Robertson-Walker Metriği Nedir? Pi Sayısı Hangi Koşullar Altında Sabittir?

Robertson-Walker metriği, kozmolojide evrenin homojen ve izotropik olduğu varsayımı altında sıklıkla kullandığımız bir metriktir. Yapısal olarak küresel kutupsal koordinatlara oldukça benzer, fakat evrenin geometrisine dair bazı ekler barındırır.

Koordinatlar

Gündelik yaşantımızda, iki nesne arasındaki uzaklığı tanımlamak oldukça kolaydır. En basitinden bir koordinat sistemi yardımıyla uzaklık tanımlayabiliriz. Kartezyen, yani $(x,y,z)$ koordinat sistemi üzerinde iki parçacığı yerleştirdiğimizi düşünelim. Bu iki parçacığın $(x,y,z)$ koordinatları arasındaki uzaklık farkları $(dx,dy,dz)$ ise, bu durumda aralarındaki mesafe $ds$'yi aşağıdaki şekilde ifade ederiz:

$d{s}^2=d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2$

Bu tanımlama çok sıradan bir tanımlamadır ve kartezyen koordinatlarda çalışmak, her ne kadar basit gibi görünse de aslında oldukça yorucudur. Bunun yerine küresel kutupsal koordinatlar üzerinden hareket etmek çok daha pratiktir. Parçacığın orijinden uzaklığı $r$, $y$ ekseni ile yaptığı açı $\varphi$ ve z ekseni ile yaptığı açı $\theta$olsun. Böylelikle iki parçacık arasındaki uzaklık, bir uzunluk birimi ve iki açı cinsinden kolaylıkla ifade edilebilir. Bu durumda benzeri bir yaklaşımla, iki parçacık arasındaki mesafeyi aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz.

$d{s}^2=d{r}^2+r^{2}d{\theta }^2+r^{2}si{n}^2(\theta )d{\varphi }^2$

Buraya kadar her şey oldukça güzel. Böylelikle herhangi bir noktadaki iki parçacık arasındaki mesafeyi rahatlıkla ölçebiliriz öyle değil mi? Aslında hayır. Çünkü tüm bunlar, düz bir uzay üzerinde geçerlidir. Fakat evren için bir geometriden bahsetmek durumundayız. Yani bir noktadan diğerine dümdüz gittiğinizi sansanız da aslında dümdüz gitmiyor olabilirsiniz. Tıpkı Dünya üzerinde hareket etmek gibi... Eğer yeterince ilerlerseniz, başladığınız noktaya geri dönersiniz, çünkü Dünya küresel bir geometriye sahiptir. Bu yüzden, evren için işin içerisine geometrisini de dahil eden bazı parametreler eklemeliyiz.

Robertson-Walker Metriği

Evrenin izotropik ve homojen olduğu varsayımı altında, olası tek bir metrik söz konusudur. Elbette küçük ölçeklerde farklı konuşulabilir, fakat büyük ölçekte dikkate almamız gereken bazı şeyler vardır. Bu metrik, yani Robertson-Walker metriği, aslında küresel kutupsal koordinatların biraz değiştirilmiş halidir.

$d{s}^2=a(t{)}^2(\frac{d{r}^2}{1-k{r}^2}+r^{2}d{\theta }^2+r^{2}si{n}^2(\theta )d{\varphi }^2)$

Burada $a(t)$ basitçe; evrenin kendi üzerine çöküp çökmeyeceğini ya da tüm evrenin genişleyip genişlemeyeceğini ifade eden ölçek faktörüdür. $k$ ise, evrenin geometrisini ifade eder.

Bir an için $a(t)$'nin sabit olduğunu düşünüp, $k$'nın, iki parçacık arasındaki mesafe için durumu nasıl değiştireceğini ele alalım. Çünkü $a(t)$ zamanın bir fonksiyonudur ve aynı anlarda değeri aynıdır. Bu yüzden, geometriyi değerlendirmek adına onu görmezden gelebiliriz.

Eğer $k=0$ olursa, bu durumda ilk terim $d{r}^2$ olacak ve denklemimiz $a(t{)}^2$ ifadesi hariç, küresel kutupsal koordinatlardaki formuna dönecektir. Böylesi bir durumun düz evren için geçerli olduğuna dikkat edin. Zaten az önce de yukarıda bahsettiğimiz formülasyonun, düz bir uzayda geçerli olacağını söylemiştik. Yani küresel kutupsal koordinatlarda yaptığımız mesafe ölçümü, herhangi bir eğriliği barındırmıyordu. Bu yüzden $k=0$ için, küresel kutupsal koordinatlardaki formun aynısına ulaştık. Yani $k=0$ için, düz bir evren söz konusudur. $k<0$ ve 0">$k>0$ için durum biraz daha farklıdır ve bu durum, $\pi$ sayısının sabit olmamasına neden olmaktadır! Yani $\pi$ sayısı, yalnızca düz bir evrende sabit bir sayıdır.

Geometriye Göre $\pi$ Sayısının Değişimi

Tekrar $a(t{)}^2$ terimini göz ardı edelim. Çünkü bu fonksiyon zamanın bir fonksiyonudur, dolayısıyla aynı zamanlar için aynı değeri alacağından $k$'nın değişimini incelemek için bunu göz ardı edebiliriz. Bu durumda Robertson-Walker metriği, küresel kutupsal koordinatlara çok benzemektedir. Bir tek fark vardır, o da ilk terimde paydada bulunan $1-k{r}^2$'dir. Dikkat ederseniz, denklemin açısal kısımları tamamen aynıdır.

Eğer 0">$k>0$ ise, bu durumda $1-k{r}^2$ küçük bir değer alır ve bundan dolayı $d{s}^2$ büyük bir değer alır. Yani böyle bir geometri üzerinde bir çember alırsanız, çevresi düz bir geometrideki çemberle tamamen aynı olacaktır, fakat $r$ değişecektir. Çevre aynı kalır, çünkü denklemin açısal kısımları değişmemekte, yalnızca uzaklık birimi ($r$) değişmektedir. Burada $r$ büyük bir değer aldığına göre, çevrenin aynı kalması için $\pi$ daha küçük bir değer almalıdır.

$k<0$ durumunda ise, tam aksi bir durum gerçekleşir ve $\pi$ daha büyük değerler alır. Oldukça garip bu durumun, gerçekten büyük ölçeklerde gerçekleştiğine dikkat edin.

Belirtmek gerekir ki bu durum elbette bir kabule dayanmaktadır. Bunu fiziksel bir gerçeklik değil, geometrinin ne kadar ilginç yorumlamalara neden olabileceğini göstermeye çalışan bir metafor olarak görmelisiniz.

Detaylı Çözüm

Bir çember üzerinde $d\theta$ kadar bir birim alalım. Bu durumda $r$ sabit olduğu için $dr=0$ olur, aynı zamanda $\varphi$ de sabit olacağından $d\varphi =0$ elde ederiz. Bu durumda elimizdeki metrik şöyle olacaktır:

$d{s}^2=a(t{)}^2{r}^{2}d{\theta }^2$

Terimlerin kareleri üzerinden bir sadeleştirme yapacak olursak şu eşitliği elde ederiz:

$ds=a(t)r_{0}d\theta$

Buradaki $r$ değeri için $r_0$ diyelim ve bu bizim referans değerimiz olsun. Çemberin çevresi için $c$ dersek, birim açı elemanının tüm çember boyunca integrallenmesi ile $c$ değerini bulabiliriz:

$c={\int }_0^{2\pi }a(t)r_{0}d\theta$

Böylelikle çemberin çevresi, şu şekilde bulunur:

$c=2\pi r_{0}a(t)$

Şimdi de aynı şeyi, yarıçap boyunca ilerleyerek birim uzaklık elemanı $dr$ üzerinden yapalım. Çemberin çapı $d$, çemberin çevresi $c$ ve $\pi$ cinsinden $d=c/\pi$ olarak ifade edilir. Eğer Robertson-Walker metriğine tekrar geri dönersek, birim açı elemanları sıfır olacağından, sadece ilk terim kalır. Bu durumda $d$, şöyle ifade edilir:

$d=2{\int }_0^{r_0}\frac{a(t)dr}{\sqrt{(1-k{r}^2)}}$

Bu integralin çözümünden $k<0$ için $arcsinh$, 0">$k>0$ için $arcsin$'e bağlı bir ifade gelir.

Eğer 0">$k>0$ ise denklem şu hale gelir:

$\pi ={\pi }_0\frac{r\sqrt{k}}{arcsin(r\sqrt{k})}$

Eğer$k<0$ ise, denklem aşağıdaki şekildedir. Denklemin çözüm koşulu da budur, aşağıdaki denklemde $k$ için pozitif değerlerin kullanılması gerekir.

$\pi ={\pi }_0\frac{r\sqrt{k}}{arcsinh(r\sqrt{k})}$

Sonuç

Bu durumda $\pi$ sayısı, yalnızca düz bir evren ($k=0$) için, sabit bir sayıdır. $k<0$ ve 0 ">$k>0$için $\pi$, $r$'ye bağlı olarak açıkladığımız gibi bir değişim gösterecektir. 0">$k>0$ için giderek küçülecek, $k<0$ için ise giderek büyüyecektir. Neden büyük ölçeklerin ele alındığını da böylece görmüş olduk. Çünkü $r$'nin küçük değerleri için fark çok az olmaktadır.

Bu duruma yol açan temel etmenin, metrikteki $k{r}^2$ ifadesinden geldiğine dikkat edin. $k=0$ olduğu durumda $r$'ye bağımlılık yok olur. Dolayısıyla $r$ değişse de $\pi$ değişmez. Fakat $k$'nın farklı değerlerinde $r$'ye bağlılık vardır ve bu bağlılık, $k$'nın aldığı değerlere göre aşağıdaki gibi bir grafik verir.

Yukarıdaki grafikte, her üç eksenin birbirine dik olduğuna dikkat edin. Bu sayede Pisagor eşitliğini kullanabildik. Belirtmek gerekir ki açılar, bakış doğrultumuzdan ötürü 90 derece değil gibi görünse de gerçekte bu üç doğru $(x,y,z)$ birbirine diktir.