E=mc² Formülü Nereden Geliyor? Einstein'ın En Meşhur Formülü Nasıl Türetilir?

$E=m{c}^2$ şeklinde ifade edilen kütle-enerji denkliği, Albert Einstein'ın görelilik kuramındaki en etkili fizik ilkelerinden biridir. Bununla birlikte genel halk, bu denklemi az çok biliyor ve duymuş olmasına rağmen, bu denkliğin tam olarak ne anlama geldiği ve nereden türetildiği pek iyi anlayamamaktadır. Sorun, bilim insanlarının ve bilim iletişimcileri olarak, bilgiyi halk için daha anlaşılır bir şekilde ortaya koyma işini yeterince düzgün yapamamış olmamızdan kaynaklanıyor olabilir.

Bu makalede, kütle-enerji denkleminin basit türetimlerini göstereceğiz. Bunu yaparken, bir yandan da bazı görelilik kavramlarını basit, ilginç ve lise düzeyinde bile kolayca anlaşılabilir bir şekilde anlatacağız ve genel halk için erişilebilir hale getirmeye çalışacağız. Yazı boyunca yer vereceğimiz bilgiler sayesinde, Newton fiziğinde nerede yanıldığımızı öğrenecek ve Einstein'ın evrenimizi daha derinden anlamamıza yol açan ve dolayısıyla modern fiziği farklı bir düzeye taşıyan çalışmasını daha iyi bir şekilde takdir edebileceksiniz.

E=mc²'nin En Basit Türetimi

Maxwell'in elektromanyetik denklemleri ile, ışığın sabit bir hızla ($c\approx 3\cdot 10^{8}m/s$) hareket ettiği kanıtlanmıştır ve bu, sayısız deney ve gözlemle doğrulanmıştır. Işık hızı, elektromanyetik dalgaların veya fotonların momentumu $p$ ve enerji seviyesi $E$ ile orantılıdır:

$p=E/c$

veya

$E=pc$

Hepimizin lise derslerinden aşina olduğu Newton fiziğinde, bir cismin momentumu ($p$), o cismin hızı ($v$) ve kütlesiyle ($m$) aşağıdaki gibi ilişkilidir:

$p=mv$

Söz konusu fotonlar olduğunda, hız her zaman ışık hızına eşit olduğundan, yukarıdaki denklemi şöyle değiştirebiliriz:

$p=mc$

Şimdi, bu momentum denklemini, en baştaki enerji denkleminde yerine yazacak olursak, o meşhur kütle-enerji denkliğini elde ederiz:

$$\begin{gathered} E=pc \\ E=(mc)c \end{gathered}$$

Yani:

$E=m{c}^2$

Çok basit, değil mi?

Ama bu noktada hemen kafanıza şu soru takılmalı: Fotonların kütlesi yoktur! Dolayısıyla $E=m{c}^2$ denklemi bir foton için sıfır enerji vermelidir; halbuki her bir fotonun enerjisi olduğunu biliyoruz.

Burada atladığımız bir nokta, momentum tanımını Newton fiziğine göre yapmış olmamızdır. İnsanlar, bir fotonun kütlesiz olmasından bahsederken, genellikle $m_0$ olarak ifade edilen durağan/değişmez kütleden bahsetmektedirler. Bu, Newton'un da kastettiği kütledir. Ancak yukarıdaki denklemlerdeki kütle, göreli kütleye atıfta bulunmaktadır. Bu ikisi arasındaki farkı daha derinlemesine öğrenmek isterseniz, buradaki yazımızı okuyabilirsiniz.

Özetle, bir fotonun hareketsiz kütlesi yoktur; çünkü hareketsiz foton diye bir şey yoktur. Buna karşılık, fotonun göreli kütleye sahip olduğunu söyleyebiliriz. Gündelik yaşamda aşina olduğumuz, ışık hızından çok ama çok daha yavaş hareket eden nesneler için durağan kütle ile göreli kütle neredeyse birebir eşittir. Ancak ışık hızında giden fotonlar için bunun tam tersi geçerlidir: Durağan kütleleri sıfırken, bütün kütleleri göreli kütleden oluşur.

Eğer hala ikna olmadıysanız, son denklemi tekrar ispatlayalım.

Foton İçin Momentumun p=mc Olduğunun İspatı

Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, $\text{x}$ ekseninde uzay, $\text{t}$ ekseninde zaman olan, eylemsiz bir çerçevede duran bir lazer kaynağını düşünün. $t_1$ anında lazer kaynağı sağa doğru bir foton göndersin. Fotonlarda durağan kütle olmamasına rağmen, ışık basıncı olduğunu biliyoruz: Yani doğru şartları sağlayacak olursanız, fotonların düştüğü yerdeki cisimleri itebileceklerini (yani onlara basınç uyguladıklarını) biliyoruz. İnanılmaz küçük olsa bile ölçülebilir olan bu etkiyi, aşağıdaki videoda 05:44 noktasından itibaren kendi gözlerinizle görebilirsiniz:

Bu durum, fotonlarda gerçekten de momentum ve göreli kütle olduğunu göstermektedir.

Bu durumda, uzay boşluğunda fotonları saçan kaynak, $t_2$ anında gösterildiği gibi saçtığı fotonlardan uzaklaşacaktır; tıpkı arkasından alev püskürten bir roketin, püskürttüğü parçacıklardan zıt yöne doğru uzaklaşması gibi. Kalem, $\text{L}$ metre sola gittiğinde, ondan çok daha hafif olan fotonlar, orijinal konumundan $\text{l}$ metre sağa hareket edecektir:

Hem lazer kaynağının hem de fotonun kütle merkezi, başlangıçta $\text{C}$ konumundaydı ve bu merkez, şu şekilde hesaplanabilir:

$\text{Başlangıçtaki Ku¨tle Merkezi}=\frac{(M{X}_1+m{x}_1)}{(M+m)}$

Burada, $\text{M}$ ve $\text{m}$, sırasıyla foton kaynağının ve fotonun kütleleridir. $X_1$ ve $x_1$, foton kaynağı ve fotonun kütle merkezleridir.

Benzer şekilde, $t_2$ zamanında hem foton kaynağı hem de foton için yeni kütle merkezi şu şekilde hesaplanabilir:

$\text{Yeni Ku¨tle Merkezi}=\frac{(M{X}_2+m{x}_2)}{(M+m)}$

$=\frac{(M(X_1-L)+m(x_1+l)}{M+m}$

$=\frac{(M{X}_1-ML+m{x}_1+ml)}{M+m}$

Burada $X_2$ ve $x_2$, $t_2$ anında foton kaynağı ve foton için kütle merkezleridir. Dış kuvvet olmadığından, yeni ortak kütle merkezi de aynı $\text{C}$ konumunda olmalıdır. Bu nedenle, şu denklemi elde ederiz:

$\frac{(M{X}_1+m{x}_1)}{(M+m)}=\frac{(M{X}_1-ML+m{x}_1+ml)}{M+m}$

Bu denklemi şu şekilde sadeleştirebiliriz:

$ML=ml$

Her iki tarafı da $(t_2-t_1)$ ile bölecek olursak:

$\frac{ML}{(t_2-t_1)}=\frac{ml}{(t_2-t_1)}$

Foton kaynağımızın hızını $V=\frac{L}{(t_2-t_1)}$ olarak, fotonun hızınıysa $V=\frac{l}{(t_2-t_1)}$ olarak yazabiliriz. Bu durumda denklemimiz, şöyle basitleşecektir:

$MV=mv$

Bu denklem, momentumun korunumu yasasıyla aynıdır. Unutmayın ki $l$, fotonların $(t_2-t_1)$ süresi içinde hareket ettiği mesafedir. Dolayısıyla yukarıdaki $v$ hızı, aslında ışık hızı olan $c$ ile aynıdır. Bu nedenle denklem şöyle de yazılabilir:

$MV=mc$

Fotonun momentumu ($p_{\text{foton}}$) ve kaynağın momentumu ($p_{\text{kaynak}}$) da dahil olmak üzere, bu bağlamda ele aldığımız tüm momentum değerleri eşittir. Dolayısıyla tüm bunları birbirine şu şekilde bağlayabiliriz:

$p_{\text{foton}}=p_{\text{kaynak}}=MV=mc$

İşte burada sadece en baştaki ve en sondaki terimleri alırsak:

$p_{\text{foton}}=mc$

Bu denklem, ışığın momentumunun klasik Newton fiziğinden türetilebileceğini ispatlamaktadır. Dolayısıyla bir önceki kısımda yaptığımız türetim geçerlidir.

Şimdi, göreli foton kütlesinin etkilerini gösteren bir gözleme bakalım.

Foton Kütlesinin Varlığının İspatı

Işığın düz bir çizgide ilerlediği herkes için barizdir. Işığın bükülebileceğini hayal edebiliyor musunuz? Bu mümkün! Evet, Einstein'ın genel görelilik kuramında bu tür bir bükülme öngörülmüştür ve sonradan yapılan deneylerde de bizzat gözlenmiştir.

Gökbilimciler, gökyüzündeki yıldızların Güneş ve Dünya'ya göre konumlarını bilirler. Aşağıdaki konfigürasyonda gösterildiği gibi, Güneş'in diğer tarafında da belirli yıldızlar vardır. Bunlardan birinin ışığı düz bir çizgide ilerleseydi, Güneş tarafından engellenirdi ve bize asla ulaşamazdı; dolayısıyla Dünya'daki bir gözlemci yıldızdan gelen ışığı göremezdi. Bununla birlikte, Güneş'in tam arkasında kalan o yıldız, noktalı çizgi ile gösterildiği gibi bir yanılsama sayesinde, bir tutulma olayı sırasında net bir şekilde gözlendi:

Hepimizin bildiği gibi, ışığın belli bir enerjisi vardır ve bu enerji, şöyle ölçülür:

$E=hf$

Burada $h$, Planck sabiti, $f$ ise ışığın frekansıdır. Einstein'ın denklemini tersine çevirebiliriz:

$m=E/c^2$

Şimdi, $E$'nin yukarıda verdiğimiz değerini bu denkleme yerleştirirsek:

$m=\frac{hf}{c^2}$

Bu denklem, ışığın, Güneş'in yerçekimi ile çekilen ve Dünya'daki bir gözlemcinin Güneş'in ardında kalan bir yıldızdan gelen ışığı görmesini sağlayan bir kütlesi olduğunu gösterir.

Einstein, Genel Görelilik Teorisi'nde bu fenomeni farklı bir bakış açısıyla açıkladı: Kütleçekimi, etrafındaki uzayı büker ve ışık, kavisli uzayda en kısa yoldan gider. Bir kara deliğin civarındaki aşırı bir durumda, ışık kaçamayacağı düzeyde kara deliğe doğru kıvrılır. Bu nedenle bir kara deliği doğrudan göremeyiz; ancak yakındaki nesneler üzerindeki etkisini gözlemleyebiliriz.

Düzgün Cisimler İçin Sezgisel Bir İspat

Az önce, fotonlar için kütle-enerji denklemini kanıtladık. Şimdi, bir önceki türetmemizdeki lazer kaynağının perspektifinden, fotonun kaynağından aldığı enerji miktarıyla aynı miktarda enerjiyi ($E$) kaybettiğini düşünün. Böylece, enerji kaybı şöyle bulunur:

$E_{\text{kayıp}}=m{c}^2$

Veya denklemi tersine çevirirsek, kaybedilen kütleyi de bulabiliriz:

$m_{\text{kayıp}}=\frac{E_{\text{kayıp}}}{c^2}$

Einstein'ın 1905'te kanıtlamaya çalıştığı şey, işte tam olarak buydu. Ancak, onun mantığını takip etmek, matematikten çok iyi anlamayan birçok insan için epey zordur. Ne var ki buraya kadar yaptığımız türetmeler, durağan kütleye sahip düzenli cisimler için kütle-enerji denkleminin geçerliliğinin doğrudan kanıtını sağlamamıştır. Bu sorunu çözmemiz gerekiyor. Biz, burada, aşırı düzeyde matematiğe girmeden, sezgisel bir türetme sağlamaya çalışacağız.

En basit momentum-hız denklemimizi tekrar yazalım:

$p=mv$

Şimdi, bunun zamana göre türevini alalım:

$\frac{dp}{dt}=\frac{d(mv)}{dt}$

Newton fiziğinde kütlenin zamana göre değişmediği varsayılır. Bu durumda:

$\frac{d(mv)}{dt}=m\frac{dv}{dt}$

Hızın zamana göre türevi, ivmeye eşittir ($\frac{dv}{dt}=a$). Kütle ile ivmenin çarpımı da kuvvete eşittir ($F=ma$). Dolayısıyla:

$\frac{d(mv)}{dt}=ma=F$

Denklemin sağ kısmı, Newton'un ikinci yasasıdır. Ancak bu yasa, kütlenin artık değişmez olmadığı, ışık hızına yakın hızlarda sorun yaratmaya başlayacaktır (çünkü türetiminde varsaydığımız "kütlenin değişmezliği" varsayımı hatalı olacaktır).

Şimdilik, yukarıdaki denklemi düzenleyerek, ikinci yasayı "uygulanan kuvvet nedeniyle momentumun artması" olarak yeniden tanımlayalım:

$F=\frac{dp}{dt}=\frac{d(mv)}{dt}$

Bu tanım, hem Newtoncu hem de göreli fizikte tutarlı bir şekilde çalışır, çünkü kütleyi zamana göre değişir biçimde tanımlayabiliriz. Eğer bunu yaparsak, her ikisi de zamana göre değişen parametrelerin bir çarpımının ($mv$) türevini alıyoruz demektir. Bu da kalkülüste zincir kuralıyla yapılmalıdır:

$F=\frac{d(mv)}{dt}=m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt}$

Burada birinci terim, Newton yasasının klasik kısmı iken, ikinci terim uygulanan kuvvet nedeniyle kazanılan kütleyi gösterir (ve sadece görelilikte karşımıza çıkar).

Burada sistemin kazandığı enerji, $F$ kuvvetinin $S$ nedeniyle yaptığı iş olarak tanımlanır:

$d{E}_g=FdS$

Bir önceki denklemi burada yerine yazarsak:

$d{E}_g=v(m\frac{dv}{dt}+v\frac{dm}{dt})$

Dağıtırsak:

$d{E}_g=mv\frac{dv}{dt}+v^2\frac{dm}{dt}$

Bunu şu şekilde de sadeleştirebiliriz:

$d{E}_g=\frac{1}{2}m(dv{)}^2+v^2(dm)$

Terimler birazcık tanıdık gelmeye başladı mı? Eğer çok düşük hızlarda gidiliyorsa, en sağdaki terimdeki $dm$ değerinin pratik olarak değişmediğini (yani sıfır olduğunu) varsayabiliriz. Dolayısıyla bu düşük hızlarda, lise fiziğinden bildiğimiz kinetik enerji denklemini elde ederiz:

$E_g=E_k=\frac{1}{2}m{v}^2$

Ancak yüksek hızlarda, mesela $v=c$ olduğunda, artık hızda daha fazla artış sağlanamaz (çünkü hiçbir cisim ışık hızını aşamaz). Dolayısıyla $dv=0$ olur. Bu durumda denklemimiz şöyle sadeleşir:

$d{E}_g=c^{2}dm$

Her iki tarafın da integralini alırsak, enerji kazancını şu şekilde elde ederiz:

$E_g=(m-m_0)c^2=m{c}^2-m_0{c}^2$

Veya:

$E=m{c}^2=E_g+m_0{c}^2$

Burada $m_0$ durağan kütledir. $m_0{c}^2$, cismin durgun enerjisini temsil eder. Bu son denklem, kütle-enerji denklemini, kalan enerjiyi toplam enerjiden ayıran bir terimle ifade etmenin sadece farklı bir yoludur.

$d{E}_g=\frac{1}{2}m(dv{)}^2+v^2(dm)$ denklemiyle, uygulanan kuvvetin cismin enerji kazanımına iki kısımda katkıda bulunduğunu belirleyebiliriz: Çoğunlukla düşük hızlarda hız ivmesinden kaynaklanan kinetik enerji ve öncelikle yüksek hızlarda kütle artışı... Newton yasaları düşük hızlarda geçerli olan bir görelilik yaklaşımından ibarettir. Newton yasaları, özellikle de yüksek hızlardaki fizik süreçlerini tanımlamak için kullanılamazlar. Einstein'ın teorilerinden gelen göreli fizik, bu sorunları düzeltir ve evrensel olarak çalışır.

İleri Düzeyde İspat

Buraya kadar bir düzey kalkülüs kullanmış olsak da, ara bazı basamakları atlamıştık. Şimdi, daha ileri düzeyde bir ispatla eksikleri giderelim. Bu kısmın matematik bilmeyenler için biraz daha ağır olacağı konusunda uyarmak isteriz.

İspatımıza, enerjinin mesafeye göre kuvvetin integrali olduğunu hatırlatarak başlıyoruz. Bu nedenle kinetik enerji ($K$) şu şekilde tanımlanabilir:

$K={\int }_0^{s}Fds$

Burada $F$, yer değiştirmenin olduğu yönde uygulanan kuvvet, $ds$ ve $s$ ise kuvvetin uygulandığı yönde kat edilen mesafedir.

Newton'un ikinci hareket yasasını kullanarak, kuvveti şöyle gösterebiliriz:

$F=\frac{d(mv)}{dt}$

Dolayısıyla kinetik enerji denklemi şu şekilde genişletilebilir:

$K={\int }_0^s\frac{d(mv)}{dt}ds$

Veya:

$={\int }_0^{mv}vd(mv)$

Veya:

$={\int }_0^{v}vd[\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}]$

Hız limitinin $c$ (ışık hızı) olduğuna dikkat edin. $c$'de zaman genişlemesi %100 olur ve hareket yönündeki mesafeler sıfıra yakınsar, dolayısıyla bu hızdaki bir cisim zaman veya mesafe deneyimlemeyecektir ve bu nedenle hızı üst sınır olarak ayarlanmıştır.

Şimdi, parçalara göre integral alıyoruz:

$\int xdy=xy-\int ydx$

Adım adım takip edersek:

$K=\frac{m_0{v}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-m_0{\int }_0^v\frac{vdv}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$

Veya:

$=\frac{m_0{v}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-[m_0{c}^2\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-v^2/c^2}}{]}_0^v$

Veya:

$=\frac{m_0{v}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-m_0{c}^2$

Son olarak:

$=m{c}^2-m_0{c}^2$

Sonuç, bir cismin kinetik enerjisinin, $c^2$ ile çarpılan göreli hareketinin bir sonucu olarak kütlesindeki artışa eşit olduğunu gösterir. Bu, şöyle yeniden düzenlenebilir:

$m{c}^2=m_0{c}^2+K$

Eğer kinetik enerji, $K=0$ olacak şekilde azaltılırsa, cisim durağan olacaktır; ancak yine de $m_0{c}^2$ enerjisine sahip olacaktır. Başka bir deyişle, bir cisim, çerçevesine göre hareketsiz olduğunda $E_0$ enerjisi içerir ve $m_0$ kütlesine sahiptir. Buna, durağan kütle denir. Bu şu şekilde gösterilir:

$E=E_0+K$

Bu denklemde:

$E_0=m_0{c}^2$

şeklinde tanımlanır. Daha aşina olunan formülüyle:

$\boxed{E=m{c}^2}$

İşte bu, durgun bir haldeki kütleler için $E=m{c}^2$ türetimini tamamlar.

Hareket eden bir cisim içinse toplam enerji şöyle hesaplanır:

$\boxed{E=m{c}^2=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}$