Descartes Teoremi: Bir Matematik Teoremi Şiire Dönüşebilir mi?

"Düşünüyorum, öyleyse varım!" sözünü duymayanımız yoktur. Bu açıdan filozof yönüyle tanıdığımız Rene Descartes, bir noktada "girişik" diyebileceğimiz; felsefe, matematik ve bilimle uğraşmaktaydı. Yaşadığı dönemde ayrı olarak ele alınan geometri ve cebiri birleştirerek analitik geometriyi ortaya koydu.

Descartes 1643 yılında Bohemya prensesi Elizabeth Stuart'a yazdığı bir mektupta, düzlemde birbirine teğet ve ayrık iç mekanlara sahip dört daire için dört yarıçapı birbirine bağlayan bir ilişkiden bahsetmiştir. Bu ilişki, dört eğriliği birbirine bağlayan bir ikinci dereceden denklem olarak yazılabilir.^[1]

Kartezyen koordinatları yeni keşfeden Descartes, Prenses'e sunduğu problemi çözebileceğini düşünmüş ancak çözememiştir. Problemi pratik olarak çözülebilir bir hale getirdiğinde ise problem, "Descartes Teoremi" olarak anılmaya başlamıştır.^[3] Bu teorem hem geçmiş matematikte bazı problemlere çözüm hem de gelecekteki gelişmelere ilham olmuştur.

Apollonius Problemi

Apollonius Problemi temelde, üç geometrik nesneye aynı anda teğet olan bir çember bulmaktır. Bu arayış birçok çalışmaya temel oluşturmuş, üç boyuta genellemeler ve daha fazlası incelenmiştir. Bu nesneleri üç çember olarak seçersek her bir teğetin türüne (iç ya da dış) göre farklılık gösteren sekiz çözüm sağlanacaktır.^[2] Bu problem üzerine düşünen Descartes, günümüzde Descartes Teoremi olarak anılan bir formül geliştirmiştir.

Math World Wolfram

Descartes Teoremi

Descartes Teoremi, düzlemde birbirine teğet ve ayrık iç mekanlara sahip dört daire varsa eğriliklerinin (r, yarıçap olmak üzere) $b_i=1/r_i$ için

$(b_1+b_2+b_3+b_4{)}^2=2(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)$

bağıntısını sağladığını belirtir. Bu bağıntı,

$\sum _{i=1}^4{b}_i^2=\frac{1}{2}(\sum _{i=1}^4{b}_i{)}^2$

şeklinde de ifade edilebilir.

Arxiv

Descartes (a) konfigürasyonunu ele alarak cebirsel olarak eşdeğer daha karmaşık bir ilişki gösterdi. Descartes'in ispatı eksikti. 1826'da Jakob Steiner sonucu bağımsız olarak buldu ve eksiksiz bir ispat sundu. Eksiksiz bir ispat içeren başka bir bağımsız keşif ise H. Beecroft tarafından yapıldı.

Bu teoremin kanıtsız ancak betimleyici bir şiirle ifadesi 1936'da, bir İngiliz bilim dergisi olan Nature'da yayımlandı. Yazar, izotoplar üzerine öncü çalışmalarıyla öne çıkan Frederick Soddy idi.^[4]

Bahsi geçen şiir şu şekilde:

Kurallı Öpüşme

Dudak çiftlerinin öpüşmesi için belki

Gerekmez hiç trigonometri.

Ama bu böyle değildir dört çember için

Diğer üçüyle öpüştüğünde her biri.

Bunu sağlamak için dört çemberle

Ya üçü birinin içinde olmalı

Ya da üçünün içinde olmalı biri.

Şayet biri üçünün içindeyse, şüphesiz

Her biri üç öpücük alır dışarıdan.

Üçü birinin içindeyse, o zaman

Dıştaki çember üç defa öpülür içeriden.

Öpüşen dört çember olduğunda

En küçükler en eğri olanlardır.

Eğrilik ise sadece tersidir

Merkezden çembere kadar olan mesafenin.

Onların entrikaları karşısında

Öklid lal olsa da

Artık gerek yok başparmak kuralına.

Düz bir çizginin eğriliği sıfırdır

Ve içbükey eğrilikler eksi işaret alır.

Dört eğriliğin kareleri toplamı

Toplamlarının karesinin yarısıdır.

Küresel ilişkileri ortaya çıkarmak için

Bir öpüşme ölçümcüsünün

Zahmetli görevi üstlenmesi gerekir.

Küre çok daha hayat doludur

Ve burada çiftlerin eşlemesi dışında

Beşinci bir küre öpüşmeye katılır.

İşaretler ve sıfır önceki gibi olsa da

Her birinin diğer dördünü öpmesi için

Beş eğriliğin toplamının karesi

Kareleri toplamının üç katıdır.^[5]

Soddy, bu şiirinde Descartes Teoremi'ne değindiği gibi ayrıca son kıtada bahsettiği üzere üç boyuta genellemiştir. Ertesi yıl Thorold Gossett, Öklid uzayında n boyutlu küreler için genelleştirilmiş sonuçları veren bir kıta daha eklemiştir.

Ve kaygılarımızı sınırlamayalım

Basit dairelere, düzlemlere ve kürelere

Ama hiper düzlüklere ve virajlara doğru yükselin

Birden fazla öpüşmenin göründüğü yerde

n iç uzayında öpüşen çiftler

Hiper kürelerdir ve hakikat şunu ilan eder:

n+2 gibi oskülat

Her biri n+1 katlama eşine sahip

Tüm virajların toplamının karesi

Karelerinin toplamının n katıdır.

Soddy-Gossett Teoremi

Bu teoreme göre, ${\mathbb{R}}^n$'de yönlendirilmiş bir Descartes konfigürasyonu verildiğinde n+2 karşılıklı teğet kürenin yönlendirilmiş eğriliklerini $b_i=1/r_i$ olarak alırsak

$\sum _{i=1}^{n+2}{b}_i^2=\frac{1}{n}(\sum _{i=1}^{n+2}{b}_i{)}^2$

İfadesi yazılabilir. Tüm bu ilişkiler n boyutlu Öklid, küresel ve hiperbolik uzaylarda n+2 karşılıklı teğet (n-1) küre düzenlemelerine genelleştirilir ve bir matris formülasyonuna sahiptir.

Tüm bu yapıların üzerine kurulan Kompleks Descartes Teoremi, Soddy-Gossett Teoremi'nin Tersi, Genelleştirilmiş Öklid Descartes Teoremi, Genişletilmiş Öklid Descartes Teoremi, Küresel Geometri, Küresel Soddy-Gossett Teoremi, Küresel Genelleştirilmiş Descartes Teoremi, Hiperbolik Geometri, Hiperbolik Soddy-Gossett Teoremi, Apollonius Paketlemeleri başlıklarındaki yapılar da bu konu altında incelenmektedir.

Geogebra

Darboux Çarpımı, Podeo Haritası ve Minkowski Uzayı

Descartes formülü, tarih boyunca birçok kez geliştirilmiş ve daha yüksek boyutlu genellemeleri yapılmıştır.

Şekildeki dairelerin ikinci dereceden denklem formülü matris formunda yazılabilir:

$[b_1{b}_2{b}_3{b}_4]\left[\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& 1\\ 1& 1& -1& 1\\ 1& 1& 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ b_3\\ b_4\end{array}\right]=0$

Burada $b^{T}Db=0$ için b, dört eğriliğin vektörü ve D, Descartes ikinci dereceden (quadratik) formu olarak verilmiştir.

Darboux formülü, yakın zamanda dairelerin merkezlerinin konumlarını da içeren bir matris formuna genişletilmiş ve kanıtı hiperbolik geometri üzerinden yürütülmüştür. Burada, "teğetsel" kuralın ötesine geçerek keyfi bir konfigürasyon üzerine teğetlik, ortogonallik, mesafeler vb. gibi bazı karşılıklı ilişkiler göz önüne alınarak çemberlerin yarıçaplarını, dolayısıyla eğriliklerini, konumlarını ilişkilendiren bir formül sunulmakta; n-boyutlu küreler için bir genelleme verilmektedir.

Buradaki ispat Daniel Pedoe tarafından keşfedilen, çemberin (n-kürenin) bir Minkowski uzayının vektörlerine eşlenebileceği gerçeğine dayanmaktadır.

Bir P noktasından geçen C dairesi için r, yarıçap ve d, P'den dairenin merkezine olan uzaklık olmak üzere$P\ast C=d^2-r^2$ eşitliği, daireye teğet olan doğrunun seçilmesini ifade eder. Darboux, bunu bir çift dairenin kuvvetine genelleştirerek "Darboux Çarpımı" diyeceğimiz eşitliği elde etmiştir.

$C_1\ast C_2=d^2-r_1^2-r_2^2$

Eğer çemberler kesişirse $\phi$, çemberlerin oluşturduğu açı olmak üzere aşağıdaki eşitlik geçerlidir.

$C_1\ast C_2=r_1{r}_{2}cos\phi$

Daha uzak çemberler söz konusu olduğunda ise $C_1\ast C_2$, aşağıda (c) görselinde oluşturulan parçanın karesine eşittir.

Merkezi $(x_0,y_0)$ olan ve yarıçapı r olan çemberin denklemi,

$x^2+y^2-2x{x}_0-2y{y}_0+c=0$

şeklinde yazılabilir.

HSM Coxeter, $c=x_0^2+y_0^2-r^2$ olmak üzere merkezleri $(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)$, ayrıca yarıçapları $r_1$ve $r_2$ olan iki çemberin Darboux çarpımını şu şekilde yazmıştır:

$C_1\ast C_2=c_1+c_2-2x_1{x}_2-2y_1{y}_2$

Elde edilen bu çarpımın bir iç çarpım olarak yorumlanabileceğini fark eden D. Pedoe, bir dairenin denkleminin bir skalerle çarpılmaya göre değişmez olduğunu ve genel biçiminin şu olduğunu belirtir:

$a(x^2+y^2)-2px-2qy+c=0$

Böylece, $<C_1,C_2>$ skaler çarpımının;

$2<C_1,C_2>=a_1{c}_2+c_1{a}_2-2p_1{p}_2-2q_1{q}_2$

şeklinde yazılabileceği görüldü.

Standart izotropik 4 boyutlu Minkowski uzayı denildiğinde metrik matrisle verilen bir <,> iç çarpımı ile doğrusal bir gerçek uzay $M\cong R^4$ anlaşılır.

Pedoe haritasında P=(x,y) noktası, $\pi (P)=span([1,x^2+y^2,x,y{]}^T)$ görüntüsüne sahip olur ve bu da ışık konisindeki ışındır.

Ortogonal baz kısmı, görelilik fiziğine aşina olanlar için önemli olsa da bu forma giden yol, izotropik baz ve Darboux çarpımından geçer. Bazları ve karşılık gelen değişkenleri sembolik olarak gösterir ve 4 boyutu, 3 boyutlu resme sıkıştırır.

Sonuç

n boyutlu Öklid uzayı için iyi bilinen Descartes Teoremi'ni, n boyutlu küresel ve Minkowski uzayına genişlettik. Descartes konfigürasyonlarını karakterize eden ve formülasyonları için bu geometrilerin her birinde belirli bir koordinat sisteminin kullanılmasını gerektiren Descartes Teoremi'nin matris genellemesini sunmuş olup düzlemdeki daireleri, Öklid iç çarpımına sahip Minkowski uzayının vektörleri olarak gösterdik. Sonuç olarak bu güzel gerçeği, dairelerin kadim geometrisini modern uzay-zaman geometrisiyle ilişkilendirebildik.