Paralel Eksen Teoremi Nedir? Nasıl Uygulanmaktadır?

Paralel Eksen Teoremi, diğer bir adıyla Huygens-Steiner Teoremi, klasik mekaniğin temel kavramlarından biri olup katı bir cismin herhangi bir eksen etrafındaki eylemsizlik momentini hesaplamak için kullanılmaktadır. Yani bu teorem, cisimlerin dönüş dinamiklerini analiz etmeyi sağlamaktadır.

Bir cismin 𝑧 ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti şu şekilde tanımlanmaktadır:

$I={\sum }_i{m}_i\left[(x_i-d{)}^2+y_i^2\right]$

İfadeyi açtığımızda karşımıza şu çıkar:

$I={\sum }_i{m}_i\left(x_i^2+y_i^2-2d{x}_i+d^2\right)$

Burada $I_{\text{cm}}$, cismin kütle merkezinden geçen eksen etrafındaki eylemsizlik momentidir:

$I_{\text{cm}}={\sum }_i{m}_i\left(x_i^2+y_i^2\right)$

Sonuç olarak teorem, şu şekilde ifade edilmektedir:

$I=I_{\text{cm}}+m{d}^2$

Teorem, cismin kütle merkezinden geçen eksen etrafındaki eylemsizlik momenti ($I_{\text{cm}}$) ile paralel eksenler arasındaki dik mesafe ($d$) ve cismin kütlesi ($m$) üzerinden hesaplanmaktadır. Türetme, bir kartezyen koordinat sisteminde eksenler arasındaki dik mesafenin 𝑥 ekseni boyunca olduğunu ve kütle merkezinin orijinde bulunduğu kabul edilerek yapılabilmektedir. Bu durumda, $z^{\prime }$ ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti, orijin etrafındaki eylemsizlik momenti ve paralel eksenler arasındaki mesafenin karesinden gelmektedir.^[1]

ProtonsTalk

Kartezyen koordinat sisteminde eksenler arasındaki dik mesafenin 𝑥 ekseni boyunca uzandığını ve kütle merkezinin orijinde bulunduğu varsayıldığında 𝑧 eksenine göre eylemsizlik momenti şu şekilde ifade edilmektedir:

$I_{\text{cm}}=\int (x^2+y^2)dm$

Cismin 𝑥 ekseni boyunca kütle merkezinden 𝑑 uzaklıkta bulunan 𝑧′eksenine göre eylemsizlik momenti ise şu şekilde karşımıza çıkmaktadır:

$I=\int \left[(x-d{)}^2+y^2\right]dm$

$I=\int \left(x^2+y^2-2dx+d^2\right)dm$

$I=\int (x2+y2)dm+d2\int dm-2d\int xdm$

Burada ilk terim $I_{\text{cm}}$'dir, ikinci terimse $M{D}^2$olmaktadır. Son terimdeki integral, kütle merkezinin 𝑥 koordinatının bir katıdır ve kütle merkezi orijinde bulunduğu için sıfırdır. Yani denklem şu hale gelmektedir:

$I=I_{\text{cm}}+M{D}^2$

Eylemsizlik Tensörüne Göre Genellemesi

Kütle merkezi etrafındaki atalet tensörü (𝐼_𝑖𝑗), yer değiştirme vektörü ($R$) kullanılarak şu şekilde genelleştirilmektedir:

$J_{ij}=I_{ij}+m\left(|R{|}^2{\delta }_{ij}-R_i{R}_j\right)$

Bu formül, herhangi bir noktaya göre hesaplanan eylemsizlik tensörünü vermektedir. Ayrıca eksenler arasındaki yer değiştirme dikkate alınarak hesaplamalar yapılmaktadır. Paralel eksen teoreminin genelleştirilmiş versiyonu koordinatsız gösterim biçiminde ifade edilebilmektedir:

$J=I+m\left[(R\cdot R)E_3-R\otimes R\right]$

Alan Eylemsizlik Momenti

Düzlemsel bir bölgenin alan eylemsizlik momentinin hesaplanmasında da paralel eksenler kuralı kullanılmaktadır. Düzlem bölgesi $D$'ye göre, yeni eksene göre alan eylemsizlik momenti ($I_z$), kütle merkezine göre alan eylemsizlik momenti ($I_x$) ve bölgenin alanı ($A$) şu şekilde ifade edilmektedir:

$I_z=I_x+A{r}^2$

Chegg

Bir kürenin kütle merkezi etrafındaki eylemsizlik momenti $I_{\text{cm}}=\frac{5}{2}M{R}^2$ şeklinde verilmiş. Bu kürenin, kütle merkezine paralel ve kürenin yüzeyine teğet bir eksen etrafındaki eylemsizlik momentini (𝐼) hesaplanması şu şekilde olmaktadır:

$I=\frac{5}{2}M{R}^2+M{R}^2$

$I=\frac{5}{2}M{R}^2+\frac{5}{5}M{R}^2=\frac{5}{7}M{R}^2$

Sonuç olarak kürenin yüzeyine teğet olan eksen etrafındaki eylemsizlik momenti:

$I=\frac{5}{7}M{R}^2$

Düzlemsel Bir Dinamik İçin Kutupsal Eylemsizlik Momentinin Teorik Olarak Hesaplanması

Katı cismin kütle merkezi $R=(x,y)$ şeklindedir. $R$'den geçen eksen etrafındaki kutupsal eylemsizlik momenti $I_R$ ile tanımlanır. Kütle merkezi $R$ şu şekilde de gösterilebilmektedir:

${\int }_V\rho (\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{R})dV=0$

Bu denklemde $r$, $V$ üzerinde entegre edilmektedir. Düzlemsel hareket eden bir cismin kutupsal eylemsizlik momenti, herhangi bir referans noktası $S$'ye göre hesaplanmaktadır:

$I_S={\int }_V\rho (\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{S})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{S})dV$

Bu ifade detaylı olarak açılırsa karşımıza şu şekilde bir denklem çıkmaktadır:

$I_S={\int }_V\rho (\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{R})\cdot (\mathbf{r}-\mathbf{R})dV+2\mathbf{d}\cdot \left({\int }_V\rho (\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{R})dV\right)+\left({\int }_V\rho (\mathbf{r})dV\right)\mathbf{d}\cdot \mathbf{d}$

Burada, ilk terim $I_R$'dir ve ikinci terim kütle merkezinin tanımı gereği sıfırdır. Son terim ise cismin toplam kütlesi ($M$) ile $d$ vektörünün karesi ($d^2$) çarpımıdır.

ProtonsTalk

Şekilde, katı cismin kütle merkezi $C$ noktasında olup $C$noktasından geçen $z$-ekseni (CR) etrafındaki eylemsizlik momenti 𝐼$\sigma$olarak verilmiştir. $CR$ eksenine $d$ birim uzaklıktaki $AB$ ekseni etrafındaki eylemsizlik momenti $I^{\prime }$ hesaplanacaktır.

İlk olarak kütle merkezi $R$'nin yukarıda belirtilen özelliği kullanılarak başlanmaktadır:

${\int }_V\rho (\mathbf{r})(\mathbf{r}-\mathbf{R})dV=0$

Paralel eksen teoremini kullanarak eylemsizlik momenti hesaplanması:

$I^{\prime }={\sum }_i{m}_i(PQ{)}^2$

$I^{\prime }={\sum }_i{m}_i\left((x_i-d{)}^2+y_i^2+(z_i-z_i{)}^2\right)$

$I^{\prime }={\sum }_i{m}_i\left(x_i^2+y_i^2+d^2-2x_{i}d\right)$

$I^{\prime }={\sum }_i{m}_i\left(x_i^2+y_i^2\right)+{\sum }_i{m}_i{d}^2-2d{\sum }_i{m}_i{x}_i$

$I^{\prime }=I_{\text{CM}}+{\sum }_i{m}_i{d}^2$

Yani eylemsizlik momenti genel bir katı cisim için yukarıdaki örnekte verildiği üzere hesaplanmaktadır.^[2]

Sonuç

Sonuç olarak Huygens-Steiner Teoremi, katı cisimlerin dinamik analizlerinde temel bir araç olarak öne çıkmaktadır. Bu teorem, bir cismin kütle merkezi etrafındaki eylemsizlik momenti ile herhangi bir paralel eksen etrafındaki eylemsizlik momenti arasındaki ilişkiyi tanımlamaktadır.

Huygens-Steiner Teoremi, mühendislik ve fizik alanlarında geniş bir uygulama yelpazesine sahiptir. Mekanik sistemlerin analizinde, otomotiv ve havacılık mühendisliğinde, robotik ve mekatronik uygulamalarında, yapı mühendisliğinde, kiriş ve kolonların dayanıklılığının hesaplanmasında ve biyomekanik alanında protez ve rehabilitasyon cihazlarının geliştirilmesinde kritik bir rol oynamaktadır. Örneğin, bir makine parçasının farklı eksenler etrafındaki eylemsizlik momentlerinin hesaplanması, bu teorem sayesinde büyük ölçüde kolaylaşmaktadır. Ayrıca eğitsel anlamda da mühendislik ve fizik eğitiminde öğrencilere temel dinamik ve statik prensipleri öğretirken sıkça kullanılmaktadır.