Türev ve İntegrali Gerçekten Anlamak: Türev Nedir? İntegral Nedir?

Türev ve integral, matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir. Günümüzde okullarda (liselerde) bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı olarak anlatılmaktadır. Özellikle de bu kavramların ne anlama geldiği öğrenciye anlatılmadan, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır. Örneğin türev için "sayının üssünü katsayı olarak önüne al ve üssü 1 azalt" denmekte, integrali anlatmak içinse "üssü 1 arttırıp, aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz" gibi kalıp halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde anlatılmaktadır.

İyi, bu işlemleri yapalım da... Neden? Ne işe yarıyor? Ya da öğrencilerin daha sık sorduğu şekliyle: Gerçek hayatta ne işimize yarayacak?

En başından şu kadarını söyleyeyelim: 21. yüzyıl itibariyle gördüğünüz teknolojilerin neredeyse istisnasız olarak her biri, türev ve integrale dayalıdır! Dolayısıyla gelin bu iki kavramın gerçekten ne olduğunu, basit bir şekilde anlayalım:

Türev ve İntegrali Basit Bir Örnekle Anlamak

Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki... Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız:

• Türev, bir şeyin bir diğer şeye göre değişim miktardır. Yani türev, "değişim"i ölçmek için kullanılır. Genellikle türevi bir şeyin zaman geçtikçe ne kadar değiştiğini hesaplamak veya ifade etmek için kullanırız. Bunu az sonra örneklendireceğiz.
• İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da "biriken değişim miktarını" ifade etmek için kullanılır.

Türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.

Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin saatte 1 veya günde 1) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranı türevdir! Zamanı saatle ölçersiniz, dersiniz ki 8 saat geçmiş, buna 8 birim zaman diyelim. Kovaya bakarsınız, boşken 8 litre dolmuş. Kovadaki bu hacim değişiminin, zamandaki değişime oranı türevdir!

Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. Eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş (ya da genel olarak, değişen hızlarda) akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır. Fakat sonuç değişmez: Eğer değişen şey her neyse, onun değişim biçimini ifade eden matematiksel bir formülünüz varsa, bunun zamana göre türevi, o şeyin zaman içinde nasıl değiştiğini ifade eder. Bu kadar basit!

Spruce

İşte tavanın akıtma hızını matematiksel olarak ifade eden formül her neyse, o formülün zamana göre "türevini almak", birim zamandaki değişim miktarını bulmanızı sağlar. Eğer ki tavan her saniye 1 damla akıtıyorsa, bu davranış $V=t$ formülüyle temsil edilebilir. Neden? Çünkü t, yani zaman her 1 birim (örneğin 1 saniye) arttığında, hacim de 1 birim (örneğin 1 damla) artacaktır. 10 saniye sonra, kovada 10 damla su bulunacaktır.

Peki ya değişim? Türevini alalım: $y=t$ formülünün t'ye göre türevi 1'dir. Bu işlemin nasıl yapıldığına dair de birçok anlatım yapılabilir; ancak lisede öğrendiğiniz düz mantıkla, bir formülün türevinin nasıl alındığını bildiğinizi varsayıyoruz. Yani $y=t$ formülünde, y'nin t'ye göre türevi, t'nin herhangi bir üssü olmadığı için, doğrudan önündeki katsayıya eşittir. Bu da 1'dir.

Bir formülün türevinin nasıl alındığını şimdilik boşverin. Sonuca odaklanın. Her saniye 1 damla akıyorsa, değişimin miktarının (türevin sonucunun) 1 olması mantıklı, öyle değil mi? Çünkü her saniye hacmin 1 damla arttığını zaten söylemiştik. Dolayısıyla türevin "1 damla" sonucunu vermesi çok normal. Çünkü türev, değişimdir!

Peki, diyelim ki kovamızın başına sandalyemizi çektik ve bir gözlem yaptık. Bu gözlem sonucunda şu verileri topladık:

• İlk başta kovada su yok.
• 1. saniye sonunda kovada 2 damla su birikti. Artış 2 damla.
• 2. saniye sonunda kovada 8 damla su birikti. Artış 6 damla.
• 3. saniye sonunda kovada 18 damla su birikti. Artış 10 damla.
• 4. saniye sonunda kovada 32 damla su birikti. Artış 14 damla.
• Ve böyle devam ediyor...

İşte bu hacim değişiminin formüle dönüştürmek isterseniz, karşınıza $V=2t^2$ çıkacaktır. Örneğin 4. saniyede toplam hacmi bulmak için, t'yi 4 alırsanız, V, yani hacim 32 damla olacaktır. Gerçekten de, her saniyede damlayan miktarı birbirine ekleyecek olursanız $2+6+10+14=32$'dir! Devam etmeden önce o tavanı tıkasanız iyi olacak, yoksa çok kısa bir süre içinde her yeri su götürecek!

Şaka bir yana, devam edelim: Bu durumda değişim miktarı için, formülün t'ye göre türevini alacak olursak, bu türev $V^{\prime }=4t$ olacaktır. Bunu ilk etapta görmesi bir anlığına zor olabilir; ancak suyumuz düzenli olarak sızdırmak yerine, bir anda birkaç damla halinde kovamıza damlamakta. Böyle düşünecek olursanız, 1. saniye ile 2. saniye arasında geçen 1 saniyelik sürenin tamamı boyunca akıtmadığını, diyelim ki tam ortasında, yani 1.5'inci saniyede birden akıttığını varsayalım. Gerçekten de, 1.5 saniye ile 4'ü çarpacak olursak, 6 damlalık bir artış görürüz. Verilerimize bakacak olursak, 1 ila 2. saniyeler arasında 6 damla arttığını görürüz. Benzer şekilde, 3. saniye ile 4. saniye arasındaki değişimin tam da 3.5'inci saniyede olduğunu varsayarsak, $3.5\times 4=14$ damla olacaktır. Verilerimiz ile birebir örtüşüyor!

Ama sorabilirsiniz, ya musluk sürekli akıtsaydı? Hiç fark etmez! O zaman yukarıdaki gibi saniyelere bölünmüş bir hesap değil de, anlık olarak ölçebileceğiniz bir hesap yapardık. Bu durumda "damlalar" bazında değil de, hacim olarak, yani "litre" olarak düşünebiliriz. Formülümüz aynıdır: Eğer bir saat alıp, tam 3.2 saniyede kaç litre su biriktiğini ölçmek isterseniz, t yerine 3.2 yazabilirsiniz: $V=2(3.2{)}^2=20.48L$. Bu sayının, yukarıdaki ölçümümüzde 18 ila 32 damla arasında yer alması çok mantıklıdır.

Cranberry

Görebileceğiniz gibi değişimin yapısı basitse, türev de son derece basittir. Çoğu zaman türev, çok basit düzeyde çarpım, toplam ve üs alma işlemlerinden ibarettir. İşler zorlaşırsa, basitçe bir tabloya bakarak neyin türevinin nasıl alındığını bulabilirsiniz. Örneğin logaritmanın veya bölümün türevini ezberlemeniz şart değildir (okullar ezbere zorlasa da). Bunlar, internette 2 saniyelik bir aramayla bulabileceğiniz tablolardır! Logaritmanın türevini ezberlemek sizi dâhi yapmaz; onu nasıl kullanacağınızı bilip, bu aracı kullanarak değişim yaratmak sizi dâhi yapar. Türev gibi olun, değişim yaratın!

Kısaca: Bünyesinde değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır. Bu bakımdan türev, evrimsel biyoloji için de çok kıymetlidir. Çünkü evrim, popülasyonların gen ve özellik dağılımlarının nesiller içerisindeki değişimdir. Bu, aynı zamanda türevin tanımının ta kendisidir! Dolayısıyla matematiksel evrim çalışmalarında türev kavramı hemen her yerdedir! Türev, bir çeşit evrimdir. Evrim, popülasyonların gen ve özellik dağılımlarının zamana (veya nesillere) göre türevidir!

Görseldeki İntegrali Anlamak

İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır. Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz.

Aşağıdaki görselimizdeki (veya en yukarıda, ana görselimizdeki) "edebî integrali" ele alalım. Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedik.

Öncelikle, denklemde sol tarafta belirtilen "yaşam", integral işleminin sonucudur. Yani integral hesabını yaparak tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır. Burada, örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim:

Yaşam, ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir.

Bu cümlenin integral ifadesi, yukarıdaki görseldeki gibidir. Adım adım takip edelim:

• Önce, değişken belirlenmelidir. Yani "Değişen şey ne?", kendimize bunu sormalıyız. Burada değişen şey, zamandır.
• Sonrasında, hesaplamak istediğimiz şey belirlenir: mutluluk. Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz. Bunun, yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz.
• İntegral işareti (uzunca bir S şeklinde olan $\int$ işareti) altına, değişkenin (bu durumda "zaman") başlangıcı yazılır: doğum. Elde ettiğimiz son durum: ${\int }_{do\breve{g}um}$
• Üstüne, hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır: ölüm. Son durumda formülümüz: ${\int }_{do\breve{g}um}^{\ddot{o}l\ddot{u}m}$
• İntegralin iç kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey yazılır. Bu durumda, "zaman başına düşen mutluluk" hesaplanmaktadır. Dolayısıyla "mutluluğun zamana bölümü" yazılmıştır. Benzer bir hesap, sadece "mutluluk" olarak da yapılabilirdi. Bu örnekte, zaman başına düşen mutluluk yazılmıştır. Son durumda elde ettiğimiz: ${\int }_{do\breve{g}um}^{\ddot{o}l\ddot{u}m}\genfrac{}{}{0ex}{}{mutluluk}{zaman}$
• Son olaraksa, değişken $\Delta$ işaretiyle (ya da genelde "d" harfiyle) birlikte yazılır. $\Delta zaman$, "birim zaman" demektir. Elimizde olan son formül şöyle: ${\int }_{do\breve{g}um}^{\ddot{o}l\ddot{u}m}\genfrac{}{}{0ex}{}{mutluluk}{zaman}\Delta zaman$

İşte oldu! Zaman (ya da birim zaman) başına düşen mutluluğun birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu da yaşama eşitledik! Formülümüz, tam da görseldeki gibi: $\text{Yaşam}={\int }_{do\breve{g}um}^{\ddot{o}l\ddot{u}m}\genfrac{}{}{0ex}{}{mutluluk}{zaman}\Delta zaman$

Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken; integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk değerlerinin bir toplamıdır.

Bu örnekte atlanan en temel nokta, "mutluluk" değerinin matematiksel ifadesidir. İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir. Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi. Mutluluğu nasıl tanımlayacağız? Mutluluğun matematiksel formülü nedir?

Örneğin, mutluluğu yaşamdaki ufak başarılar olarak tanımlayacak olursak, bunu "belli bir düzeni takip eden birden fazla terimin toplamı" anlamına gelen meşhur ∑ işaretiyle ifade edip, görselde "mutluluk" yerine $\Sigma \text{(ku¨çu¨k başarılar)}$ yazabilirdik. Daha sonra bunu bir matematiksel formüle dönüştürebilir ve liselerde öğrendiğimiz yöntemleri kullanarak o formülün integralini alabilirdik.

Ancak burada önemli olan, integralin nasıl alındığı değil; neden alındığı. Nasıl alındığını, basit bir formül tablosuna bakarak yapabilirsiniz. Unutmayın: İntegral tablolarını ezberlemek sizi uzman yapmaz; uzmanlık, o tabloyu nasıl kullanacağınızı bilmektir. Mutluluğa yönelik matematiksel formülünüz değiştikçe, integralin sonucu da değişecektir; ancak bu önemli değil. Mutluluğu her nasıl tanımlarsanız tanımlayın, matematiksel olarak ifade edebildiğiniz müddetçe integralini de alabilirsiniz.

Bu anlatımdaki asıl amacımızı unutmayın: Amaç, mutluluğu doğumdan ölüme kadar, ufak zaman aralıklarını takip eden bir seri halinde toplamak. Böylece "yaşam"ı elde ediyoruz. En azından edebiyatçılardan bir kısmı öyle diyor.

The Next Quarterly

Bu, gerçek hayatta gerçek sorunlarla boğuşan bilim insanlarının yaptığı şeydir. Belli bir zaman boyunca değişen parametreleri tespit ederler, bunların değişimlerini matematiksel olarak modellerler ve integrali kullanarak toplam değişim miktarını belirleyebilirler.

Grafiklerin Türev ve İntegralini Gerçekten Anlamak

Bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir. Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: "Türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir."

İyi de neden?

Türevin anlamını hatırlayın: değişim! Elimizdeki grafik (ya da "geometrik eğri"), tıpkı yukarıda anlattığımız "mutluluğun matematiksel tanımı" gibi, bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bu çizginin herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir "anındaki") değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir.

Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, tıpkı bir "kaydırak" görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. O kaydırak ne kadar "dik" ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir: Çünkü dik bir kaydıraktan, hızlı bir şekilde kayabilirsiniz. Değişim, çok hızlı olur. O teğet ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. Çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz, konumunuzun değişimi çok azdır! Yani gerçek hayattaki bir kaydırak, sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.

İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Zaten tanımı gereği, integralin "iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı" olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir.

Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: İlki, fiziktir. Liselerde ezberlediğimiz bir diğer cümleyi ele alalım: "Konum, hızın zamana göre integralidir." Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konum değişiminin verir. Anlaması, tıpkı lise sıralarında olduğu gibi zor, değil mi?

Ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir. İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre ($\Delta x$ veya $dx$ yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir. 

Kalkülüs'ün Temel Teoremi'ne göre türev ve integral birbirinin tersidir. Dolayısıyla bir değişkenin önce integralini, sonra türevini alırsanız (ya da tam tersi), değişkenin kendisini elde edersiniz. Aslında bu her zaman doğru değildir; integralin sınırları da önemlidir. Ancak basitçe akılda tutmak için, bu kadar detaya ihtiyacınız şimdilik yok. İkisini birbirinin tersi olarak düşünebilirsiniz; fakat ufkunuzu bu basit zıtlıkla sınırlandırmayın. Her birinin kendi içindeki önemini, daha önemlisi anlamını kavrayın.

Bu konuda daha pek çok söz söylenebilir; ancak umuyoruz ki bu matematiksel terimlerin ne için kullanıldığını anlamanıza katkı sağlamışızdır.