Teğetsel İvme ve Radyal İvme Nedir? Formülleri Nelerdir?

Düzgün dairesel hareketten bahsederken, merkezcil ivmeye değinmiştik. Şimdi bu tür bir harekete benzer bir harekette ivmenin ne şekilde olduğunu inceleyelim. Bunu daha kolay anlamak için ivmeyi iki parçaya ayıracağız: teğetsel ivme veradyal ivme(ya da dikine ivme).

Aşağıdaki şekildeki gibi bir yörüngede hareket eden parçacığımız olsun. Bu gezegenler etrafından dolanarak yörüngesini değiştiren bir uzay aracı ya da kıvrımlı bir yolda ilerleyen araç olabilir.

Teğetsel İvme ve Radyal İvme

Hız vektörünün daima yola teğet olacağını biliyoruz, fakat ivmenin doğrultusu değişecektir. Bunu anlamak için ivmenin olmadığı bir senaryoyu düşünebilirsiniz. Bu durumda hız yola teğet olduğundan, araç dümdüz ilerlerdi. Lakin hareket doğrultusu sürekli olarak değişiyor, o halde bir ivme olmalıdır. Bu değişim de şekilde bir aşağı bir yukarı olup, sürekli sabit olmadığı için, demek ki ivmenin de yönü sürekli değişiyor olmalıdır.

Fizikte, bu tür bir değişim gördüğümüzde, bunu direkt ifade etmek oldukça kompleks görünebilir. Bu nedenle problemi mümkün mertebe alt problemlere bölmeye çalışırız. Burada da yapabileceğimiz en iyi işlem, ivmeyi onun bileşenlerine ayırmaktır. Bu nedenle ivmeyi, teğetsel ivme ve radyal ivme olarak ikiye ayıralım. Bunlar, doğal olarak birbirlerine diktirler.

$\mathbf{a}={\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}+{\mathbf{a}}_{\mathbf{t}}$

Eğer şekli dikkatlice inceleyecek olursak, teğetsel ivmenin parçacığın hız vektörü yönünde olduğunu görürüz. Hatırlayın, hız vektörünün daima yola teğet olduğundan bahsetmiştik. Teğetsel ivme de aynı yöndedir. O halde teğetsel ivme, parçacığın hızının büyüklüğündeki değişim ile ilişkilidir. Teğetsel ivmenin büyüklüğü aşağıdaki formülle ifade edilir.

$a_t=\frac{d|\mathbf{v}|}{dt}$

Diğer bileşen olan radyal ivme (ya da dikine ivme), doğal olarak teğetsel ivmeye diktir ve yörüngeye çizilecek olan hayali çemberin merkezine doğrudur. Bu nedenle parçacığın yönünü değiştirecek olan bileşen budur. Yani radyal ivme, hız vektörünün doğrultusundaki değişim ile ilişkilidir ve büyüklüğü aşağıdaki formülle ifade edilir.

$a_r=\frac{v^2}{r}$

Burada $r$, çizdiğimiz hayali çemberin yarıçapıdır (yolun eğrilik yarıçapıdır).

Burada radyal ivmenin, merkezcil ivmeyle olan bağlantısını yakalamak oldukça önemli. Çünkü hatırlarsanız, merkezcil ivmede hız vektörünün değişimi, onun sadece yönündeki değişimden kaynaklanıyordu, hızın büyüklüğünde bir değişim gerçekleşmiyordu. Yani orada teğetsel ivme sıfırdı. Bu nedenle ivme de sabit olduğu durumda cisim dairesel bir hareket yapıyordu. Bu iki senaryoyu kıyaslayıp farkı anladıysanız, bu kavramları iyi bir şekilde kavramışsınız demektir.

Son olarak ivmenin kendisini ifade etmek için tek yapılması gereken artık bu bileşenleri toplamaktır. Hiç şüphesiz ivme, teğetsel ivme ve radyal ivmenin vektörel toplamıdır. Dolayısıyla ivmenin büyüklüğü için aşağıdaki formülü yazabiliriz.

$a=\sqrt{a_r^2+a_t^2}$

Belki de daha iyi kavramak için şu durumları düşünmek de gerekir: Eğer radyal ivme yoksa, bu bileşen hız vektörünün doğrultusunu değiştirdiğinden, yokluğu, cismin düz bir şekilde yoluna devam etmesi demektir. Bu durumda teğetsel ivmenin varlığı, cismin hızının büyüklüğünün, düz bir doğrultu boyunca değişeceğini söyler.

Yani eğer radyal ivme yoksa, hızı artıp azalsa da, cisim düz bir şekilde hareketine devam eder. Tüm bunlara bakınca aslında düzgün dairesel hareketin burada bahsettiğimiz senaryonun özel bir durumu olduğunu görürüz. O durum, teğetsel ivmenin sıfır olduğu ve radyal ivmenin var olduğu durumdur.

Birim Vektörler Cinsinden

Dairesel bir hareketten bahsettiğimiz için kartezyen koordinatları kullanmak pek akıllıca olmayabilir. Onun yerine $\mathbf{r}$ ve $\theta$ birim vektörlerini kullanan kutupsal koordinatları tercih ederiz. Böylesine dairesel bir hareket yapan parçacığın hareketini bu birim vektörler cinsinden ifade edelim.

Burada $\hat{\mathbf{r}}$ yarıçap vektörü, dairenin merkezinden dışarı doğru radyal olarak yönlenmiştir. $\hat{\theta }$ birim vektörü ise daireye teğettir ve pozitif $\text{x}$-ekseninden itibaren saat yönünün aksi yönde artan değerlerle ifade edilir. Yani 0° ile 90°, dairenin sağ üst bölgesinde kalır.

$\mathbf{a}={\mathbf{a}}_{\mathbf{r}}+{\mathbf{a}}_{\mathbf{t}}=\frac{d|\mathbf{v}|}{dt}\hat{\theta }-\frac{v^2}{r}\hat{\mathbf{r}}$

Böylelikle toplam ivme yukarıdaki şekilde ifade edilmiş olunur. Burada dikkat edilmesi gereken nokta iki birim vektörün toplanmasına karşın arada bir eksi işareti olmasıdır. Bunun sebebini anlayabildiniz mi? Bunu artı değil, eksi olarak yazdık çünkü $\mathbf{r}$ birim vektörü merkezden dışa doğru iken, ivmenin radyal bileşeni merkez yönündeydi. Zıt yönde olmalarından dolayı, toplam sırasında işaret değiştirmemiz gerekti.