Fiziksel Anlamıyla İş Nedir? Gündelik Anlamdaki İş Kavramından Farkı Nedir?

Fizikte işi, cisme bir kuvvetin etkimesi sonucunda yer değiştirme ile aynı doğrultuda olan kuvvet bileşeninin neden olduğu enerji değişimi olarak ifade ederiz. Fizikte iş, gündelik iş kavramından oldukça farklıdır. Eğer kuvvet, yer değiştirme ile aynı yönlü ise pozitif iş yapmış; zıt yönlü ise negatif iş yapmış olur. İşin birimi $N.m$ yani Joule'dür.

Fizikte iş tanımı, diğer konularla karşılaştırıldığında belki de en çok kafa karıştıranıdır. Gündelik hayattaki iş kavramımıza oldukça ters düşmesi nedeniyle çoğunlukla yanlış anlaşılır. Hiç kuşkusuz bu konudaki en kafa karıştırıcı örneklerden biri, yerden alınıp belirli bir yüksekliğe çıkarılan çanta örneğidir. Bariz bir şekilde bunu yapmak için bir miktar enerji harcarsınız. Hatta defalarca tekrarlarsanız yorulacağınız oldukça aşikardır. Ama bu hareket yer çekimi üzerinde hiçbir iş yapmaz!

Öncelikle, işin aslında oldukça basit bir tanımı vardır. Bu tanımdaki en büyük zorluk, gündelik hayattaki işi düşünmekten kaynaklanır. O nedenle gündelik algınızdan kopup, fizikte iş nedir sorusuyla gelen tanıma odaklanmaya çalışın. Kafanızda yeni bir iş tanımı oluşmalı!

Fizikte bir kavramını anlarken başlangıçta onun biriminin ne olduğuna bakmak, neyle karşı karşıya olduğunuz hakkında iyi bir ön yargı oluşturabilir. Eğer işin birimine bakacak olursak $N.m$ yani Joule olduğunu görürüz. Bu aslında enerjinin birimidir! Dolayısıyla işin, enerjiyle ilgili olacağı açıktır. Birim analizinden hatırlayacak olursanız, aynı birimler birbirinden çıkarılabilir ya da toplanabilir. Bunu aklımızın bir kenarında tutup, işin matematiksel tanımına gelelim.

Bir Boyutta İş

İş nedir sorusuna iyi bir cevap getirmek için öncelikle bir boyuttaki bir hareketi ele alalım, kullandığımız eksen $x$ ekseni olsun. Eğer cisim bir $F$ kuvveti altında $a$ noktasından $b$ noktasına giderek bir yer değiştirme yapıyorsa, bu durumda iş aşağıdaki gibi tanımlanır:

$W_{ab}={\int }_a^{b}Fdx$

Bu durumda iş, skaler bir nicelik olacaktır. Sıfırdan küçük, sıfıra eşit ya da sıfırdan büyük olabilir. Bunun nasıl olabileceğini, hangi durumlarda hangisinin olacağını bir durup düşünmekte fayda var. Çünkü bu basit yorum bile, karşımıza çıkan örnekler hakkında iyi bir fikir vermek için yeterlidir:

• İş sıfırdan büyükse, kuvvet ile yer değiştirme aynı yönlüdür.
• İş sıfırdan küçükse, kuvvet ile yer değiştirme zıt yönlüdür.
• İş sıfır ise ya net kuvvet sıfırdır ya da kuvvet bir yer değiştirmeye neden olamamıştır.

Bu yukarıdaki yorumların, hangi yönü pozitif hangi yönü negatif olarak tanımlamamızdan bağımsız olduğuna dikkat etmelisiniz. Burada mühim olan yönlerin birbirlerine zıt olup olmamalarıdır ki çarpım sıfırdan küçük olabilsin. Keza kuvvetin var olduğu durumda, yer değiştirme olsa bile net kuvvetin sıfır olması sebebiyle işin de sıfır olabileceğine dikkat edin.

Yukarıdaki denklemi biraz açarak, anlamını daha iyi kavramaya çalışalım. Kuvvet kavramından bildiğimiz üzere $F=ma$'dır. Bunu $F=m(dv/dt)$ şeklinde yazabiliriz (Çünkü ivme, hızın zamana göre türevidir). Yine hız için de $dx=vdt$ olduğunu biliyoruz. Bunları yerine yazacak olursak, denklem aşağıdaki hale dönüşür:

$W_{ab}={\int }_a^{b}m\frac{dv}{dt}vdt$

Burada $dt$ terimleri birbirini götürür ve integralde $mvdv$ terimi kalır. Dolayısıyla konuma bağlı integrali hıza bağlı integrale dönüştürmüş oluruz. Hıza göre yeniden düzenlendiğinde formül aşağıdaki gibi olacaktır:

$W_{ab}={\int }_a^{b}mvdv=\frac{1}{2}m{v}^2{|}_{v_a}^{v_b}=\frac{1}{2}m{v}_b^2-\frac{1}{2}m{v}_a^2$

Burada karşımıza çıkan $\frac{1}{2}m{v}^2$ ifadesi, kinetik enerjidir. Bu sayede iş enerji teoremi adını verdiğimiz formülü bulmuş olduk. Daha şık görünmesi için kinetik enerji terimine $\text{KE}$ yazıp yeniden düzenleyelim (bazen bunu $\text{K}$ veya $\text{T}$ gibi farklı formlarda görebilirsiniz).

$W_{ab}={\text{KE}}_b-{\text{KE}}_a$

Bu sayede az önceki üç maddeyi şu şekilde yeniden ifade edebiliriz:

• Eğer bu süreçte kinetik enerji artıyorsa, yapılan iş pozitiftir.
• Eğer bu süreçte kinetik enerji azalıyorsa, yapılan iş negatiftir.
• Eğer bu süreçte kinetik enerji değişmiyorsa, iş yapılmıyordur.

Örneğin bir cismi hareket ettiği doğrultu boyunca iter ve ona kinetik enerji kazandırırsanız pozitif bir iş yapmış olursunuz. Fakat karşıdan hızla gelmekte olan bir cisme kuvvet uygulayarak onu yavaşlatıyorsanız (kuvvet ve hareket zıt yönlüyse), negatif bir iş yapmış olursunuz. Eğer bir duvarı itiyorsanız, duvar olduğu yerde duracağından kinetik enerjisi artmaz, bu durumda iş sıfırdır.

Kütleçekim Tarafından Yapılan İş

Farz edelim ki yerden belirli bir hızla, dikey olarak yukarıya top atıyoruz. Bu harekete $a$ noktasından başlayan top, $b$ noktasında maksimum yüksekliğe ulaşıp duruyor. Burada kütleçekim tarafından yapılan iş nedir ve cisim ne kadar yüksekliğe çıkar? Bu yüksekliği daha önce hız ve ivme ilişkilerini kullanarak şurada türetmiştik. Şimdi bunlara gerek duymadan iş enerji teoremiyle bunu elde etmeye çalışalım:

Burada kütle çekimin uyguladığı kuvvet $-mg$'dir (yukarı yönü pozitif aldığımız için kuvvet negatif ve tüm sürtünmelerin önemsiz olduğuna dikkat edin). Dikey ekseni $y$ ekseni olarak almak bir alışkanlık olduğu için burada da öyle yaptık, $y$'nin üzerindeki şapka bunu belirten birim vektördür (bazıları bunu kafa karışıklığı olmasın diye koymaz ama aslında vardır). Kütleçekim kuvveti $h$ mesafesi boyunca uygulandığı için iş $-mgh$ olur. Top zirveye ulaştığında durduğu için herhangi bir hızı yoktur, dolayısıyla kinetik enerjisi $\frac{1}{2}m{v}^2$ gereğince sıfır olur. O halde denklemi aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

$$\begin{gathered} W_{ab}=-mgh=0-{\text{KE}}_a=-\frac{1}{2}m{v}_a^2 \\ mgh=\frac{1}{2}m{v}_a^2 \\ h=\frac{v_a^2}{2g} \end{gathered}$$

Böylelikle daha önce kullandığımız hız ve ivme ilişkilerini kullanmadan, maksimum yükseklik değerini bulmuş oluruz.

Kütleçekime Karşı Yapılan İş

Şimdi olaya biraz daha farklı yaklaşalım ve maddeler halinde ifade ettiğimiz sonuçları test edelim. Fizikte, bu tür çıkarımları çeşitli deney düzenekleri tasarlayarak test etmek, onları daha kapsamlı bir şekilde anlayabilmemizi sağlar. O nedenle burada bir kuvvetin var olduğu ama kütle çekime karşı iş yaptığı senaryoyu ele alıp neler olduğuna bakalım. Kütleçekime karşı yapılan iş nedir? Bu durumda başlangıç ve bitiş hızı sıfır, dolayısıyla başlangıç ve bitiş kinetik enerjileri yok. Sadece buradan işin sıfır olacağını görmek mümkün ama devam edelim.

Örneğin yerde duran bir çantayı aldık ve bir masanın üzerine taşıyıp bıraktık. Bu durumda yapılan iş nedir? Yine buradaki şapkalı $y$ harfi kafanızı karıştırmasın, o sadece hareketin $y$ ekseni doğrultusunda olduğunu belirtmek için kullandığımız bir vektör gösterimi. Burada $F$ kuvvetine karşılık, $-mg$ kuvvetinin olduğunu görüyoruz. $F$ kuvveti buna karşı $+mgh$ işini yapar, bu sırada kütleçekim de $-mgh$ işini yapmaktadır.

$$\begin{gathered} W_F=+mgh \\ {W}_g=-mgh \\ {W}_{toplam}=0 \end{gathered}$$

Böylelikle toplam işin sıfır olduğunu görürüz. Bu durum çok sık kafa karıştırmaktadır ve bunun aslında tek nedeni gündelik hayattaki iş kavramıdır. Söz konusu bir eylem vardır, çanta yerden masaya taşınmıştır. Nasıl olur da iş sıfır olur! Olur, çünkü iş nedir sorusunun fizikteki cevabı bu değildir. Dolayısıyla böyle bir isyan anlamsızdır. O nedenle bu konuları anlarken gündelik düşünceleri bir kenara bırakıp, yeni temeller oluşturma yoluyla hareket etmelisiniz. Aksi takdirde doğacak çelişkiler sizi hataya götürecektir.

Üç Boyutta İş

Şimdi durumu biraz daha genelleştirmeye çalışalım. Yine kolaylık olması açısından kartezyen koordinatları seçeceğiz. Bu durumda kuvvet ve birim yer değiştirme vektörü, bileşenleri cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilir:

$$\begin{gathered} \vec{F}=F_x\hat{x}+F_y\hat{y}+F_z\hat{z} \\ d\vec{r}=dx\hat{x}+dy\hat{y}+dz\hat{z} \end{gathered}$$

Belki vektör gösterimi yine kafanızı karıştırabilir, fakat buna aşina hale gelmenizde yarar var. Burada $F_x$ ifadesi $F$ kuvvetinin $x$ ekseni yönündeki büyüklüğünü, $\hat{x}$ ise $x$ eksenindeki birim vektörü ifade ediyor. Böylece ikisinin çarpımı $x$ ekseni yönündeki kuvvet vektörünü bize veriyor. Bunu $y$ ekseni ve $z$ ekseni için yaptığımızda, vektör toplamından da hatırlayacağınız üzere, kuvvetin kendisini elde ediyoruz. Aynı durum yer değiştirme vektörü için de geçerli elbette. Bu durumda işin tanımını üç boyuta genelleyecek olursak, aşağıdaki ifadeyle karşılaşırız:

$W_{ab}={\int }_a^b\vec{F}\cdot d\vec{r}$

Bunu biraz genişletip, neyi ifade ettiğini daha iyi anlamaya çalışalım. Yukarıdaki $F$ ve $d\vec{r}$ ifadelerini yerine koyacak olursak şu denkleme ulaşırız:

$$\begin{gathered} W_{ab}={\int }_a^{b}dW={\int }_a^b{F}_{x}dx+{\int }_a^b{F}_{y}dy+{\int }_a^b{F}_{z}dz \\ =\frac{1}{2}m(v_{bx}^2-v_{ax}^2)+\frac{1}{2}m(v_{by}^2-v_{ay}^2)+\frac{1}{2}m(v_{bz}^2-v_{az}^2) \\ =\frac{1}{2}m(v_b^2-v_a^2) \end{gathered}$$

Bu bir boyuttaki formun birebir aynısıdır. Burada $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$ olduğuna dikkat edin, tüm sadelik buradan geldi. Şimdi hareketin biçimine olan bağlılığı irdeleyelim. Bunun için üç boyutta aşağıdaki gibi bir yol izleyen parçacığın yaptığı işe bakalım.

Bu örnekte $z_b-z_a=h$ olsun, bu tamamen keyfi bir isimlendirme. Potansiyel hesaplarında zemini nasıl sıfır kabul ediyorsak burada da $a$ noktasını bir nevi sıfır noktası kabul ediyoruz ve ne kadar yükseldiğine bakarak buna $h$ kadar diyoruz. Bu durumda yapılan iş aşağıdaki gibi olur:

$W_{ab}={\int }_a^b\vec{F}d\vec{r}={\int }_a^b{F}_{z}dz=-mg(z_b-z_a)=-mgh$

Buradan görülmektedir ki sonuç, parçacığın izlediği yola bağlı değildir. İstediği şekilde hareket ederek bir noktadan diğerine ulaşabilir, mühim olan başlangıç ve bitiş noktası arasındaki yükseklik farkıdır. Çünkü iniş ve çıkışta yapılan işler birbirini götürür (biri negatif biri pozitiftir). Dolayısıyla tek fark, başlangıç ve bitiş konumları arasındaki farktan gelir. Kütleçekime (ya da burada yerçekimine) karşı yapılan işi belirleyen budur.

Korunumlu Kuvvetler

Eğer kuvvetin uyguladığı iş yoldan bağımsızsa ve yalnızca başlangıç ve bitiş ile ilişkiliyse, bu kuvvet için korunumlu bir kuvvettir deriz. Bu nedenle yerçekimi, korunumlu bir kuvvettir. Parçacığın ne şekilde h yüksekliğine çıktığından bağımsız olarak aynı değerleri verir. Bir başka deyişle parçacığın izlediği yoldan bağımsız, sadece başlangıç ve bitiş noktalarıyla ilişkilidir.

Bu sırada parçacığı $h$ kadar yüksekliğe taşımak için kuvvetin yaptığı iş $+mgh$ olduğu için, yine toplam işin sıfır olduğunu görebiliriz. Burada altının çizilmesi gereken bir başka nokta, neye karşı iş yaptığımızdır. Bu örnekte kütle çekime karşı bir iş yapılmaktadır. Eğer burada rüzgâr gibi bir sürtünme faktörü olsaydı, bu sonuçları etkilerdi. Aynı zamanda bu kısa $h$ mesafesi boyunca yer çekimi ivmesi $g$'nin sabit olduğunu kabul ettiğimizi de unutmayın. Bildiğiniz üzere yer çekimi ivmesi $g$, aslında yüksekliğe bağlıdır ve yerden yükseldikçe azalır. Lakin pratik ölçeklerde bu etki çok az olduğundan ihmal ederiz. Eğer edemeyeceğimiz düzeyde olsaydı nasıl bir durumlarla karşılaşırdık sorusunu sizlere bırakıyoruz.

İş Formülü

Özellikle eğer lise öğrencisiyseniz ve bu içeriği okuyorsanız, yukarıdaki açıklamalar sizin çözdüğünüz sorulardan çok uzak görünmüş olabilir. Fakat işin temelinin nereye dayandığını anlarsanız problemin çözümü de oldukça basit bir hal alır. Pek muhtemelen iş formülü sizin için aşağıdaki gibi gösterilmiştir:

$W=F\cos (\theta )d$

Bu aslında zaten tanımladığımız ifadedir. $F$ vektörü ile yer değiştirme vektörünün skaler çarpımı (nokta çarpımı) sonucunda $\cos \theta$ açısı gelir. Bu $\theta$ açısı iki vektör arasındaki açıdır (yer değiştirme ile kuvvet arasındaki açı). Bunun neden mantıklı olduğuna dikkat edin. Çünkü bizi ilgilendiren, tanım gereği kuvvetin yer değiştirme doğrultusu boyunca yaptığı "şey" idi. Dolayısıyla bu işlemle kuvvetin o doğrultudaki bileşeninin ne kadar iş yaptığını buluruz.

Gelin bir de örnek çözelim: Yerden duran $m$ kütleli bir cismi $50\text{ N}$'luk bir kuvvetle, zeminle $30°$ açı yapacak şekilde çekerek $4$ metre sağa sürükleyelim. Bu sırada cisim yerden yükselmesin. Kuvvetin yaptığı iş nedir?

Yer değiştirme yatayda olduğuna göre, kuvvetin yalnızca yatay bileşeni iş yapmıştır. Kuvvetin yatay bileşeni de $50\cdot \cos (30)$'dan yaklaşık $43.3N$ eder. Bunu $4$ metre boyunca uygulayınca da yukarıdaki formülden de görüleceği üzere $W=50\cdot \cos (30)\cdot 4=173,2$ Joule'lük bir iş olarak bulunur.

Burada kuvvetin aynı zamanda bir de dikey bileşeni olduğuna dikkat ediniz. Bu $50\cdot \sin (30)=25N$'luk bir kuvvettir. Fakat cisim sadece yatayda yer değiştirmiştir. Dolayısıyla bu kuvvet cisim üzerinde hiçbir iş yapmamıştır! Her ne kadar bu kuvvet bir iş yapmış olmasa da bu örnek sayesinde iş tanımının artık bu gündelik algımızla tanımlanmadığını biliyoruz.