İrrasyonel Bir Sayının İrrasyonel Kuvveti, Rasyonel Bir Sayı Olabilir Mi?

Yazının başlığı olan soruya cevap vermeden önce rasyonel ve irrasyonel sayıların ne demek olduğunu anlayalım.

Tanımlar

Rasyonel sayılar, iki tam sayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Örnek olarak:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2},\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2},\genfrac{}{}{0ex}{}{-17}{49},...$

verilebilir. İrrasyonel sayılar ise reel sayılar kümesinin rasyonel olmayan elemanlarıdır. Diğer bir ifade ile rasyonel olmayan her reel sayı irrasyonel bir sayıdır. Bu nedenle iki tam sayının birbirine oranı olarak ifade edilemezler. Örneğin:

$\sqrt{2},\sqrt{19},\pi ,e,...$

$\pi$ ve $e$ sabitlerinin irrasyonel olduklarını birçok matematikçi kanıtlamıştır. Biz basit olarak $\sqrt{2}$'nin irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtlayalım.

$\sqrt{2}$'nin İrrasyonel Bir Sayı Olduğunun Kanıtı

$a$ ve $b$ ortak çarpanları olmayan iki tam sayı olsun.

$\sqrt{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{a}{b}$

Bu denkleme göre $a^2$'nin çarpanlarından biri 2'dir, bu da tanım gereği $a^2$'nin çift sayı olduğu anlamına geliyor. $a^2$'nin çift sayı olması için a'nın da çift sayı olması gerekir; çünkü bir tek sayının başka bir tek sayıyla çarpımı yine tek sayıdır. O halde $k$ bir tam sayı olmak üzere:

$a=2k$

denklemi ile $a$'yı ifade edebiliriz. Bunu denklemde yerine koyarsak:

$4k^2=2b^2$

$b^2=2k$

Bu denklemden sonuç olarak $b^2$ sayısının bir çift sayı ve dolayısıyla $b$ sayısının da çift sayı olması gerektiği ortaya çıkar.

Hem $a$ hem $b$'nin çift olması demek, her iki sayının 2 ile tam bölünebiliyor olması ve dolayısıyla her iki sayınında en az bir ortak çarpanı (bu durumda 2) olduğu anlamına geliyor. Bu da en başta $a$ ve $b$ için yaptığımız tanım olan “$a$ ve $b$ ortak çarpanları olmayan iki tam sayıdır” ifadesi ile çelişir.

Sonuç olarak $\sqrt{2}$'nin rasyonel sayı olması çelişkili olacağı için $\sqrt{2}$ irrasyonel bir sayıdır.

$\sqrt{2}$'nin irrasyonel olduğunu kanıtladık; fakat asıl sorumuza geçmeden önce basit bir mantık sorusunu çözelim.

Bir Mantık Sorusu

Can, Mehmet ve Ayşe adında 3 kişi vardır. 3’ünün durumları şöyledir:

1. Can, Ayşe’ye bakıyor; Ayşe, Mehmet’e bakıyor.
2. Can evli, Mehmet evli değil.

Bu örnekte evli biri evli olmayan birine bakıyor mudur?

• A. Evet
• B. Hayır
• C. Belirli değil

Eğer cevabın C şıkkı olduğunu düşünüyorsanız, yanılıyorsunuz. Eğer "Bir insan ya evlidir ya da evli değildir" varsayımını kabul ederseniz cevap A. şıkkıdır. Bize sorulan bilmeceyi daha iyi ifade edelim:

• Can: Evli
• Ayşe: Belirli Değil
• Mehmet: Evli Değil

Burada Ayşe için iki koşul vardır: “Ya Ayşe evlidir ya da Ayşe evli değildir”. Her iki koşula göre ne elde ettiğimize bakalım:

• 1. Koşul: "Ayşe evlidir." O halde Ayşe, Mehmet’e baktığı için “evli biri evli olmayan birine bakıyordur” önermesi doğrudur.
• 2. Koşul: "Ayşe evli değildir." O halde Can, Ayşe’ye baktığı için “evli biri evli olmayan birine bakıyordur” önermesi doğrudur.

Sonuç olarak, Ayşe evli olsun veya olmasın her iki koşulda da “evli biri evli olmayan birine bakıyordur” önermesi doğrudur.

Bu bilmecede kullandığımız aynı mantık ile yazının başlığı olan soruya cevap verebiliriz.

İrrasyonel Bir Sayının İrrasyonel Kuvveti Rasyonel Bir Sayı Olabilir Mi?

Diyelim ki $x$ reel sayı olacak şekilde:

$x={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$

olsun. $\sqrt{2}$'nin irrasyonel olduğunu bildiğimiz için x irrasyonel bir sayının irrasyonel üssüdür. Her iki tarafın da $\sqrt{2}$ üssünü alırsak:

$x^{\sqrt{2}}=({\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}{)}^{\sqrt{2}}$

$x^{\sqrt{2}}={\sqrt{2}}^2$

$x^{\sqrt{2}}=2$

Elimizde iki sonuç var:

$x={\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}$

$x^{\sqrt{2}}=2$

• Koşul: "$x$, irrasyonel bir sayıdır." O halde, ikinci denkleme göre “irrasyonel bir sayının irrasyonel üssü rasyonel bir sayı olabilir” önermesi doğrudur.
• Koşul: "$x$, rasyonel bir sayıdır." O halde, ilk denkleme göre “irrasyonel bir sayının irrasyonel üssü rasyonel bir sayı olabilir” önermesi doğrudur.

Sonuç olarak, $x$ rasyonel sayı olsun veya olmasın “irrasyonel bir sayının irrasyonel üssü rasyonel bir sayı olabilir” önermesi doğrudur.