Unutulan Trigonometri: Pek Kullanılmayan ama Faydalı Olabilecek Trigonometrik Fonksiyonlar!

Kosekantı Tanımlayabildiğiniz İçin Bilge mi Hissediyorsunuz? Hakoverkosinüs ile Tanışın!

8 Ocak 2021

5dk

Mert TaşdemirYazar

Çağrı Mert BakırcıEditör

Unutulan Trigonometri: Pek Kullanılmayan ama Faydalı Olabilecek Trigonometrik Fonksiyonlar!

Bu Makalede Neler Öğreneceksiniz?

AI ile Özet Oluşturabilirsiniz.

Trigonometri, milattan önce Öklid geometrisini geliştirmek için kullanılan ve gölgelerden güneşin hareketine kadar hesaplamaları kolaylaştıran eski ve önemli bir matematik dalıdır.
Günümüzde sinüs, kosinüs ve tanjant gibi temel trigonometrik fonksiyonların yanı sıra versin, coversin, haversin gibi unutulmaya yüz tutmuş birçok fonksiyon da vardır.
Eski zamanlarda bu az bilinen trigonometrik fonksiyonlar, işlemleri kolaylaştırarak günlük problemleri çözmede pratik ve kullanışlı araçlar olarak tanımlanmıştır.

Trigonometri, ülkemizin de dahil olduğu bir çok ülkede lise düzeyinden itibaren öğretilen, son derece önemli bir matematiksel disiplindir. Milattan önceki yıllardan beri inşa edilen trigonometrinin üzerinde çalışılmaya başlandığı ilk zamanlarda, bu araç Öklid geometrisini geliştirmekte kullanılmış ve gündelik hayatta bir çok şeyin hesabını kolaylaştırmıştır: gölgelerin boyundan, Güneş'in doğuşu ve batışının ne zaman olacağını hesaplamaya kadar...

Birçok cilt halinde basılan kitaplara konu olan trigonometri, artık günümüzde modern matematiğin disiplinlerine yardımcı olan bir araç rolü üstlenmektedir. En eski matematik disiplinlerinden biri olmasına rağmen, günümüzde de hala çok popülerdir. Daha gündelik bir tabirle, "yıllar onu eskitmemiş, aksine daha güçlendirmiştir" denebilir. Ne var ki, her köklü disiplinde olduğu gibi, trigonometride de bazı kavramlar zaman geçtikçe daha az kullanılmıştır; hatta bazıları neredeyse tamamen unutulmuştur. Bunlardan birkaçına bakmadan önce, lise derslerinden de hatırlayabileceğiniz bazı temel trigonometrik fonksiyonlara göz atalım:

Sinüs fonksiyonu ( $sin⁡\sin$ )
Kosinüs fonksiyonu ( $cos⁡\cos$ )
Tanjant fonksiyonu ( $tan⁡\tan$ )
Kotanjant fonksiyonu ( $cot⁡\cot$ )
Sekant fonksiyonu ( $sec⁡\sec$ )
Kosekant fonksiyonu ( $cosec⁡\cosec$ )

Tabii bunların her birine ek olarak, bu fonksiyonların tersi olan fonksiyonlar da düşünülebilir. Örneğin $s i n (x)$ fonksiyonunun tersi, $sin^{-1}(x)$ veya $a r c s i n (x)$ olarak verilir. Bu fonksiyonların geometrik olarak neyi ifade ettiğini merak ediyorsanız, aşağıdaki grafiği inceleyebilirsiniz. Örneğin "sinüs" olarak adlandırdığımız fonksiyon, bir çemberin merkezinden herhangi bir açıyla yola çıkıp (aşağıdaki örnekte $q$ açısıyla yola çıkıp), vardığınız noktadan yarıçapa çizeceğiniz dik kenarın uzunluğunu hesaplamakta kullanılabilir; "kosinüs" fonksiyonu ise komşusu olan kenarın uzunluğunu verir.

Birim çember üzerinde iyi bilinen trigonometrik fonksiyonlar ve az bilinen trigonometrik fonksiyonların bazıları.

Fakat görselden de fark etmiş olabileceğiniz gibi; trigonometrik fonksiyonlar, bu altı yaygın fonksiyon ve terslerinden ibaret değildir. Günümüzde unutulmaya yüz tutmuş birçok diğer trigonometrik fonksiyon vardır. Gelin bunlara bir bakalım ve her birinin neyi sembolize ettiklerini tanıyalım.

Unutulmaya Yüz Tutmuş Trigonometrik Fonksiyonlar

1) Versin fonksiyonu

$versin(θ)=1−cos⁡(θ)versin(\theta)=1-\cos(\theta)$ olarak tanımlanır. Geometrik olarak birim çemberde $x -$ ekseni üzerinde yarıçap ile $cos⁡(θ)\cos(\theta)$ uzunluğu ile arasında kalan uzunluktur. Tabii sadece birinci bölgede geçerlidir.

2) Vercos fonksiyonu

$vercos(θ)=1+cos⁡(θ)vercos(\theta)=1+\cos(\theta)$ olarak tanımlanır.

3) Coversin fonksiyonu

$coversin(θ)=1−sin⁡(θ)coversin(\theta)=1-\sin(\theta)$ olarak tanımlanır. Geometrik olarak $v e r s i n$ fonksiyonuna benzer, fakat bu kez $y -$ ekseni için olan versiyonudur. Yine bu geometrik bakış açısı birinci bölgede geçerlidir.

4) Covercos fonksiyonu

$covercos(θ)=1+sin⁡(θ)covercos(\theta)=1+\sin(\theta)$ olarak tanımlanır.

5) Haversin fonksiyonu

$haversin(θ)=1−cos(θ)2haversin(θ)=\frac{1-cos(θ)}{2}$ olarak tanımlanır.

6) Havercos fonksiyonu

$havercos(θ)=1+cos⁡(θ)2havercos(\theta)=\frac{1+\cos(\theta)}{2}$ olarak tanımlanır.

Trigonometri ile ilgili diğer içerikler ›

7) Hacoversin fonksiyonu

$hacoversin(θ)=1−sin⁡(θ)2hacoversin(\theta)=\frac{1-\sin(\theta)}{2}$ olarak tanımlanır.

8) Hacovercos fonksiyonu

$hacovercos(θ)=1+sin⁡(θ)2hacovercos(\theta)=\frac{1+\sin(\theta)}{2}$ olarak tanımlanır.

9) Exsec fonksiyonu

$exsec(θ)=sec⁡(θ)−1exsec(\theta)=\sec(\theta)-1$ olarak tanımlanır.

10) Excosec fonksiyonu

$excosec(θ)=1−cosec⁡(θ)excosec(\theta)=1-\cosec(\theta)$ olarak tanımlanır.

11) Crd fonksiyonu

En eski tip trigonometrik fonksiyonlardan birisidir, şöyle oluşturulur: Bir $A B C$ üçgeni düşünelim, öyle ki iki kenarı eşit ve uzunlukları $1$ olsun. Bu ikiz kenarların arasındaki açıya $θ\theta$ diyelim, işte $θ\theta$ açısının baktığı kenarın uzunluğu $crd(θ)crd(\theta)$ olur. Sinüs teoreminden $crd(θ)=2sin⁡(θ2)crd(\theta)=2\sin(\frac{\theta}{2})$ olur.

Sonuç

Görülüyor ki fonksiyonlar aslında sadece bilinen fonksiyonların birbiriyle toplanması çıkarılması vs. ile oluşturuluyor. Neden böyle fonksiyonlar eski zamanlarda tanımlansın ki?

Bunun çok basit bir cevabı var: Eski zamanlarda işlem kolaylığı sağlıyorlardı ve günlük problemler için aslında çok kullanışlı fonksiyonlar. Çünkü bu trigonometrik fonksiyonların hepsi herhangi bir $θ\theta$ değeri için sıfır ve sıfırdan büyük değerler alır ( $c r d$ fonksiyonu uzunluk üzerine kurulduğu için o da pozitiftir). Ayrıca bu fonksiyonlar $sin⁡,cos⁡,tan⁡,cot⁡,sec⁡,cosec⁡\sin, \cos, \tan, \cot, \sec, \cosec$ fonksiyonları ile tanımlanmadan önce, antik zamanlarda uzunluklar aracılığı ile tanımlanıyordu; daha sonra trigonometri kuramının üzerine çalışılmaya başlandığında bu fonksiyonlar yerine daha geometrik açıdan anlaşılabilir fonksiyonlar olan sinüs, kosinüs vb. fonksiyonlar daha öne çıktı ve dolayısıyla bu fonksiyonlar da bu modern fonksiyonlar üzerinden günümüzdeki tanımlarını kazandılar. Aşağıdaki grafikte bütün bu fonksiyonların grafiklerini görebilirsiniz.

Unutulmaya yüz tutmuş trigonometrik fonksiyonların grafikleri

Bu grafikte fonksiyonların $[−π,π][-\pi,\pi]$ aralığındaki grafikleri verilmiştir. Görüleceği üzere hiçbir zaman negatif olmazlar. Şimdi bu fonksiyonlar üzerindeki bazı özdeşlikleri kanıtlarıyla görelim.

$versin(θ)vercos(θ)=(1+cos⁡(θ))(1−cos⁡(θ))=1−cos⁡2(θ)=sin⁡2(θ)versin(\theta)vercos(\theta)=(1+\cos(\theta))(1-\cos(\theta))=1-\cos^2(\theta)=\sin^2(\theta)$
$coversin(θ)covercos(θ)=(1+sin⁡(θ))(1−sin⁡(θ))=1−sin⁡2(θ)=cos⁡2(θ)coversin(\theta)covercos(\theta)=(1+\sin(\theta))(1-\sin(\theta))=1-\sin^2(\theta)=\cos^2(\theta)$
$haversin(θ)=1−cos(θ)2=versin(θ)2haversin(θ)=\frac{1-cos(θ)}{2}=\frac{versin(\theta)}{2}$
$havercos(θ)=1+cos(θ)2=vercos(θ)2havercos(θ)=\frac{1+cos(θ)}{2}=\frac{vercos(\theta)}{2}$
$hacoversin(θ)=1−sin(θ)2=coversin(θ)2hacoversin(θ)=\frac{1-sin(θ)}{2}=\frac{coversin(\theta)}{2}$
$hacovercos(θ)=1+sin(θ)2=covercos(θ)2hacovercos(θ)=\frac{1+sin(θ)}{2}=\frac{covercos(\theta)}{2}$
$versin(θ)+vercos(θ)=1−cos⁡(θ)+1+cos⁡(θ)=2versin(\theta)+vercos(\theta)=1-\cos(\theta)+1+\cos(\theta)=2$ (bu toplam herhangi bir $θ\theta$ için sabit değer alır. )
$coversin(θ)+covercos(θ)=1−sin⁡(θ)+1+sin⁡(θ)=2coversin(\theta)+covercos(\theta)=1-\sin(\theta)+1+\sin(\theta)=2$
$haversin(θ2)havercos(θ2)=(1−cos⁡(θ2))(1+cos⁡(θ2))4=sin⁡2(θ2)4=(crd(θ))2haversin(\frac{\theta}{2})havercos(\frac{\theta}{2})=\frac{(1-\cos(\frac{\theta}{2}))(1+\cos(\frac{\theta}{2}))}{4}=\frac{\sin^2(\frac{\theta}{2})}{4}=(crd(\theta))^2$

Bu liste bu şekilde uzatılabilir. Ancak işin özü şudur: Trigonometrinin olduğu yerde her şey, her şeyle müthiş bağlantılıdır. Bu özdeşliklerde de bu bağlantıların bazılarını görmenizi istedik.

Atalarımızın yaptığı, "ilkel" diye küçümsediğimiz bu trigonometrinin bile ne kadar güzel özdeşliklere yol açtığı çok ilgi çekicidir ve aynı zamanda matematiğin hiçbir daim ilkel olamayacağının kanıtıdır.

Rastgele Yazıya Git

Alt Başlıklar

Makalelerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu makalemizle ilgili merak ettiğin bir şey mi var? Buraya tıklayarak sorabilirsin.

Soru & Cevap Platformuna Git

Bu Makale Sana Ne Hissettirdi?

Tebrikler!
24
İnanılmaz
6
Bilim Budur!
4
Mmm... Çok sapyoseksüel!
4
Muhteşem!
3
Merak Uyandırıcı!
3
Korkutucu!
2
Güldürdü
0
Umut Verici!
0
Üzücü!
0
Grrr... *@$#
0
İğrenç!
0

Kategoriler ve Etiketler

Matematik Geometri

Kaynaklar ve İleri Okuma

University of California at Berkeley. The Chord Function. (1 Ocak 2021). Alındığı Tarih: 6 Ocak 2021. Alındığı Yer: UCR | Arşiv Bağlantısı

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 16.08.2026 03:54:17tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: evrimagaci.org/s/9829

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçeizin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz.

Unutulan Trigonometri: Pek Kullanılmayan ama Faydalı Olabilecek Trigonometrik Fonksiyonlar!

Kosekantı Tanımlayabildiğiniz İçin Bilge mi Hissediyorsunuz? Hakoverkosinüs ile Tanışın!

8 Ocak 2021

5dk

Mert TaşdemirYazar

Çağrı Mert BakırcıEditör

Bu Makalede Neler Öğreneceksiniz?

AI ile Özet Oluşturabilirsiniz.

Trigonometri, milattan önce Öklid geometrisini geliştirmek için kullanılan ve gölgelerden güneşin hareketine kadar hesaplamaları kolaylaştıran eski ve önemli bir matematik dalıdır.
Günümüzde sinüs, kosinüs ve tanjant gibi temel trigonometrik fonksiyonların yanı sıra versin, coversin, haversin gibi unutulmaya yüz tutmuş birçok fonksiyon da vardır.
Eski zamanlarda bu az bilinen trigonometrik fonksiyonlar, işlemleri kolaylaştırarak günlük problemleri çözmede pratik ve kullanışlı araçlar olarak tanımlanmıştır.

Sinüs fonksiyonu ( $sin⁡\sin$ )
Kosinüs fonksiyonu ( $cos⁡\cos$ )
Tanjant fonksiyonu ( $tan⁡\tan$ )
Kotanjant fonksiyonu ( $cot⁡\cot$ )
Sekant fonksiyonu ( $sec⁡\sec$ )
Kosekant fonksiyonu ( $cosec⁡\cosec$ )

Unutulmaya Yüz Tutmuş Trigonometrik Fonksiyonlar

1) Versin fonksiyonu

2) Vercos fonksiyonu

$vercos(θ)=1+cos⁡(θ)vercos(\theta)=1+\cos(\theta)$ olarak tanımlanır.

3) Coversin fonksiyonu

4) Covercos fonksiyonu

$covercos(θ)=1+sin⁡(θ)covercos(\theta)=1+\sin(\theta)$ olarak tanımlanır.

5) Haversin fonksiyonu

$haversin(θ)=1−cos(θ)2haversin(θ)=\frac{1-cos(θ)}{2}$ olarak tanımlanır.

6) Havercos fonksiyonu

$havercos(θ)=1+cos⁡(θ)2havercos(\theta)=\frac{1+\cos(\theta)}{2}$ olarak tanımlanır.

Trigonometri ile ilgili diğer içerikler ›

7) Hacoversin fonksiyonu

$hacoversin(θ)=1−sin⁡(θ)2hacoversin(\theta)=\frac{1-\sin(\theta)}{2}$ olarak tanımlanır.

8) Hacovercos fonksiyonu

$hacovercos(θ)=1+sin⁡(θ)2hacovercos(\theta)=\frac{1+\sin(\theta)}{2}$ olarak tanımlanır.

9) Exsec fonksiyonu

$exsec(θ)=sec⁡(θ)−1exsec(\theta)=\sec(\theta)-1$ olarak tanımlanır.

10) Excosec fonksiyonu

$excosec(θ)=1−cosec⁡(θ)excosec(\theta)=1-\cosec(\theta)$ olarak tanımlanır.

11) Crd fonksiyonu

Sonuç

Görülüyor ki fonksiyonlar aslında sadece bilinen fonksiyonların birbiriyle toplanması çıkarılması vs. ile oluşturuluyor. Neden böyle fonksiyonlar eski zamanlarda tanımlansın ki?

$versin(θ)vercos(θ)=(1+cos⁡(θ))(1−cos⁡(θ))=1−cos⁡2(θ)=sin⁡2(θ)versin(\theta)vercos(\theta)=(1+\cos(\theta))(1-\cos(\theta))=1-\cos^2(\theta)=\sin^2(\theta)$
$coversin(θ)covercos(θ)=(1+sin⁡(θ))(1−sin⁡(θ))=1−sin⁡2(θ)=cos⁡2(θ)coversin(\theta)covercos(\theta)=(1+\sin(\theta))(1-\sin(\theta))=1-\sin^2(\theta)=\cos^2(\theta)$
$haversin(θ)=1−cos(θ)2=versin(θ)2haversin(θ)=\frac{1-cos(θ)}{2}=\frac{versin(\theta)}{2}$
$havercos(θ)=1+cos(θ)2=vercos(θ)2havercos(θ)=\frac{1+cos(θ)}{2}=\frac{vercos(\theta)}{2}$
$hacoversin(θ)=1−sin(θ)2=coversin(θ)2hacoversin(θ)=\frac{1-sin(θ)}{2}=\frac{coversin(\theta)}{2}$
$hacovercos(θ)=1+sin(θ)2=covercos(θ)2hacovercos(θ)=\frac{1+sin(θ)}{2}=\frac{covercos(\theta)}{2}$
$versin(θ)+vercos(θ)=1−cos⁡(θ)+1+cos⁡(θ)=2versin(\theta)+vercos(\theta)=1-\cos(\theta)+1+\cos(\theta)=2$ (bu toplam herhangi bir $θ\theta$ için sabit değer alır. )
$coversin(θ)+covercos(θ)=1−sin⁡(θ)+1+sin⁡(θ)=2coversin(\theta)+covercos(\theta)=1-\sin(\theta)+1+\sin(\theta)=2$
$haversin(θ2)havercos(θ2)=(1−cos⁡(θ2))(1+cos⁡(θ2))4=sin⁡2(θ2)4=(crd(θ))2haversin(\frac{\theta}{2})havercos(\frac{\theta}{2})=\frac{(1-\cos(\frac{\theta}{2}))(1+\cos(\frac{\theta}{2}))}{4}=\frac{\sin^2(\frac{\theta}{2})}{4}=(crd(\theta))^2$

Rastgele Yazıya Git

Alt Başlıklar

Bu makalemizle ilgili merak ettiğin bir şey mi var? Buraya tıklayarak sorabilirsin.

Soru & Cevap Platformuna Git

Bu Makale Sana Ne Hissettirdi?

Tebrikler!
24
İnanılmaz
6
Bilim Budur!
4
Mmm... Çok sapyoseksüel!
4
Muhteşem!
3
Merak Uyandırıcı!
3
Korkutucu!
2
Güldürdü
0
Umut Verici!
0
Üzücü!
0
Grrr... *@$#
0
İğrenç!
0

Kategoriler ve Etiketler

Matematik Geometri

Kaynaklar ve İleri Okuma

University of California at Berkeley. The Chord Function. (1 Ocak 2021). Alındığı Tarih: 6 Ocak 2021. Alındığı Yer: UCR | Arşiv Bağlantısı

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci