Lorentz-Minkowski Uzayında Eğri ve Yüzeylerin İncelenmesi

Lorentz-Minkowski uzayı, teorik fizik ve matematikle uğraşanların kapsamlı bir şekilde çalıştığı bir alandır. Bu alan, 20. yüzyılda Einstein'ın özel ve genel görelilik kuramlarında kullanılmasıyla popülerliği artmış ve dolayısı ile gelişme imkanı bulmuştur. Günümüzde teorik veya uygulamalı fark etmeksizin, bilimin bütün alanlarında kullanılan bir yapı halini almıştır. Riemann geometrisi ile birlikte "Öklidyen geometri imparatorluğunu" neredeyse sona erdirmiş bir geometri olma özelliği taşır. Bu yazıda, bu uzayda yer alan eğri ve yüzeylerin yapılarını inceleyeceğiz ve Öklid geometrisindeki eğriler ve yüzeyler ile karşılaştıracağız.

Aşağıdaki giriş kısmında, Lorentz-Minkowski uzayı hakkında gerekli altyapıyı vereceğiz; ancak daha önceden bu uzay ve Öklid uzayının karşılaştırması hakkında biraz daha detaylı bir yazıyı Evrim Ağacı'nda halihazırda yayınlamıştık; merak edenlerin "Bir Eksi Neyi Değiştirir ki? Lorentz-Minkowski Uzayı ile Öklid Uzayı Arasındaki Fark Nedir?" başlıklı yazımızı okumasını tavsiye ederiz.

1. Giriş: Lorentz-Minkowski Uzayı Hakkında Ön Bilgiler

Tanım 1.1: Lorentz-Minkowski Uzayı Nedir?

Lorentz-Minkowski uzayı, 3 boyutlu Öklid uzayı üzerine kurulmuş bir metrik uzaydır. Bu uzay,${\mathbb{E}}_1^3=({\mathbb{E}}^3,⟨,⟩)$ ile gösterilir ve buradaki metrik olarak tanımlanan iç çarpım $⟨\vec{u},\vec{v}⟩=u_1{v}_1+u_2{v}_2-u_3{v}_3,\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\in {\mathbb{E}}^3$ olarak tanımlanır. Bu metriğin Öklid iç çarpımından tek farkı, üçüncü bileşendeki eksi işaretidir. Bu işaret bize bu uzaydaki vektörleri üç sınıfa ayırmamıza olanak verir. Bu sınıflandırma uzaysal, zamansal ve ışıksal olarak yapılacaktır.

Tanım 1.2: Vektörlerin Sınıflandırılması

$\vec{u}\in {\mathbb{E}}_1^3,\vec{u}\ne \vec{0}$ olsun.

1. 0">$⟨\vec{u},\vec{u}⟩>0$ ise $\vec{u}$ uzaysal,
2. $⟨\vec{u},\vec{u}⟩<0$ ise $\vec{u}$ zamansal,
3. $⟨\vec{u},\vec{u}⟩=0$ ise $\vec{u}$ ışıksal

olarak adlandırılır. Lorentz-Minkowski uzayı üç çeşit vektör ile geometri yapmaya olanak tanır. $\mathcal{C}=\{\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)\in {\mathbb{E}}_1^3|v_1^2+v_2^2-v_3^2=0\}$ olsun. Bu kümeye ışık konisi adı verilir; ışıksal vektörlerin kümesidir. Ayrıca $\vec{u}$, zamansal olsun. $\mathcal{T}(\vec{u})=\{\vec{v}\in {\mathbb{E}}_1^3|⟨u,v⟩\}$ kümesi de, $\vec{u}$ 'nun zaman konisidir. Bu tanımlar, bu vektörlerin geometrik yapısını incelerken işe yarayacak.

Lorentz-Minkowski uzayı ile Öklid uzayı birbirini andıran noktalarından birisi de Cauchy-Schwarz eşitsizliğidir. Zamansal vektörlerin iç çarpımı, Öklid uzayındaki Caucy-Schwarz eşitsizliğine benzer bir eşitsizliğe sahiptir.

Teorem 1.1

$\vec{u},\vec{v}\in {\mathbb{E}}_1^3$ zamansal olsunlar. O halde aşağıdaki eşitsizlik sağlanır:

$\Vert ⟨\vec{u},\vec{v}⟩\Vert \ge \Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert$

Ayrıca, $⟨\vec{u},\vec{v}⟩=-\Vert \vec{u}\Vert \Vert \vec{v}\Vert \cosh \varphi$ eşitliğini sağlayan tek bir $\varphi$ açısı vardır. Buna hiperbolik açı denir.

Öklid uzayındaki vektörler hakkındaki bildiklerimizi bir başka uzay olan Lorentz -Minkowski uzayına taşımaya devam edelim. Şimdi de vektör çarpımını bu uzayda tanımlayalım.

Tanım 1.3: Vektör Çarpımı Nasıl Yapılır?

$\vec{u},\vec{v}\in {\mathbb{E}}_1^3$ olsun. Vektör çarpımı, $\vec{u}\times \vec{v}$ ile gösterilir ve $\vec{u}\times \vec{v}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& -\overrightarrow{e_3}\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|$ olarak tanımlanır burada $\overrightarrow{e_i},i=1,2,3$ standart baz vektörleridir.

Öklid geometrisinden ihtiyacımız kadar yapıyı bu uzaya taşıdık. Şimdi, bu uzaydaki parametrik eğrilerden konuşmaya başlayabiliriz.

2. Lorentz-Minkowski Uzayında Eğriler

Aynı Öklid uzayında olduğu gibi, Lorentz-Minkowski uzayında da eğriler mevcuttur ve ışıksal, zamansal ve uzaysal olmak üzere üçe ayrılırlar. Bu ayrımı yapmadan önce, düzenli/düzensiz eğri kavramından bahsetmek gerekiyor. Tanım, Öklid uzayındaki ile aynıdır:

Tanım 2.1: Düzenli ve Düzensiz Eğriler

$\vec{\alpha }:\text{I}\to {\mathbb{E}}_1^3$ eğrisi $\forall t\in \text{I},{\vec{\alpha }}^{\prime }(t)\ne \vec{0}$ özelliğini sağlıyorsa bu eğriye düzenli eğri denir.

Öklid uzayında olduğu gibi, Lorentz-Minkowski uzayında da vektörler için Frenet çatısı tanımlayabiliriz. Bunun için, bir diklik tanımı yapmamız gerekiyor: Aynı tip vektörlerin iç çarpımı sıfır olursa, bu iki vektörün dik olduğunu biliyoruz.

Ancak ışıksal vektörlerin hepsi bu koşulda birbirine dik çıkar. Bu sorunu ortadan kaldırmak için, ışıksal vektörlerde diklik tanımını kaldırırız. Dolayısıyla ışıksal vektörler üzerinde bir Frenet çatısı kurulmaz. Ancak zamansal ve uzaysal vektörler için Frenet çatısı kurulabilir.

Çatıyı kurmadan önce, bir vektörün Lorentz-Minkowski uzayında normu ve yay uzunluğu parametrizasyonunu tanımlayalım.

Tanım 2.2: Norm ve Yay Uzunluğu

$\vec{\alpha }\in {\mathbb{E}}_1^3$ bir düzenli eğri olsun. Bu eğrinin boyu $\Vert \vec{\alpha }\Vert$ ile gösterilir ve $\Vert \vec{\alpha }\Vert =\sqrt{|⟨\vec{\alpha },\vec{\alpha }⟩|}$ ile tanımlanır. Bu eğrinin uzunluğu ise $s(t)={\int }_0^t\Vert {\vec{\alpha }}^{\prime }(\psi )\Vert d\psi$ olarak tanımlanır.

Şimdi, Lorentz-Minkowski uzayındaki uzaysal ve zamansal eğriler için Frenet çatılarını tanımlayalım. Frenet çatısını kurmak için eğrileri karakterize ederken şunu kullanırız: Bir eğrinin teğeti hangi karakterde ise, eğri de o karakterdedir. Yay uzunluğu parametrizasyonu ise, bir eğrinin Tanım 2.1'deki $s$'yi argüman olarak kullanmasına denir. Bu tip eğrilerin teğetinin normu birdir.

Tanım 2.3: Frenet Çatısı

$\vec{\alpha }\in {\mathbb{E}}_1^3$ ir düzenli eğri olsun ve bu eğri yay uzunluğuna göre parametrize edilsin. Bu eğrinin keyfi bir noktadaki teğet normal binormal vektörleri sırasıyla $\vec{T},\vec{N},\vec{B}$ ile , eğrilik ve burulması ise sırasıyla $\kappa ,\tau$ ile gösterilsin. Bu eğri için Frenet çatısı $\{\vec{T},\vec{N},\vec{B},\kappa ,\tau \}$ şu koşulu sağlar:

$\left[\begin{array}{c}{\vec{T}}^{\prime }\\ {\vec{N}}^{\prime }\\ {\vec{B}}^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& \kappa {ϵ}_1& 0\\ -\kappa {ϵ}_0& 0& -\tau {ϵ}_0{ϵ}_1\\ 0& -\tau {ϵ}_1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\vec{T}\\ \vec{N}\\ \vec{B}\end{array}\right]$

Bu denklem sisteminde $\alpha$ sırasıyla uzaysal veya zamansal ise ${ϵ}_0=1$ veya ${ϵ}_0=-1$ değerini alır. Eğer eğri uzaysal ise ${ϵ}_1=1$ veya ${ϵ}_1=-1$ değerleri sırasıyla eğrinin tip1, tip2 isimlerini almasını sağlar. Yani bütün uzayda geçerli bir Frenet çatısı mevcut değildir; çünkü eğriler uzayın farklı yerlerinde farklı davranışlar sergilerler. Bu da karakteristiğine göre ayrı çatılar tanımlanmasını sağlar.

Uzaysal bir eğrinin iki kategoride incelenmesinin nedeni, normal vektörün uzaysal veya zamansal olmasıyla ilgilidir. Bu yüzden normali uzaysal ve normali zamansal olmak üzere iki tip uzaysal eğri mevcuttur. Şimdi Lorentz-Minkowski uzayındaki eğriler üzerinde $\text{dog˘al eş}$ kavramını tanıtalım ve eğri ile doğal eş eğrisi arasındaki bazı özellikleri inceleyelim.

Tanım 2.4: Doğal Eş

$\vec{\alpha }\in {\mathbb{E}}_1^3$ bir düzenli eğri olsun ve $\{\overrightarrow{T_{\alpha }},\overrightarrow{N_{\alpha }},\overrightarrow{B_{\alpha }},{\kappa }_{\alpha },{\tau }_{\alpha }\}$ Frenet çatısına sahip olsun. Bir $\vec{\beta }\in {\mathbb{E}}_1^3$ eğrisinin teğeti $\vec{\alpha }$ 'nın normaline eşit ise bu eğriye $\vec{\alpha }$ 'nın doğal eş eğrisi adı verilir.

Teorem 2.1

$\vec{\alpha }\in {\mathbb{E}}_1^3$ bir düzenli eğri olsun ve $\{\overrightarrow{T_{\alpha }},\overrightarrow{N_{\alpha }},\overrightarrow{B_{\alpha }},{\kappa }_{\alpha },{\tau }_{\alpha }\}$ Frenet çatısına sahip olsun. Bu eğrinin doğal eşi $\vec{\beta }$ olsun, o halde $\vec{\beta }$'nın Frenet çatısı $\{\overrightarrow{T_{\beta }},\overrightarrow{N_{\beta }},\overrightarrow{B_{\beta }},{\kappa }_{\beta },{\tau }_{\beta }\}$ şöyle verilir:

$\overrightarrow{T_{\beta }}=\overrightarrow{N_{\alpha }}$

$\overrightarrow{N_{\beta }}=\genfrac{}{}{0ex}{}{-{ϵ}_0{ϵ}_1{\tau }_{\alpha }\overrightarrow{B_{\alpha }}-{ϵ}_0{\kappa }_{\alpha }\overrightarrow{T_{\alpha }}}{\sqrt{{ϵ}_1({\kappa }_{\alpha }^2-{ϵ}_0{\tau }_{\alpha }^2})}$

$\overrightarrow{B_{\beta }}=\genfrac{}{}{0ex}{}{-{ϵ}_0{ϵ}_1{\tau }_{\alpha }\overrightarrow{T_{\alpha }}-{ϵ}_0{ϵ}_1{\kappa }_{\alpha }\overrightarrow{B_{\alpha }}}{\sqrt{{ϵ}_1({\kappa }_{\alpha }^2-{ϵ}_0{\tau }_{\alpha }^2)}}$

${\kappa }_{\beta }=\sqrt{{ϵ}_1({\kappa }_{\alpha }^2-{ϵ}_0{\tau }_{\alpha }^2)}$

${\tau }_{\beta }=\genfrac{}{}{0ex}{}{{\kappa }_{\alpha }^2}{{ϵ}_1({\kappa }_{\alpha }^2-{ϵ}_0{\tau }_{\alpha }^2)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tau }_{\alpha }}{{\kappa }_{\alpha }}{)}^{\prime }$

Tabii burada eğrilik ve burulmanın birbirinden büyük veya küçük olmasına göre kareköklü ifadenin içindeki ifadenin de eksi ile çarpılması gerekebilir.

Bu teoremin kanıtı, teğet normal ve binormal vektörlerin tanımlarından rahatlıkla görülebilir. Şimdi bu teoremin birkaç uygulamasına bakalım.

Sonuç 2.1

$\vec{\alpha }\in {\mathbb{E}}_1^3$, eğriliği burulmasına eşit olmayan bir düzenli eğri olsun. O halde bu eğrinin heliks (veya helis) olması için gerek ve yeter koşul, doğal eşinin bir düzlemsel eğri olmasıdır.

Helis, biyolojiyi fazlaca ilgilendiren bir eğridir. DNA sarmalı, iki tane helisin iç içe geçmiş hali olarak düşünülebilir.

Wikipedia

Sonuç 2.2

$\vec{\alpha }\in {\mathbb{E}}_1^3$ eğrisinin yarıçapı $r$ olan bir küre olması için gerek ve yeter koşul, doğal eş eğrisi olan $\vec{\beta }$'nın $\genfrac{}{}{0ex}{}{{\kappa }_{\beta }^{\prime }}{{\kappa }_{\beta }}=-{ϵ}_1{\tau }_{\beta }\genfrac{}{}{0ex}{}{{\tau }_{\alpha }}{{\kappa }_{\alpha }}\pm \sqrt{{ϵ}_0(1-{ϵ}_1{r}^2{\kappa }_{\alpha }^2)}$ eşitliğini sağlamasıdır. Burada, kareköklü ifade için Teorem 2.1'deki düzenlemeler gerekebilir.

Şimdi de bir eğrinin doğal eş eğrisinin küre olması için yeterli koşulları verelim.

Teorem 2.2

Lorentz-Minkowski uzayında, uzaysal veya zamansal fark etmeksizin, bir eğrinin eğriliği pozitif bir sabit ise o eğrinin doğal eşi bir küredir.

Bu bölümde, klasik diferansiyel geometriyi Lorentz-Minkowski uzayına taşıdık ve eğriler üzerinde bilinen bazı özelliklerin burada da geçerli olduğundan bahsettik. Ancak geometride eğriler sadece bir temel taştır. Öbür temel taş ise, yüzeylerdir. Bir sonraki bölümde Lorentz-Minkowski uzayında yüzeylerin davranışını inceleyeceğiz.

3. Lorentz-Minkowski Uzayında Yüzeyler

Lorentz-Minkowski uzayında eğrileri üçe ayırdık ve özellikle zamansal ve uzaysal olan eğrilerin özelliklerinin Öklid uzayındaki eğrilere benzer olduğunu gördük. Benzer bir durum, yüzeyler için de geçerlidir. Yüzeyler de uzaysal, zamansal ve ışıksal olarak üçe ayrılır; ancak bu ayrım için bazı bilinen tanımları yapmamız gerekiyor.

MDPI

Tanım 3.1

$M$, Lorentz-Minkowski uzayında bir yüzey olsun ve $x:M\to {\mathbb{E}}_1^3$ bu yüzeyin parametrizasyonu olsun. Bu parametrizasyonun diferansiyeli $d{x}_p:T_{p}M\to {\mathbb{E}}_1^3$ olarak tanımlanır. Yüzeyler üzerinde tanımlanan metrik ise $x^{\ast }(⟨,{⟩}_p)(\vec{u},\vec{u})=⟨dx(\vec{u}),dx(\vec{u}){⟩}_p,\vec{u},\vec{v}\in T_{p}M$ olarak tanımlanır. Dolayısıyla yüzeylerin karakterizasyonu, bu metriğe göre yapılabilir. Eğer yüzeyin teğet düzlemi sırasıyla uzaysal, zamansal veya ışıksal ise, yüzey de aynı karaktere sırasıyla sahip olacaktır.

Aslında burada gördüğümüz, eğrilerde yapılan tanım ile aynıdır: Eğri, teğeti ile aynı karakterdedir; yüzey de teğet düzlemi ile... Öklid uzayında bir yüzey üzerinde diferansiyel geometri yapmak için, Gauss ve ortalama eğrilikler kullanılır; ancak öncesinde esas formlar kavramını tanımlamak gerekir.

Tanım 3.2: Esas Formlar

$M$, Lorentz-Minkowski uzayında bir yüzey olsun ve $x$, bu yüzeyin uzaysal veya zamansal bir parametrizasyonu olsun. $\Psi$, bu yüzeye teğet bütün düzlemlerin kümesi ve ${\nabla }^0$ Levi-Civita bağlantısı olsun. O halde $X,Y\in \Psi$ için $\sigma (X,Y)=({\nabla }_X^{0}Y{)}^{\perp }$ ikincil esas form olarak tanımlanır.

Tanım 3.3: Weingarten Endomorfizması

Bir $M$ yüzeyinin bir $p$ noktasındaki Weingarten endomorfizması, o yüzeyin teğet uzayları arasındaki $A_p=-{\nabla }_v^{0}N=-(dN{)}_p(v)$ bağıntısı olarak tanımlanır. Ayrıca özel olarak $A_N=-{\nabla }_X^{0}N$ olarak tanımlanır ve daha kısa bir notasyon olarak $AX$ ile gösterilir.

Önceki iki tanımda, Gauss fonksiyonunun Lorentz-Minkowski uzayında genelleştirildiği görülebilir. Bu tanımlardan yola çıkarak, ortalama eğrilik vektörü, ortalama eğrilik ve Gauss eğriliği kavramlarını bu uzayda sıradaki iki tanımdaki gibi yapılır.

Tanım 3.4: Eğrilik Vektörü

$M$, bir yüzey olsun. Bu yüzeyin ortalama eğrilik vektörü $\vec{H}$ ile gösterilir ve $\vec{H}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}tr(A_N)$ olarak tanımlanır. Ortalama eğrilik ise $H=⟨\vec{H},N⟩$ olarak tanımlanır.

Şimdi de Gauss eğriliğini tanımlayalım.

Tanım 3.5: Gauss Eğriliği

Lorentz-Minkowski uzayına bir yüzeyin Weingarten endomorfizması $A$ olsun. Bu yüzeyin Gauss eğriliği $K=ϵ\det (A)$ ile tanımlanır. Burada $ϵ$, yüzeyin sırasıyla uzaysal ve zamansal olmasına göre 1 veya -1 değerini alır. Ayrıca eğer Weingarten endomorfizması köşegenleştirilebilir ise, özdeğerleri ${\lambda }_1,{\lambda }_2$, bu yüzeyin öz eğrilikleri adını alır. Bu durumda $H=ϵ\genfrac{}{}{0ex}{}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}{2}$ ve $K=ϵ{\lambda }_1{\lambda }_2$ olarak hesaplanabilir. Ek olarak bir $p$ noktasında $⟨\sigma (u,v),N⟩=\lambda ⟨u,v⟩$ eşitliğini sağlayan bir $\lambda$ var ise yani birincil ve ikincil esas form oranlı ise, bu noktaya göbek noktası adı verilir.

Bu tanımdan çok şey öğrenebiliyoruz: $H^2-ϵK=0$ oluyorsa o noktanın göbek noktası olduğu anlamına gelir.

Wikipedia

4. Sonuç

Sonuç olarak, Lorentz ve Minkowski uzayında, Öklid uzayında olduğu gibi kuvvetli bir geometrik altyapı kurulabilir ve dahası bu uzayda bu tanımlar aracılığı ile geniş uygulama alanları bulunabilir. İşin içine tensör kavramı katılarak, özellikle yüzeyler teorisi bu uzayda genişletilebilir. Bu genelleştirilmiş tanımlar uzay-zaman evrenini daha iyi anlamamıza yol açar.