Sekreter veya Eş Seçme Problemi: En İyi Aday Arayışını Ne Zaman Durdurmalı?

Sekreter Problemi, Eş Seçme Problemi, Evlilik Problemi, Googol Problemi veya İş Görüşmesi Problemi gibi çok sayıda isimle anılan bir problem, belli bir pozisyona (eş, çalışan, patron, satıcı, alıcı, vs.), içindeki eleman sayısı belli olan bir aday havuzu içinden, en iyi (uygun, kaliteli, vs.) adayı alma ihtimalimizi en yükseğe çıkarmak (maksimize etmek) için, arayışımızı hangi noktada sonlandırmamız gerektiği konusunda bize matematiksel bir ipucu veren, önemli bir problemdir. İlk etapta bir pozisyona en uygun adayı almak için, tüm adaylarla görüşme yapıp, en iyisini çağırmayı önerebilirsiniz. Bu bir yöntemdir; ancak bazı durumlarda bu yaklaşımı kullanmanız mümkün değildir.

Aslında bu yazıda söz edeceğimiz yöntemi, hayatınıza çok farklı şekillerde de adapte edebilirsiniz. Bir ürün için en iyi alıcıyı veya satıcıyı bulmaya çalışırken, işyerinize eleman alırken, kendinize en iyi işi bulmaya çalışırken veya çok sayıda tercih arasından karar vermeye çalışırken... Ama biz bu yazıda, evleneceğimiz kişiye karar verme üzerinden gideceğiz, çünkü bu örnek hem daha eğlenceli, hem de bahsedeceğimiz yöntemin şartlarına biraz daha uyuyor. Şimdi, tüm adayları test edip de en iyisine geri dönmenizin mümkün olmadığı bir durumu tanımlayarak başlayalım.

Eş Seçme (Evlilik) Problemi

Diyelim ki kısa ilişkilere çok daha aşina olan birisiniz, yani bir kişiyle yıllarca beraber kalmıyorsunuz, sık sık partner değiştiriyorsunuz. Ama artık, birinde karar kılıp, evlenmek istiyorsunuz. Ne var ki evlenmeye karar vermek zor zanaat. Kiminle evleneceksiniz, öyle değil mi? O kadar çok seçenek var ki!

Normalde yapacağınız nedir? Farklı partnerleri test edip, en iyisinde karar kılmak... Bu sırada o kişilerin özelliklerini tartarsınız, ne konularda nasıl düşündüklerini tespit edersiniz. Bunu, daha önceden kanser örneğiyle anlattığımız Bayesçi yaklaşıma benzetebilirsiniz: Her aday hakkında belli bir ön inancınız vardır. Bu ön inanç, sizin onlarla evlenme ihtimalinizi belirler. Ve siz onları tanıdıkça, farklı özelliklerine aşina oldukça, zaman geçirdikçe, bu inancınız yeni bilgiler ve veriler ışığında güncellenir. Nihayet o inancınız, evliliğe karar vermenizi sağlayacak şekilde belli bir üst değeri aşarsa, o kişiyle evlenmeye karar verirsiniz. Bir kişiyi terk etmeye dönük belli bir alt eşiğin altına inerse, o kişiden ayrılmaya karar verirsiniz.

Ama sorun şu: Hem hoşlandığınız ve beraber yaşayabileceğinizi düşündüğünüz, ilginizi çeken çok fazla aday var, hem de ufak bir kötü tarafınız var: Ayrılmak konusunda berbatsınız! Yani partnerinizden ayrılırken tuhaflaşıyorsunuz ve terk ettiğiniz kişinin sizden nefret etmesini garanti ediyorsunuz. Dolayısıyla "Haa bu iyiymiş ama ben biraz daha deneyeyim de olmadı buna dönerim." deme şansınız yok. İçinde bulunduğunuz ilişkinin kalıcı olup olmayacağına, daha o ilişkinin içindeyken karar vermek zorundasınız. Çünkü ayrılmaya karar verdiğiniz anda, geri dönüş yok. En temel şartımız bu.

Bu durumda, az önce söz ettiğimiz Bayesçi yaklaşım biraz "riskli" hale gelmektedir: Çünkü adayları belli bir beğeni sırasına koyup da sonra en beğendiğinize geri dönme şansınız yoktur. İlişkinin içindeyken nihai kararı vermeniz gerekir ve en nihayetinde zaman geçmektedir: Oturup, ortalama ilişkide kalma sürenizden yola çıkarak bir hesap yapacak olduğunuzu varsayalım ve bunun sonucunda, makul bir süre içinde, en fazla 100 adayı test edebileceğiniz sonucuna vardığınızı kabul edelim (sayı 10 da olabilir, 50 de, 1000 de, kolaylık olması için 100 alalım).

Sekreter (Eş Bulma, Evlilik) Problemi şunu sorar: Bu durumda, önünüzdeki 100 aday arasından en iyi adayı bulma ihtimalinizi maksimize etmenin en iyi yolu nedir dersiniz? Hangi adayda durup, sonraki adayları görmeye gerek kalmaksızın, "Tamam, ben bu kişiyle evlenirsem kafam rahat eder." diyebilirsiniz? İlk 5 adayı gördükten sonra mı, ilk 50 adayı gördükten sonra mı, ilk 95 adayı gördükten sonra mı, yoksa tüm adayları gördükten sonra mı? Ama unutmayın: Eğer 98. adayı gördükten sonra, 45. adayda karar kılmak isterseniz, böyle bir şansınız yok. 45. aday artık sizden nefret ediyor ve sizinle asla görüşmeyeceğine söz vermiş halde ve bu sözünü kesinlikle tutacak.

Problemin Resmi Şartları ve Çözümü

Hikayeleştirerek anlattığımız problemin şartlarını, daha resmî bir şekilde tanımlayalım:

• Doldurmak istediğiniz 1 adet pozisyon var ve bu pozisyon kesinlikle doldurulacak.
• Bu pozisyon için başvuran (veya aday olan) $N$ kişi var ve siz bu $N$ değerini biliyorsunuz (yukarıdaki örnekte $N=100$).
• Adayları tek tek değerlendirmeye alıp, onlara kesin bir puan, skor, değer atamanız mümkün. Böylece her birini bir "başarı sırasına" dizebilirsiniz.
• Adayları belli bir sırada görmeniz (örneğin "en iyi olma ihtimali en yüksek olanları en önce göreyim" gibi) mümkün değil. Her adayı rastgele göreceksiniz ve her birinin herhangi bir sırada olma ihtimali eşit.
• Görüşmeden hemen sonra (veya ilişkinin içindeyken) nihai kararı vermek zorundasınız ve sadece 2 tercihiniz var: kabul et veya reddet. Bu karar değiştirilemez (yani reddettiğiniz bir adaya geri dönemezsiniz; tek bir nihai kabul veya "evlenme" hakkınız var).
• Bu karar, yalnızca ve yalnızca o âna (o anda içinde bulunduğunuz ilişkiye veya o anda yaptığınız iş görüşmesine) kadar olan adaylara yönelik göreli puanınıza dayalı olarak verilecek.
• Görevimiz, gerçekten de bu aday havuzu içindeki en iyi adayı tespit etmek.

Bir diğer deyişle, elinizde bir aday havuzu var, bu havuzun içindeki yetenek (veya size uygunluk) dağılımına dair en ufak bir fikriniz yok, adaylar size rastgele bir şekilde geliyor (ama aday havuzunun büyüklüğünü biliyorsunuz) ve tek bir nihai kabul hakkınız var. En iyi adayı nasıl seçerdiniz?

37 Kuralı: %37'yi Gör, Sonraki İlk En İyiyi Seç!

Konunun analizini yapmadan önce, doğrudan cevabı verelim: Saydığımız şartlar altında yapabileceğiniz en iyi şey, adayların %37 civarını (tam olarak %36.79'unu) görmek, onları evlenme isteğinize göre sıralamak, sonrasında onlar arasından en iyi olanını skor olarak geçmeyi başaran ilk kişiyle evlenmek.

Yani eğer önünüzde 100 aday olduğunu biliyorsanız, bunlardan 37'sini denedikten sonra, her birini belirleyeceğiniz kriterlere göre skorlamanız gerekiyor:

• Diyelim A kişisi çeşitli kriterlerinizin toplamında 50 puan aldı. B kişisi 72 puan, C kişisi 30 puan ve bu böyle gidiyor... Böylece o ilk 37 kişi arasından en iyisini belirlediniz.
• Şimdi, hemen o kişiyle evlenmeyeceksiniz, çünkü o kişi eğer şu anda içinde bulunduğunuz 37. ilişkinin ta kendisi değilse, muhtemelen o 37 kişi arasından en iyisini çoktan reddettiniz.
• Mesela 10. ilişkiniz, sizden aldığı 76 puan ile, 37 kişi arasından en iyisi olabilir. Ve unutmayın, ona dönme şansınız yok, siz, berbat bir terk edicisiniz.
• Sıkıntı yok. 37'den sonra partner denemeye denemeye devam edeceksiniz.
• 38'incisi 52 puan aldı. 76'dan düşük, geçtiniz.
• 39. kişiyi denediniz, 30 puan alabildi. En yüksek puanı alan 10. adayımızın 76 puanının altında. Bunu da geçtiniz.
• Bu şekilde devam ettiniz ve diyelim ki 43. kişi sizden 80 puan aldı. İşte o kişiyi terk etmeyeceksiniz ve onunla evleneceksiniz.

Burada hemen sorduğunuzu duyar gibiyiz: "Ee, ya geri kalan 57 adaydan biri 95 puan alacak olsaydı? O fırsatı kaçırmış olmuyor muyuz?" Evet, oluyorsunuz. Ama unutmayın: Adayları önceden bilmiyorsunuz ve tamamen rastgele deneyebiliyorsunuz. Ya hiçbiri daha yüksek puan almazsa? Daha kötüsü, tıpkı borsaya giriş veya çıkış yapmaya çalışanların da sıklıkla düştüğü FOMO yani "Fear of Missing Out", yani "Fırsatı Kaçırma Korkusu" psikolojisine girip, elinizdeki tüm adayları tüketip, çok daha fazla fırsat kaçırıp, bir de üzerine artık çok yaşlanmış olursanız ne olacak?

Unutmayın, kusursuz istatistik diye bir şey yoktur. Olasılıklarda her zaman paranın diğer yüzü de vardır. Ve siz, eğer ki hep diğer yüzü düşünecek olursanız, aşırı hırslı ve açgözlüsünüz demektir. Bu stratejiyle şansınızı maksimize etme yollarını her zaman elinizden kaçırırsınız.

Eğer matematiğe güvenmek istiyorsanız, bu söylediğimiz yöntemle gerçekten o 100 kişi içinden en iyi adayı bulma ihtimaliniz yaklaşık %37'dir. Yani bu yöntemde 37 sayısı oldukça "büyülüdür": Hem aday sayınızın %37'sine kadar gidip, onunla değil ama, o noktaya kadar olan en iyi adayı geçmeyi başaran ilk adayı seçmeniz gerkmektedir. Hem de bunu yaptığınızda, o seçtiğiniz adayın gerçekten o 100 kişi arasından en iyisi olma ihtimali %37 olmaktadır.

Görebileceğiniz gibi, bu yöntemi kullandığınızda en iyi adayı seçmeme ihtimaliniz halen %63'tür. Ancak saydığımız şartlar geçerli olduğu müddetçe, bu ihtimali daha da geliştirmenin pratik bir yolu yoktur. Eğer şartları değiştirebilirseniz, yeni yöntemlerden söz etmek mümkün olabilir:

• Örneğin önceki adaylara dönebilirseniz, işler değişecektir.
• Sadece 1 kişiyi değil de, aynı anda en iyi 5 kişiyi seçmeniz gereken işe alım süreçlerinde bu yöntem birazcık daha farklı çalışacaktır ve iyi adayları o 5 kişilik havuza dahil etme ihtimaliniz daha yüksek olacaktır.
• Benzer şekilde, aday sayısı belli değilse, aday sayısı zaman içerisinde değişiyorsa veya adayları rastgele denemek yerine, belli bir önyargı dahilinde seçme ihtimaliniz yüksek olan adayları öne almanız veya arkaya itmeniz mümkünse, işler değişecektir. 

Ama eğer ki aday sayısı belliyse, adayları sadece rastgele deneyebiliyorsanız, sadece 1 adayda karar kılabiliyorsanız, önceki adaylara geri dönmeniz mümkün değilse ve adaylar arasından en iyisini seçmeniz gerekiyorsa, yani elinizde Sekreter Problemi veya Evlilik Problemi olarak tanımlanan bu problem varsa, %37 kuralını uygulamak, şansınızı diğer yöntemlere nazaran daha yüksek yapacaktır.

Optimal Durma: Neden %37?

Bu yaptığımıza matematikte "optimal durma" veya "erken durma" denmektedir. Bu teorinin bilgisayar bilimlerinde, istatistik alanında, ekonomide, finansta ve diğer birçok sahada çok önemli etkileri vardır. Yani amacımız, tam doğru noktada durmak veya en azından, belirsizlik hallerinde, durduğumuz yerin doğru olma ihtimalini en yükseğe çıkarmaktır. Bunu, bir örnekle analiz edelim.

Diyelim ki elimizde rastgele sıralanmış 16 aday ($N=16$) var: 5, 13, 1, 12, 16, 3, 4, 6, 15, 7, 9, 10, 11, 14, 2, 8

Bu adayların sayıları, onların kalitesini yansıtmaktadır. Yani ilk sıradaki 5 numaralı adayın kalite puanı da 5'tir. Örneğin bu örneklemde, eğer kusursuz bir strateji bulabilecek olsaydık, 16 numaralı adayı gördüğümüz anda onu seçebilmeliydik. Fakat gerçek bir örnekte, bu adayların puanlarını bilmediğiniz unutmayınız (sadece 16 kişi olduğunu biliyorsunuz). Gerçekte, olaylar şöyle gelişecekti:

• İlk aday geldi, görüştünüz. Görüşme sonucu ona bir puan verdiniz ve seçmediniz: 5.
• İkinci aday geldi, görüştünüz. Görüşme sonucu ona bir puan verdiniz ve seçmediniz: 13.
• Üçüncü aday geldi, görüştünüz. Görüşme sonucu ona bir puan verdiniz ve seçmediniz: 1.

Görebileceğiniz gibi, şu ana kadar 5, 13 ve 1 puanlık adayları gördünüz. Diğer adayların hangi sırada geleceklerini bilmiyorsunuz. Daha fenası, gerçekte en yüksek puanın 16 olduğunu da bilmiyorsunuz. Bu örnekte basitlik olsun diye her kişiye eşsiz ve sıralı puan verdik. Gerçekte 16 aday olduğunu ve bunların 100 puan üzerinden oylandığını düşünün. Şimdi yukarıdaki puanları verdiğinizi hayal edin: İlk kişi 5 puan aldı, ikincisi 13, üçüncüsü 1... Bir sonraki 90 puan mı alacak, 12 mi, 50 mi? 16 aday içerisinde karar vermeniz lazım ve geri dönemeyeceksiniz.

Eğer bunlardan birini rastgele seçecek olsaydınız, en iyi adayı seçme ihtimaliniz $1/N$ olurdu. Yani bu örnekte, 1/16 veya %6.25 olurdu. Eğer ilk gördüğünüz adayı işe alacak (veya onunla evlenecek) olsayınız, en iyi adayı seçme ihtimaliniz %6.25 olurdu; en tepede verdiğimiz 100 adaylı örnekte bu ihtimal %1 olurdu. Çünkü ilk gördüğünüz adayın, şans eseri 1. sırada olma ihtimali bu kadar olurdu. Bu ihtimali pekiştirebilir miyiz?

Üzerinde birazcık düşünecek olursanız, daha iyi bir stratejinin en azından birkaç adayı inceleyip, onlar hakkında bilgiler alıp, bu aday havuzu hakkında birazcık bilgilendikten sonra tercihte bulunmaktır. Böylece en azından ilk birkaç aday ile kendimize bir "referans" belirlemiş oluruz.

Ama sorun şu: Bu referans grubun büyüklüğü ne olacak? Yani örneklem boyutumuz ne olacak? Eğer 16 kişiden sadece 2'sine bakacak olursanız, adayların hepsi hakkında yeterince bilgi elde etmeniz mümkün olmayabilir. Eğer 13'üne bakacak olursanız, gereğinden fazla bilgi elde edip, arada fırsatları kaçırabilirsiniz. Bu durumda 5 kişiye mi bakmalı? 8 kişiye mi? 10 kişiye mi?

Ayrıca eğer sadece 2 kişiyi test edip de karar verecek olursak, muhtemelen en iyi aday, o 2 kişiden biri olmayacaktır. Dolayısıyla o 2 kişiden yola çıkıp, onları geçmeyi başaran ilk adaya ulaştığımızda (mesela 5. adayı seçtiğimizde), bu defa muhtemelen en iyi adayı kaçırmış olacağız; çünkü geriye çok kişi (11 diğer kişi) kalmaktadır. En iyi adayın o 11 kişiden biri olma ihtimali yüksektir.

Öte yandan, eğer 13 kişiyi inceleyip, sonra karar verecek olursak, bu defa en iyi adayı es geçmiş olma ihtimalimiz çok yüksektir; çünkü elimizde sadece 3 aday kalmıştır ve en iyi adayın bunlardan biri olma ihtimali düşüktür. Dolayısıyla problemin asıl zorluğu, örneklemin büyüklüğünü belirlemektedir.

İşte algoritmamız, bize şunu söyler:

1. Bir örneklem büyüklüğü belirle. Örneklem, kesinlikle seçmeyeceğin ama görüp puanlayacağın, böylece kendine referans alacağın aday sayısıdır.
2. O örneklem büyüklüğü ne olursa olsun, o kadar kişiyi test et, hiçbirini kabul etme.
3. Örneklem büyüklüğüne ulaştığında, o örneklem büyüklüğüne ulaşana kadar gördüğün en yüksek puanı geçmeyi başaran ilk kişiyi seç; daha fazla kişiyi görmeye çalışma.

Basitleştirilmiş Analiz

Analiz zorluğumuzu arttırmadan önce, aday havuzumuzu olabilecek en küçük sayıdan ($N=1$) başlatalım ve yavaş yavaş artıralım. Böylece nasıl bir patika izlediğimizi daha net görebiliriz.

N=1

Görebileceğiniz gibi bu, absürt derecede basit bir çözüme sahiptir. Eğer aday havuzumuz 1 kişiden oluşuyorsa, o kişinin aday havuzu içindeki en iyi kişi olma ihtimali %100 olacaktır.

N=2

Eğer aday havuzunuzda sadece 2 kişi varsa, elinizdeki problem bir yazı-tura probleminden ibarettir. Dolayısıyla bir strateji geliştirmeniz mümkün değildir. Eğer ilk kişiyi seçerseniz, o kişinin en iyi aday olma ihtimali %50'dir. Eğer ikinci kişiyi seçerseniz, bu kişinin de en iyi aday olma ihtimali %50'dir.

Ama daha önemlisi, takınabileceğiniz iki tutumun da birebir aynı sonucu verecek olduğunu görmektir:

• Eğer hiç örnekleme yapmazsanız (örneklem büyüklüğüne $S$ dersek, bu durumda $N=2,S=0$), ilk kişiyi seçmeye karar vermişsiniz demektir. Şansınız %50.
• Eğer 1 kişilik örnekleme yapmak isterseniz ($S=1$), 2. kişiyi seçmeye karar vermişsiniz demektir; çünkü başka kimse yoktur. Şansınız %50.
• 2 kişilik bir örnekleme yapamazsınız, çünkü seçebileceğiniz 3. bir kişi yoktur ve havuzdaki son kişiyi reddedemezsiniz.

N=3

Burada işler ilginçleşmeye başlamaktadır; çünkü artık stratejilerden söz edebilmeye başlarız. 3 adayın sizin için sıralanabileceği 6 farklı yol vardır (çünkü $3!=6$):

• 1, 2, 3
• 1, 3, 2
• 2, 1, 3
• 2, 3, 1
• 3, 1, 2
• 3, 2, 1

Bu durumda 3 strateji belirleyebilirsiniz:

• Eğer hiç örnekleme yapmamak ($S=0$), ilk kişiyi seçmeye karar vermek demektir; çünkü ilk kişiyi seçmeyecekseniz, en azından 1 kişilik örneklem yapmışsınız demektir. Bu durumda şansınız %33.3 olacaktır; çünkü 3 puanlık adayın 1. sırada olduğu 2 durum vardır (son 2 durum). Toplamda 6 durum olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla şansımız: $2/6=0.33$ veya %33.3.
• Eğer 1 kişiyi örneklerseniz ($S=1$), ikinci kişiyi seçmeye karar vermişsiniz demek değildir; çünkü örneklem olarak aldığınız o ilk kişinin puanını geçmeyi başaran ilk kişiyi seçeceksiniz ve bu, 2. kişi de olabilir, 3. kişi de... Bu durumda şansınız %50 olacaktır. Yukarıdaki 6 olasılık içinden, adım adım takip edelim:
• 1, 2, 3: Burada ilk adayı örneklediniz ve 1 puan verdiniz. 2. kişiyi denediniz ve 2 puan verdiniz. Bu sayı, ilk adayın aldığı 1 puandan yüksek olduğu için, algoritmamıza göre bu kişiyi seçeceksiniz ("örneklem içinde gördüğün en yüksek puanı geçen ilk kişiyi seç"). Ancak 2 puanlık kişi, en iyi aday değildir; dolayısıyla algoritma burada başarısız olmuştur.
• 1, 3, 2: Burada ilk adayı örneklediniz ve 1 puan verdiniz. 2. kişiyi denediniz ve 3 puan verdiniz. Bu sayı, ilk adayın aldığı 1 puandan yüksek olduğu için, algoritmamıza göre bu kişiyi seçeceksiniz. 3 puanlık kişi, gerçekten de en iyi adaydır; dolayısıyla algoritma burada başarılı olmuştur.
• 2, 1, 3: Burada ilk adayı örneklediniz ve 2 puan verdiniz. 2. kişiyi denediniz ve 1 puan verdiniz. Bu sayı, ilk adayın aldığı 2 puandan düşük olduğu için, algoritmamıza göre bu kişiyi seçmeyeceksiniz. Geriye kalan son kişiyi seçmek zorundasınız ve bu kişi, 3 puanlık kişi. Bu aday, gerçekten de en iyi adaydır; dolayısıyla algoritma burada başarılı olmuştur.
• 2, 3, 1: Burada ilk adayı örneklediniz ve 2 puan verdiniz. 2. kişiyi denediniz ve 3 puan verdiniz. Bu sayı, ilk adayın aldığı 2 puandan yüksek olduğu için, algoritmamıza göre bu kişiyi seçeceksiniz. 3 puanlık kişi, gerçekten de en iyi adaydır; dolayısıyla algoritma burada başarılı olmuştur.
• 3, 1, 2: Burada ilk adayı örneklediniz ve 3 puan verdiniz. 2. kişiyi denediniz ve 1 puan verdiniz. Bu sayı, ilk adayın aldığı 3 puandan düşük olduğu için, algoritmamıza göre bu kişiyi seçmeyeceksiniz. Geriye kalan son kişiyi seçmek zorundasınız ve bu kişi, 2 puanlık kişi. Ancak 2 puanlık kişi, en iyi aday değildir; dolayısıyla algoritma burada başarısız olmuştur.
• 3, 2, 1: Burada ilk adayı örneklediniz ve 3 puan verdiniz. 2. kişiyi denediniz ve 2 puan verdiniz. Bu sayı, ilk adayın aldığı 3 puandan düşük olduğu için, algoritmamıza göre bu kişiyi seçmeyeceksiniz. Geriye kalan son kişiyi seçmek zorundasınız ve bu kişi, 1 puanlık kişi. Ancak 1 puanlık kişi, en iyi aday değildir; dolayısıyla algoritma burada başarısız olmuştur.

Görebileceğiniz gibi, kalın harflerle işaretlediğimiz 3 durumda algoritmamız başarılı oldu, kalan 3 durumda başarısız oldu. Bu nedenle şansınız %50 olmaktadır.

Son bir durum daha var:

• Eğer 2 kişiyi örneklerseniz ($S=2$), üçüncü kişiyi seçmeye karar vermişsiniz demektir; çünkü 2 kişiyi örnekledikten sonra geriye zaten sadece 3. kişi kalmaktadır. Bu durumda şansınız %33 olacaktır; çünkü 6 olasılıktan sadece 3 numaranın en sonda olduğu 2 vakada algoritma sizi başarılı yapacaktır; diğer 4 durumda en yüksek puanlı kişiyi seçemeyeceksiniz. Bu da $2/6=0.33$ yani %33.3 başarı demektir.

Yani aday sayısı 3 iken ($N=3$), optimal örneklem stratejisi, 1 kişiyi örneklememizi ($S=1$) söylemektedir. Bunu yaptığımızda, başarı oranımız %50 olmaktadır.

N=4

Eğer elinizde 4 aday varsa, bunlarla 24 farklı şekilde karşılaşabilirsiniz. Bunları tek tek incelemeyeceğiz; ancak aşağıdaki tabloya bakarak, farklı örneklem büyüklüklerinde başarı oranlarını görebilirsiniz:

Data Genetics

Burada olan bitene hızlıca bakalım:

• En soldaki durumda, örneklem yapılmamaktadır ($S=0$), yani ilk kişi seçilmek zorundadır (seçilen aday kırmızıyla gösterilmiştir). Bu durumda, 24 vakadan 6'sında gerçekten de en yüksek puanlı aday seçilmektedir (bu dizilimler yeşille boyanarak gösterilmiştir). Başarı oranı: %25.
• İkinci durumda, 1 kişilik örneklem yapılmaktadır ($S=1$). Bu durumda, son adaya ulaşana dek, herhangi bir kişi seçilebilir; algoritma takip edilecektir (seçilen aday, yani örneklemde elde edilen puanı geçmeyi başaran ilk aday, kırmızıyla gösterilmiştir). Bu durumda, 24 vakadan 11'inde gerçekten de en yüksek puanlı aday seçilmektedir (bu dizilimler yeşille boyanarak gösterilmiştir). Başarı oranı: %45.83.
• Üçüncü durumda, 2 kişilik örneklem yapılmaktadır ($S=2$). Bu durumda, son adaya ulaşana dek, herhangi bir kişi seçilebilir; algoritma takip edilecektir (seçilen aday, yani örneklemde elde edilen puanı geçmeyi başaran ilk aday, kırmızıyla gösterilmiştir). Bu durumda, 24 vakadan 10'unda gerçekten de en yüksek puanlı aday seçilmektedir (bu dizilimler yeşille boyanarak gösterilmiştir). Başarı oranı: %41.66.
• En sağdaki ve son durumda, 3 kişilik örneklem yapılmaktadır ($S=3$). Bu durumda, elimizde 4 aday olduğu için, sadece son aday seçilebilecektir (seçilen aday, kırmızıyla gösterilmiştir). Bu durumda, 24 vakadan 6'sında gerçekten de en yüksek puanlı aday seçilmektedir (bu dizilimler yeşille boyanarak gösterilmiştir). Başarı oranı: %25.

Görebileceğiniz gibi, bu örnekte optimal strateji yine 1 kişilik örneklem yapmak ve bu sayede %45.83 başarıya ulaşmaktır.

N=5

Burada artık 120 farklı kombinasyon olduğu için göstermek biraz zorlaşmaktadır; ancak eğer bunu yapacak olursanız, şöyle bir başarı dağılımı görürsünüz:

• $S=0$ durumunda $24/120=0.2$ veya %20 başarı oranı.
• $S=1$ durumunda $50/120=0.4166$ veya %41.66 başarı oranı.
• $S=2$ durumunda $52/120=0.4333$ veya %43.33 başarı oranı.
• $S=3$ durumunda $42/120=0.35$ veya %35 başarı oranı.
• $S=4$ durumunda $24/120=0.2$ veya %20 başarı oranı.

Burada daha büyük bir örneklem seçmemiz gerekmektedir: 5 adaydan 2'sini denediğimizde, en yüksek başarı oranına ulaşabilmekteyiz.

N=6+

6 ve üzeri sayıdaki adaya çıkıp aynı analizi yaptığımızda, optimal örneklem sayımız 2 olmakta ve başarı oranımız 720 farklı olasılıktan 308 tanesinde olmaktadır; yani %42.77 başarı oranına ulaşabilmekteyiz. 7 ve sonrasını ise aşağıdaki tablodan görebilirsiniz:

Data Genetics

Burada sütunlar, aday sayısının 7'den 12'ye kadar arttığı durumları göstermektedir. Satırlar ise, her bir durumda alınabilecek örneklem sayısını göstermektedir. Yeşil ile boyanan hücreler, optimal stratejiyi ve o stratejinin uygulanması halinde alınan başarıyı göstermektedir. Hücreler içindeki kesirli sayıların payları, algoritmamızın adayları doğru tespit edebildiği sıralanma sayısını, paydası ise aday sayısından doğan olası dizilim sayısını göstermektedir. İki sayının birbirine bölümünden elde edilen yüzde, algoritmanın başarı oranını vermektedir.

Buradan çıkarılması gereken en önemli ders, aday sayısı arttıkça alınması gereken örneklem sayısının da artmasıdır. Bu başarı oranlarını 20'ye kadar devam ettirecek olursak:

Data Genetics

Bu tabloda $n$ (veya $N$) aday sayısını, $k$ (veya $S$) örneklem sayısını, $k/n$ örneklem sayısının aday sayısına oranını, son sütun ise algoritmanın başarı oranını vermektedir.

Görebileceğiniz gibi, aday sayısı arttıkça, hem almamız gereken örneklem büyüklüğü değişmektedir, hem de algoritmanın başarı oranı dikkate değer bir şekilde azalmaktadır. Bu gidişatı grafikle gösterecek olursak:

Data Genetics

Görebileceğiniz gibi, her iki gidişat da belli bir değere yakınsamaktadır. Aday sayısı içinden almamız gereken örneklemin büyüklüğü biraz daha kaotik gözükmektedir; ancak yine de belli bir değere yakınsamaktadır. Başarı oranı ise çok daha belirgin bir şekilde bir değere yakınsamaktadır. Her iki sayının da yakınsadığı değer, %36.79'dur veya daha kolay akılda kalması adına, %37'dir.

Sonuç

Elbette bu %37 sayısının bir nedeni vardır: Bu sayı, meşhur Euler Sayısı olarak bilinen $e$ sayısı ile ilişkildir. Bu ilişkiyi anlayabilmek için, problemin genel çözümünü yapmanız gerekir (ki burada işi daha fazla teknikleştirmemek adına buna girmeyeceğiz). Ancak buraya tıklayarak Euler Sayısı'nı biraz daha yakından tanımanızı öneririz.

Kuşkusuz bu problem, gerçek hayatı tam olarak modelleyememektedir. Bunun sebebi, gerçek hayatın bu problemin sınırlarına kıyasla çok daha karmaşık ve nüanslı olmasıdır. Örneğin:

1. İnsanları, onları ne kadar istediğinize bağlı olarak düzgünce puanlayıp sıralamanız çok zordur. İki kişiyi birbiriyle nicel olarak kıyaslamak pratik değildir.
2. İnsanların eş veya çalışan seçimindeki en büyük gayesi, o pozisyonu en iyi şekilde doldurabilecekleri adayı belirleme ihtimallerini maksimize etmek değildir. Daha ziyade insanların peşinde olduğu optimizasyon, o kişilerin "istenebilirlik" miktarını arttırabilmektir. Bu ikisi ilişkilidir; ancak aynı şey değildir.
3. Çoğu durumda insanlar ayrılmak konusunda burada bahsettiğimiz kadar berbat değillerdir. Birçok ayrılan çift tekrar bir araya gelebilir. Birçok işveren, önce reddettiği birine tekrar iş önerebilir.
4. Aday havuzunun özellik dağılımından tamamen bihaber olmanız pek mümkün değildir. Zamanınızı geçirdiğiniz yerler, birlikte olduğunuz insanlar, verdiğiniz iş ilanı, o andaki potansiyel aday havuzu ve benzeri detaylar genellikle kolayca erişilebilir ve değiştirilebilirdir.
5. Aday havuzunun büyüklüğünü kesin olarak bilmeniz çok zordur. Ayrıca bu havuzun büyüklüğü zaman içinde değişebilir.
6. Kişilerle yaptığınız görüşmeler ve buluşmalar, genellikle onların kim olduklarını ve ne kadar arzulanabilir olduklarını tam olarak yansıtmaz. İnsanlar aldatıcı olabilirler veya zaman içinde değişebilirler.
7. Kimi zaman seçmeniz gereken örneklem büyüklüğüne ulaşamazsınız; çünkü adayları test etmek masraflı veya aşırı zaman alıcı olabilir.
8. Duruma bağlı olarak bir pozisyona birden fazla kişiyi alabilirsiniz; hatta teknik olarak, aynı anda birden fazla kişiyi test edebilirsiniz.
9. Zaman içinde sizin değerlendirme kriterleriniz de değişebilir. Örneğin yaşınız ilerledikçe, arzu edilebilir bulduğunuz kişilerin nitelikleri değişecektir.

Dolayısıyla gerçekte en iyi adayı belirleme ihtimaliniz %37'nin çok ama çok daha üzerindedir. Ancak matematik, bize daha formal ve sistemli düşünmeyi öğreterek, gerçek hayattaki bu nüansları fark etmemizi sağlayabilir ve onları bu şekilde özel ve farklı kılan özelliklerin değerini takdir etmemize yardımcı olabilir. Modellerin nihai amacı, gerçekte olanı olabildiğince isabetli bir şekilde yansıtmak olsa da, kimi zaman oraya ulaşmaya çalışırken de bize çok şeyler öğretebilirler.