Durağan Kütle ve Göreli Kütle: Özel Görelilikte Kütle Kavramı Nasıl Tanımlanır?

Newton fiziğinde kütleyi nasıl ele aldığımızdan daha önce bahsetmiştik. Newton fiziği, her ne kadar günlük hayatımızda işimize yarasa da ışık hızına yaklaştıkça yanlış tahminlerde bulunmaktadır. Bu tarz durumlarda, Newton fiziğinin çok daha genel bir hali olan özel görelilik teorisini kullanmamız gerekir.

Özel Görelilik Teorisi Nedir?

Özel görelilik teorisi, 1905 yılında Einstein tarafından ortaya atıldığında uzay ve zaman anlayışımız üzerinde devrimsel bir değişim yarattı. Uzay ve zaman dediğimiz kavramların, sezgilerimizin bize söylediğinin aksine, değişmeyen mutlak şeyler olarak değil; ama farklı hızlardaki gözlemciler tarafından farklı ölçülen kavramlar olduğu ortaya çıktı. Dahası görelilik, sadece uzay ve zaman hakkındaki sezgilerimizin değil, ama aynı zamanda kütle hakkındaki sezgilerimizin de yanlış olduğunu bize gösterdi.

Özel görelilik, ismi sanki sadece spesifik gözlemciler için geçerliymiş gibi bir izlenim verse de, aslında temelde her eylemsiz gözlemci için mutlak olan şeyler üzerine kuruludur. Bunlardan ilki, ışık hızıdır. Işık hızı her eylemsiz gözlemci için aynıdır. Yani siz yolda dururken el feneri yakarsanız siz de, yolda hızla giden araçtaki şoför de hatta Dünya'ya göre ışık hızına yakın hızda giden bir uzaylı da el fenerinizden çıkan ışığın hızını aynı ölçecektir.

Elbette burada kastettiğimiz, ışığın boşluktaki hızıdır, ışığın belli bir ortamda A noktasından B noktasına gidene kadar, birim zamanda ne kadar yol kat ettiği değil; çünkü ışık içerisinde bulunduğu ortama göre yavaşlayabilir. Aslında burada ışık, gerçek anlamıyla yavaşlamamaktadır; daha ziyade, maddeyi oluşturan atomlarla etkileştiği için ve bu etkileşimler de zaman aldığı için, ışık maddenin içinden geçene kadar zaman kaybeder. Aslında iki atom arasındaki "boşlukta" da ışık, sabit ışık hızıyla hareket eder. Ancak dışarıdan bakan bizler için, sanki ışık yavaşlamış gibi gözükür; çünkü o sırada ışık, bizim belirlediğimiz A noktasından B noktasına gidene kadar birçok atomla etkileşmek zorunda kalmaktadır. Özel görelilik, ışığın boşlukta, yani en hızlı olduğu durumdaki hızı ile ilgilidir.

Devasa gök cisimlerinin birbiriyle etkileşimi sırasında oluştuğu bilinen kütleçekim dalgaları da ışık hızında yayılırlar, eğer kütle çekim dalgalarının hızı, ışığın hızından çok daha önce ölçülmüş olsaydı, bu hıza (yani her eylemsiz gözlemci için sabit olan hıza) belki de "kütleçekim hızı" diyecektik.

İkinci mutlak olan şey ise fizik yasalarıdır. Fizik yasalarını, Evren'de olup biten olayların nasıl sonuçlanacağını hesaplamak ve öngörmek için kullandığımız formüller olarak düşünebilirsiniz. Bir topun nereye, hangi hızla, ne kadar sürede düşeceği veya belirli bir elektromanyetik alanda bulunan parçacığın nasıl yol çizeceği örnek olarak verilebilir. Elbette bu olayları pek çok farklı gözlem çerçevesinde ölçebiliriz. Örneğin sabit hızla giden bir araba içerisinde iken bir topu dik bir şekilde yukarı attığımızda topun aynı yere düştüğünü gözlemleriz. Öte yandan, yolda duran birisi top içerisindeki insanlar ve araba ile beraber hareket ettiği için arabanın gittiği yöne doğru parabol çizdiğini görecektir.

Bu nedenle fizik yasalarını formüller ile ifade ederken her gözlemci için geçerli olacak şekilde yazılır, böylece her gözlemci fiziki olayları doğru bir şekilde aynı formüller ile hesaplayabilir. Buna Galileo İlkesi denir. Galileo, bu ilkeden iki kişinin Dünya'nın dönüp dönmediği üzerine tartışmasını konu alan İki Büyük Dünya Sistemi Hakkında Diyalog kitabında bahseder. Verdiği örnekte, sabit hızla giden bir geminin içerisinde, dışarıyı görmeyen bir yerde giden bir kişinin geminin hareketsiz mi olduğunu yoksa sabit hızda mı gittiğini asla ayırt edemeyeceğini söyler; çünkü fizik yasaları her iki durumda da aynı şekilde işler. Aynı şekilde siz de sabit hızla giden bir araba içerisindeyseniz dışarıya bakmadığınız veya motorun, tekerleğin sesini duymadığınız sürece, arabanın gidip gitmediğini anlayamazsınız.

Newton fiziğinde üç uzay yönü için üç elemanlı vektörlerimiz vardır: kuvvet, momentum, hız, konum buna örnek gösterilebilir. Fizik yasalarını da bu vektörleri kullanarak ifade ederiz. Öte yandan özel görelilikte, uzay ve zamanın mutlak olmadığını söylemiştik. İşte tam da bu nedenle, fizik yasalarını her eylemsiz gözlemci için geçerli olacak şekilde yazabilmemiz için, hem üç uzay boyutunu ve hem de zamanı ele alan dört elemanlı vektörleri kullanmamız gereklidir.

Kütle-Enerji İlişkisi

Newton fiziğinde bir sistem üzerinde net kuvvet olmadığı zaman momentumun korunduğunu biliyoruz. Özel görelilikte bu korunum yasasını ifade edebilmek, Newton fiziğinde bildiğimiz 3 uzay yönüne sahip momentumdan farklı olarak 4-momentum adını verdiğimiz 3 uzay ve 1 zaman elemanı olan momentumu kullanmamız gereklidir.

4-momentum vektörünü, 4-hız vektörünü $m$ olarak gösterdiğimiz her eylemsiz referans sistemi için aynı değeri olan, cisimlerin içsel olarak sahip olduğunu varsaydığımız bir terim ile çarparak elde ederiz. Bu terimden daha sonrasında neden kütle olarak bahsettiğimizi açıklayacağız. 4-momentum vektörümüzün üç uzay elemanı aşağıdaki şekilde ifade edilir:

$\mathbf{p}=\genfrac{}{}{0ex}{}{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\genfrac{}{}{0ex}{}{v^2}{c^2}}}=m\mathbf{v}\left(1+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{v}{c}\right)}^2+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{8}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{v}{c}\right)}^4+...\right)\approx m\mathbf{v}$

Bu, şu anlama gelir: Çarpışmalar ve diğer etkileşimlerde korunan şey, Newton fiziğinin bize söylediğinin aksine $m\mathbf{v}$ değil; $\genfrac{}{}{0ex}{}{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\genfrac{}{}{0ex}{}{v^2}{c^2}}}$ terimidir. $\mathbf{p}$'nin Newton fiziğinde bildiğimiz momentumun genelleştirilmiş hâli olduğunu söyleyebiliriz; çünkü momentum ile aynı birime sahiptir (kütle x metre/saniye) ve korunan bir büyüklüktür.

Ancak ışık hızına kıyasla çok düşük hızları göz önünde bulundurursak (yani $\genfrac{}{}{0ex}{}{v}{c}\approx 0$ alırsak) bu terim Newton fiziğinde bildiğimiz $m\mathbf{v}$ terimine yakınsar. O halde $m$'nin de Newton fiziğinde "kütle" dediğimiz şeye karşılık geldiğini söylemek doğrudur. Tam da bu sebepten dolayı Newton fiziği, düşük hızlarda çok iyi tahminlerde bulunur; çünkü Newton fiziğinin içinde olmayan terimler, ihmal edebileceğimiz kadar düşük seviyede katkıda bulunur.

Yukarıda, 4-momentum vektörümüzün üç uzay elemanından bahsettik; ancak vektörümüzün bir de zaman elemanı bulunmaktadır. Bu eleman da aşağıdaki şekilde ifade edilir:

$p^0=\genfrac{}{}{0ex}{}{mc}{\sqrt{1-\genfrac{}{}{0ex}{}{v^2}{c^2}}}$

4-momentumun korunumundan ötürü, bu değer de net kuvvet yokken korunmalıdır. Bundan yola çıkarak "$p^0$ olarak ifade ettiğimiz şeyin fiziksel karşılığı nedir?", "Neden korunuyor? Görelilik momentumun yanında yeni bir korunum yasası mı ortaya atıyor?" gibi sorular sormak mümkündür. Bu soruları cevaplandırmak için, yukarıda tanımladığımız momentum denkleminden kinetik enerji denklemini hesaplarsak aşağıdaki formülü buluruz.

$K=\int \mathbf{v}\cdot d\mathbf{p}=\genfrac{}{}{0ex}{}{m{c}^2}{\sqrt{1-\genfrac{}{}{0ex}{}{v^2}{c^2}}}-m{c}^2$

Çok düşük hızlarda bu denklem, Newton fiziğinde bildiğimiz kinetik enerji terimine yakınsar. $p^0$'ı, $c$ ile çarpıp elde ettiğimiz formüle, kinetik enerji olan $K$'yi katarsak, aşağıdaki denklemi elde ederiz.

$p^{0}c=m{c}^2+K$

Newton fiziğinde net kuvvet uygulanmadığı zaman cismin kinetik enerjisi korunur; öte yandan Özel görelilikte $p^0$ ve dolayısıyla, $p^{0}c$ korunur. O halde $p^{0}c$'nin "kinetik enerjinin genelleştirilmiş bir hali olduğunu", yani cismin enerjisini ifade ettiğini düşünebiliriz. Dolayısıyla, bu terimin korunması, aslında enerjinin korunumu yasasını ifade eder.

$E:=p^{0}c=\genfrac{}{}{0ex}{}{m{c}^2}{\sqrt{1-\genfrac{}{}{0ex}{}{v^2}{c^2}}}$

Bu bize, 4-momentumun korunumu yasasının tek başına hem momentum korunumunu hem de enerji korunumunu ifade ettiğini söyler.

Ancak gözümüze başka bir terim göze çarpar: $m{c}^2$. Bu denkleme göre cismin sadece kinetik enerjisi yoktur; fakat durağan haldeyken kütlesinden dolayı sahip olduğu $m{c}^2$'ye eşit olan bir enerjisi vardır.

$E_0=m{c}^2$

Voilà!

Dikkat ederseniz, denklemin sol tarafına enerji $E$'yi değil ama cismin durağan iken sahip olduğu durağan enerji (İng: "rest energy") adı verilen $E_0$'ı koyduk; çünkü cismin toplam enerjisi olan $E$, cisim ancak durağan haldeyken kütlesine eşittir; çünkü cismin bütün enerjinin sadece kütleden gelmez, aynı zamanda kinetik enerjisinden de gelir. Örneğin fotonlar kütlesiz oldukları halde sahip oldukları momentumdan dolayı enerjileri vardır.

Bu nedenle kütle ve enerjinin birbirine denk olduğunu söylemek yanlıştır. Kütlenin tanımını şu şekilde yapabiliriz: Bir cismin kütlesi, cismin durağan halde olduğu bir referans sisteminde ölçüldüğü enerjisidir. Diğer bir ifadeyle cismin durağan haldeyken sahip olduğu enerjisidir.

Bu sebepten dolayı proton, iki yukarı ve bir aşağı kuarktan oluştuğu halde, kuarkların toplam kütlesi protonun kütlesinin %1'i kadardır. Protonun kütlesinin %99'u kuarkları bir arada tutan güçlü kuvvettin enerjisinden gelir. Yine aynı sebepten dolayı Higgs alanı temel parçacıkların kütlesinden sorumlu olsa da, kütlenizin büyük bir kısmı Higgs alanından değil, parçacıkların arasındaki etkileşimlerin enerjisinden gelir.

Enerji için verebileceğimiz başka bir denklem de şudur:

$E^2=(m{c}^2{)}^2+(pc{)}^2$

Bu durumda, yukarıda da yaptığımız gibi, durağan nesneler için $p=0$ aldığımızda, meşhur $E=m{c}^2$ denklemini elde ederiz. Öte yandan foton gibi kütlesiz cisimler için $m=0$ alırsak, fotonlar için enerjinin $E=pc$ olduğunu görürüz. Kütlenin tanımını düşündüğümüzde fotonların kütleye sahip olmaması kulağa daha yatkın gelir; çünkü fotonun hızı her eylemsiz referans sisteminde ışık hızı olduğu için fotonun durağan halde olduğu bir referans sistemi ve dolayısıyla kütlesi yoktur.

Kütlenin enerji olduğunu söylememizin bir başka nedeni de, başka enerji türlerine dönüşebilmesidir. Örneğin elektron kendi anti parçacığı olan pozitron ile bir araya geldiği zaman çoğunlukla iki fotona dönüşürler. Her ne kadar iki fotonun kütlesi olmasa da elektron ve pozitronun kütleleri, oluşan fotonların enerjisine katkı sağlar.

Göreli Kütle Kavramı

Görelilik üzerine daha önceden bilginiz varsa burada mm olarak gösterdiğimiz kütlenin aslında durağan kütle (İng: "rest mass") olduğunı; fakat göreli kütlenin (İng: "relative mass") cismin bütün enerjisinden sorumlu olduğu ve fotonların göreli kütleye sahip olduğunu söyleyebilirsiniz. Ancak aşağıda açıkladığımız nedenlerden dolayı göreli kütle kavramı, günümüz akademik camiasında kullanılmamaktadır!

Göreli kütle aşağıda verildiği şekilde tanımlanır.

$m_{rel}:=\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{\sqrt{1-\genfrac{}{}{0ex}{}{v^2}{c^2}}}$

Bu terimle, görelilik üzerine yazılmış eski kitaplarda ve Richard Feynman'ın popüler fizik kitaplarında karşılaşmış olmanız muhtemeldir. Göreli kütle, cismin sahip olduğu hıza bağlıdır; cisim durağan iken durağan kütle ile aynı değere sahiptir ve ışık hızına yaklaştıkça değeri de sonsuza yakınsar. Daha önce yazdığımız enerji ve momentum terimlerini göreli kütle açısından aşağıdaki denklemler ile ifade edebiliriz.

$E=m_{rel}{c}^2$

$\mathbf{p}=m_{rel}\mathbf{v}$

Bir anlamda bunlar, Newton fiziğinde bildiğimiz kütle yerine, göreli kütleyi yazdığımızda elde edeceğimiz denkliklerdir. Bundan ötürü göreli kütlenin, Newton fiziğinde bildiğimiz kütlenin genelleştirilmiş hali olduğu düşüncesine kapılabiliriz. Bunun yanı sıra kütleli bir cisim ışık hızına yaklaştıkça onu ivmelendirmek için daha fazla kuvvet uygulamamızın gerekli olmasından ötürü kütlenin eylemsizlik ile ilişkili olduğunu düşündüğümüzde, hıza bağlı olarak artması kulağa mantıklı gelmektedir. Ancak denklemler ile ifade etmeye kalkıştığımızda önemli bir sıkıntı karşımıza çıkar. Newton fiziğinden bildiğimiz $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ denkleminin özel görelilikte karşılığı aşağıdaki gibidir.

$\mathbf{F}=\genfrac{}{}{0ex}{}{m{\mathbf{a}}_{\parallel }}{{\left(\sqrt{1-\genfrac{}{}{0ex}{}{v^2}{c^2}}\right)}^3}+\genfrac{}{}{0ex}{}{m{\mathbf{a}}_{\perp }}{\sqrt{1-\genfrac{}{}{0ex}{}{v^2}{c^2}}}$

${\mathbf{a}}_{\parallel }$, cismin gittiği hız yönündeki ivmesini gösterirken; ${\mathbf{a}}_{\perp }$, hızına dik yöndeki ivmesini ifade eder.

Bu denkleme göre cisim, ivmelenmeye üzerine etkiyen net kuvvetin yönüne göre farklı direnç gösterir. Gittiği yönde ivmelenmeye gösterdiği dirence boyuna kütle (İng: "longutidunal mass") ve gittiği yönün dik yönünde ivmelenmeye gösterdiği dirence enine kütle (İng: "transverse mass") denir. Her ikisi de ışık hızına yaklaştıkça sonsuza yakınsasalar da boyuna kütle, enine kütleden çok daha çabuk artar. Dolayısıyla kütleyi, kuvvet altında cismin ivmelenmeye gösterdiği direnç olarak tanımlasak bile, bu göreli kütleden bahsetmemizi geçerli kılmaz; çünkü cismin gösterdiği direnç yöne bağlı olduğundan, yöne bağlı kütle tanımı yapmamız gereklidir.

Einstein'ın kendisi de bu kavramdan hoşlanmadığını Life Magazine dergisinin editörü Lincoln Barret'a yazdığı mektupta şu şekilde ifade etmiştir:

Net bir tanım veremeyeceğimiz $M=\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{\sqrt{1-\genfrac{}{}{0ex}{}{v^2}{c^2}}}$ kütle kavramını ortaya atmak iyi değildir. Durağan kütle $m$ dışında başka bir kütle ortaya atmamak daha uygundur. $M$ yerine hareket halinde olan cismin momentum ve enerjisini nasıl ifade ettiğimizden bahsetmek daha uygundur.

Birden Fazla Cismin Toplam Kütlesi

Tek bir cismi düşündüğümüzde cismin hızı, kütlesine herhangi bir katkıda sunmaz. Ancak Newton fiziğinden farklı olarak birden fazla cismin toplam kütlesini ele aldığımızda cisimlerin sahip olduğu hız ve dolayısıyla momentumları cisimlerin toplam kütlesini etkiler.

Kütlenin görelilikteki tanımının, cismin durağan halde iken sahip olduğu enerji olduğunu söylemiştik. Ancak tek bir cisim olarak ele aldığımız şeyler, en temelde pek çok alt cismi içinde barındırıyor olabilir. Makroskopik nesneler atomlardan oluşurken; atomlar proton, nötron ve elektrondan oluşur; proton ve nötron da kuarklarına ayrılabilir. Bu yüzden bir cismin durağan olduğunu söylerken neyi kastettiğimizi anlamak önemlidir; zira onu oluşutran alt cisimler hareket ediyor olabilirler.

Fizikte bir sistemin durağan olduğunu söylemek, onu oluşturan alt sistemlerinin toplam momentumunun 0 (sıfır) olduğunu söylemektir. Bir elmayı oluşturan atomlar hareket ediyor olmalarına rağmen atomların toplam momentumu birbirini götürdüğü için elmayı hareketsiz olarak ele alabiliriz. Öte yandan atomların hepsi tek bir yönde momentuma sahip olsaydı, atomlar ve dolayısıyla onların oluşturduğu elma da o yönde hareket edeceği için elmanın durağan olduğunu söylemezdik. Bu yüzden birden fazla cismi ele aldığımızda cisimlerin toplam kütlesi, cisimlerin toplam momentumunun sıfır olduğu referans sisteminde ölçüldüğü enerjisidir diyebiliriz.

Bu tanım, her ne kadar sezgisel görünse de, ilginç sonuçları vardır. Yukarıda fotonun kütlesi olmadığını çünkü fotonun durağan olduğu bir referans sisteminden bahsedemeyeceğimizi söylemiştik. Ancak iki veya daha fazla fotonu ele aldığımızda fotonların kendisi kütleye sahip olmasa da iki fotonu oluşturan sistemin kütlesi sıfır olabilir çünkü fotonların toplam momentumu sıfır olabilir.

$m_1$ ve $m_2$ kütleli iki cismin toplam kütlesi $m_{tot}$ aşağıdaki formül ile belirlenir.

$(m_{tot}c{)}^2=(m_{1}c{)}^2+(m_{2}c{)}^2+2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{E_1{E}_2}{c^2}-{\mathbf{p}}_1\cdot {\mathbf{p}}_2\right)$

Bu iki cismin foton $\left(m_1=m_2=0\right)$ olduğunu düşünürsek

$(m_{tot}c{)}^2=2p_1{p}_2\left(1-\cos \theta \right)$

$\theta$, iki fotonun gittiği yönler arasındaki açıdır. O halde formülden görebileceğimiz üzere iki foton aynı yönde gidiyorsa $\left(\theta =0\right)$ toplam kütle sıfırdır fakat paralel yönde gitmeyen iki kütlesiz fotonun oluşturduğu sistemin kütlesi vardır.

Şimdi de ilk başta verdiğimiz genel formül üzerinden cisimlerin düşük hızlara sahip olduğunda toplam kütlelerini hesaplayalım. Cisimlerin enerjisi ve momentumunun düşük hızlardaki değerini koyduğumuzda aşağıdaki denklemi elde ederiz.

$(m_{tot}c{)}^2\approx (m_{1}c{)}^2+(m_{2}c{)}^2+2m_1{m}_2{c}^2\left(1+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{v_1}{c}\right)}^2+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{v_2}{c}\right)}^2-\genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{v}}_1}{c}\cdot \genfrac{}{}{0ex}{}{{\mathbf{v}}_2}{c}\right)$

Hızları düşük olduğunu varsaydığımız için de aşağıdaki denklemi elde ederiz.

$m_{tot}\approx m_1+m_2$

Bu, şu demektir: gündelik hayatta düşük hızlarla uğraşırken kütleyi bildiğimiz gibi toplayabiliriz. Tam da bu nedenden dolayı manavda almak istediğimiz meyveleri tartıya koyarken, cisimlerin hangi hızda olduğunu bilme gereği duymayız.

Sonuç

Özel görelilikte kütle, Newton fiziğinde olduğundan çok daha mühim ve çok daha karmaşık bir bir kullanıma sahiptir. O yüzden kütleden bahsederken neyi kast ettiğimiz konusunda çok dikkatli olmalıyız. Büyük Hadron Çarpıştırıcısı'nda olduğu gibi ışık hızına yakın hızların pekala ulaşılabildiği yerlerde veya kendi kütlemizi atom altı parçacıkların kütlesine kıyaslarken özel göreliliğin bize söylediği şeyleri inkar edemeyiz.

Fizikte kavramları tanımlarken teori içinde kullanımı ve deneylerde nasıl ölçtüğümüz büyük önem taşır. Bir teori altında bahsettiğimiz kavram bir başka teoriye geçtiğimizde bambaşka anlamlara sahip olabilir. İlk bakışta kavramları nasıl tanımladığımız fiziksel açıdan çok anlamlı gözükmeyebilir; çünkü önemli olan deney aletimiz ile neyi ölçtüğümüzdür.

Ancak yine tam da bu sebepten tanımlar önemlidir, pekala birisi "Aldığım elmanın kütlesi 2 kilogram iken onu oluşturan atomlarda bulunan protonun kütlesi ise 1.67x10^-27 kilogramdır." dediği zaman, aynı şeyi anladığımızdan emin olmalıyız.