruz. Bu durumda, Artış Oranı yerine $\frac{1}{x}$ yazmamız mümkündür. Çünkü x'i 365 adım alacak olursak, %100'lük, yani 1 değerindeki toplam maksimum faizi 365'e bölerek faiz oranını bulmaktayız. Bu durumda denklemimiz şu hali alacaktır:

$\text{Toplam Para}=\text{Başlangıçtaki Para}\times {(1+\frac{1}{x})}^x$

Hatta başlangıçtaki parayı da hep 1 birim alalım, kolaylık açısından. Bu durumda:

$\text{Toplam Para}={(1+\frac{1}{x})}^x$

Pek bir şey değişmedi ve hatta daha basit bir hale geldi! Ancak işte bu, ilk etapta belli olmasa da, Euler'in Sayısı olarak bilinen $e$'nin tanımının ta kendisidir. Tek yapmanız gereken, x'i sonsuza götürmektir. Yani faiz oranını sonsuz miktarda küçültüp, süreyi de sonsuz miktarda uzatmaktır. Tıpkı bir önceki örnekte faiz oranını 365 kat azaltırken, 1 yıllık vadeyi doldurmak için 365 kat fazla adım atmamız gibi... Sonsuz kat az faizle, sonsuz kat fazla adımda 1 yıla ulaşabiliriz. Bunu yaparak limit değerini aldığınızda elde edeceğiniz değer şu olacaktır:

• 1 birim süre sonra: 2 TL
• 2 birim süre sonra: 2.25 TL
• 3 birim süre sonra: 2.37037 TL
• ...
• 10 birim süre sonra: 2.5937 TL
• ...
• 50 birim süre sonra: 2.6916 TL
• ...
• 100 birim süre sonra: 2.7048 TL
• ...
• 500 birim süre sonra: 2.715568 TL
• ...
• 1000 birim süre sonra: 2.7169239 TL

Görülebileceği gibi artış oranı hızla düşmekte... Ve sayı da tanıdık bir hale gelmekte... Devam edelim:

• 10000 birim süre sonra: 2.7181459 TL
• ...
• 1 milyon birim süre sonra: 2.71828046 TL
• 1 milyar birim süre sonra: 2.718282038 TL

Böyle gider... Ve sonucunda elde ettiğimiz sayı, Euler Sayısı'nın bir yakınsamasıdır. Ne kadar minik parçaya bölerseniz bölün, bu sayı asla ve asla 2.72 TL'ye ulaşmayacaktır. Sınır, e sayısıdır. 

Elbette bu sayı sadece faiz hesabında değil; belli bir sürede kendi sayısını çeşitli oranlarda katlayan diğer her şey için geçerli... Bakteriler, insan nüfusu, üretim miktarı, ekonomik çıktı ve daha nicesi...

Bir dahaki sefer Euler'in Sayısı'nı gördüğünüzde, sonsuzluk ile ilgili çok ilginç çıkarımları olan, son derece şaşırtıcı bir sayı olduğunu ve bankada büyüyen paralarınızı hatırlayın.

2 Temmuz: e Sayısı Günü

14 Mart (03/14) tarihinde kutlanan "Pi Günü", sayıların en meşhurlarından birisi olan ve 3.141592653589793238... şeklinde giden pi sayısı şerefine kutlanmaktadır. Ama şimdi, pi'nin gölgesinde kalmış, ama en az onun kadar önemli olan bir diğer sayı da halk arasında ilgi görmeye başlıyor: 2.7182818284590452353602874713527 diye giden e sayısı!

Matematiğin halk arasındaki tanınırlığını arttırma çabalarının bir ürünü olarak, takvimlerinde Ay/Gün/Yıl formatını kullanan ülkelerde 7 Şubat (2/7) günü "e Sayısı Günü" olarak kutlanıyor. Özellikle de 7 Şubat 2018 (2/7/18), e sayısı için çok daha anlamlı bir gün olarak tarihe geçti. Peki e sayısı gününü nasıl kutlayacağız?

Pi Günü'nde genellikle pasta veya turta yenir; çünkü İngilizcede "pi" ile "pie" (pasta/turta) aynı şekilde okunur. Türkçede "Euler" (Öyler) diye okunan bir yemek yok; ancak E ile başlayan Ezogelin yanında, Etli Ekmekli Enginar yemeyi deneyebilirsiniz. Ama bu, kutlamayı biraz sönük kılabilir. O nedenle belki de vadeli bir hesap açtırmalısınız? Bunun nedenini yukarıda anlatmıştık.

e Sayısının Tarihi

e sayısı, tarihsel olarak da ilk defa bileşik faiz sürecini tanımlamakta kullanılmıştır. Aslında bundan önce de matematikte $e$ sayısı bol bol kullanılmıştır; ancak hiç kimse sayının kendisinin ne anlama geldiğini araştırmayı düşünmemiştir. 1683 yılında Jacob Bernoulli, bileşik faiz hesapları üzerinde çalışmaya başladığında, faizin yıl içinde kaç kere uygulandığı üzerinden süreci tanımlamaya çalışmıştı. Eğer ki faiz yıl içinde n defa uygulanacak olursa, paranızın nasıl büyüyeceğini $A=P(1+\frac{r}{n}{)}^n$ formülüyle hesaplayabilmekteydi.

Ama Bernoulli, faizi sürekli olarak uygulamak istiyordu. Yani her yeni elde edilen faizin de anında faiz getirdiği bir süreci hesaplamaya çalışıyordu. Bu hesap için, $A=P(1+\frac{r}{n}{)}^n$ formülünün, $n$ sayısı sonsuza giderkenki limitini almanız gerekir. Eğer $r$, yani faiz oranını 1 alacak olursanız, $e$ sayısı kaçınılmaz olarak karşınıza çıkacaktır. Bu, $A=(1+\frac{1}{n}{)}^n$ formülünün limitinin $e$ sayısı olduğu anlamına gelmektedir. 

Bernoulli, bu keşfettiği sayının, bugün bildiğimiz anlam ve önemiyle e sayısı olduğunu anlayamamıştı. Kullanım alanlarını ve potansiyelini görememişti. Dahası, sayının tam değerini de hesaplayamamıştı. Sadece 2 ile 3 arasında bir değeri olduğunu not etmişti.

Ama ondan birkaç on yıl sonra, büyük matematikçi Leonhard Euler, sayıyı "e sayısı" adını verdi ve bu sayının bir diğer limit ile de ifade edilebileceğini gösterdi. Eğer ki $1+\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{120}+...$ şeklinde giden sonsuz serinin toplamını alacak olursanız, bu limit $e$ sayısına eşit olacaktır. Euler, bu işlemi kullanarak e sayısının 18 basamağını hesaplamayı başardı. Dahası, $e$ sayısının de $\pi$ sayısı gibi irrasyonel olduğunu, dolayısıyla iki sayının birbirine bölümü olarak yazılamayacağını tespit etti. Her ne kadar Euler bu sayısı "e sayısı" olarak tanımlarken, kendi adının baş harfi olmasıyla ilişkilendirmediyse de, günümüzde bu harf "Euler Sayısı" olarak da bilinmektedir. 

$e$ sayısı, elbette ki bankacılıktan çok daha geniş bir alanda kullanım bulmaktadır. Eğer kalkülüs dersi aldıysanız, $y=e^x$ formülünün türevini almanız istendiğinde nasıl rahatladığınızı hatırlarsınız. Çünkü bu terimin türevi, kendisine eşittir. Türevin ne olduğunu öğrenmek için, buraya tıklayabilirsiniz. Ancak çok basitçe türev, bir fonksiyonun herhangi bir noktada ne kadar hızlı değiştiğini tespit etmemizi sağlayan bir işlemdir. Yani bir roketin hızının nasıl değiştiğini, türev ile hesaplayabiliriz.

Tüm eksponansiyel (üstel) sayıların türevi, kendisinin bir katıdır. Örneğin $2^x$ teriminin türevi, $2^x$ teriminin yaklaşık 0.69 katına eşittir. $4^x$ sayısının türevi, kendisinin yaklaşık 1.39 katına eşittir. Ama ne zaman ki üstel sayının tabanı e olur, işte o zaman katsayıdan kurtulmanız da mümkündür. $e^x$ sayısının türevi, $e^x$'tir. Dolayısıyla bu şekilde ifade edilebilen bir fonksiyonun ne kadar hızlı değiştiğini tespit etmek için tek yapmamız gereken, değişimin yaşandığı noktanın fonksiyondaki değerine bakmaktır. Özel bir türev işlemine gerek kalmamaktadır.

İşte bu özelliği dolayısıyla e sayısı, her türlü "büyüme" ve "artış" fonksiyonunun doğal temeli olarak tanımlanmaktadır.

En Güzel Denklem: $e^{\pi \ast i}+1=0$

Tıpkı pi sayısı gibi, $e$ sayısı da matematiğin her köşesinde karşımıza çıkmaktadır. Her iki sayı da, matematikçilerin büyük çoğunluğu tarafından "en güzel denklem" olarak tanımlanan $e^{\pi \ast i}+1=0$ denkleminde karşımıza çıkmaktadır. Burada $e$, gerçekten de doğal logaritma tabanıdır, $\pi$ sayısı ise hepimizin bildiği çember sabitidir. $i$ sayısı -1 sayısının kare köküdür (hayalî bir sayıdır). Bu denklemin bu kadar "güzel" bulunması, en "önemli" 5 sayıyı içinde barındırmasıdır: pi, e, i, 1 ve 0.

"e Sayısı" Başka Nerelerde Kullanılıyor?

Popülasyon büyüklüğünün hesaplanmasında, tüm üniversite öğrencilerinin aşina olduğu çan eğrisinin hesaplanmasında, bilimde birbirini tekrar eden deneylerin başarı olasılıklarının hesaplanmasında, hatta işe alım gibi süreçlerin belirlenmesinde bile kullanılmaktadır! 

İşte bu yüzden $e$ sayısını tanımak ve onun yapabileceklerini anlamak önemlidir. $e$ sayısı günü işin bahanesi...