Rastlantısallığın ve Determinizmin Maddenin Evrimindeki ve Kaos Teorisi'ndeki Rolü

İlk yazımızda Kaos Teorisi’ne giriş yapmıştık. Sistemlerin davranışındaki kaotikliği anlayabilmek için determinizm ve rastlantısallık kavramlarına değinmiştik. Bu yazımızda ise kaotik sistemlerdeki ortak özellik olan nonlineerlik (doğrusal olmama) kavramından, sistemdeki küçük değişikliklerin büyük sonuçlar yaratacağından ve bunların sistemin davranışını periyodiklikten aperiyodikliğe yani kaosa götüreceğinden bahsedeceğiz.

Lineerlik ve Nonlineerlik

Bu iki kavram matematikte ve matematiği dil olarak kullanan temel bilimlerde oldukça fazla öneme sahiptir. Önreğin fizikçiler, doğadaki olayları somutlaştırabilmek ve anlayabilmek için matematikten yararlanırlar. Dolayısıyla sistemin davranışını açıklayan parametreleri denklemlerle ifade ederler. İşte bu kullanılan denklemler ya lineerdir ya da nonlineerdir.

Pixabay

Herhangi bir sistem düşünelim: Bu sisteme bir “etki” verdiğimizde, sistemden bir “tepki” alırız. Eğer ki sisteme verdiğimiz etkiyi iki katına çıkarttığımızda sistemden aldığımız tepki de iki katına çıkıyorsa sistemin davranışının ve onu açıklayan denklemlerin “lineer” yani “doğrusal” olduğunu söyleyebiliriz.

Eğer sisteme verdiğimiz etki iki katına çıkartıldığında sistemden aldığımız tepki iki kat değilse (daha büyük veya daha küçük ise) sistemin davranışı ve onu açıklayan denklemler “nonlineer” yani doğrusal değildir.

Matematik dilinde ifade etmek için bir x değişkeni tanımlayalım:

$x=(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$

Bu x değişkenini bir fonksiyonda kullanalım:

$y_n=f_n(x)$

$n=1,2,3,...$

Bu tanımladığımız denklem sadece x değişkenine bağlı olup x’in sadece birinci kuvvetini içeriyorsa lineer denklemdir.

Eğer x’in 1'den farklı kuvvetini ($x^2,x^3,x^n$ ) ya da başka bir değişkenle çarpımını ($x_2\cdot x_3$ ) içeriyorsa nonlineer denklemdir.

Fizikte lineer ve nonlineer denklemleri kullanan sistemlere örnek vererek konuyu biraz daha açalım.

Lineer Sistemlere Bir Örnek: Yay ve Basit Harmonik Hareket

Pixabay

Klasik mekanikte bir cismin hareketi Newton’un İkinci Hareket Yasası ile açıklanır. Bu yasaya göre, kütlesi m olan cisme bir F kuvveti uygulanırsa, cisim kütlesi oranında bir ivme “a” kazanır.

$F=m\cdot a$

Formüldeki ivmeyi (a), cismin konumu olan x parametresine bağlı yazmak istersek;

$a=\genfrac{}{}{0ex}{}{d^{2}x}{d{t}^2}$

olacaktır. O halde formül,

$F=m\cdot a=m\genfrac{}{}{0ex}{}{d^{2}x}{d{t}^2}$

olacaktır.

Şimdi ise basit harmonik hareketi tanımlayalım: Yay sabiti k olan herhangi bir ideal yay sistemi ele alalım. Yayın ucuna m kütleli bir cisim koyup yayı x kadar sıkıştrdığımızda sistem ilk durumuna, yani denge konumuna dönmek isteyecektir. İşte cismin denge konumundan itibaren yaptığı bu hareket basit harmonik harekettir. Sistemi denge konumuna geri götüren kuvvet ise “Hooke Yasası” dediğimiz yasayla bulunur. Yay sabiti k olan yayda, cismi x kadar sıkıştırdığımızda oluşacak olan F kuvveti

$F=-k\cdot x$

ile bulunur.

Sistemin zamana bağlı hareket denklemini bulmak için Newton’un Hareket Yasası ile Hooke Yasası’nı birbirlerine eşitlemeliyiz:

$m\genfrac{}{}{0ex}{}{d^{2}x}{d{t}^2}=-k\cdot x$

$\genfrac{}{}{0ex}{}{d^{2}x}{d{t}^2}=-\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{m}x$

İşte artık sistemin zamana göre hareket denklemini bulmuş olduk. Bu denklemi incelediğimizde sistem sadece x’in birinci kuvvetine ($x^1=x$ ) bağlıdır (k ve m sabit). Dolayısıyla sistem lineer bir sistemdir.

Şimdi ise bu sistemin lineer olduğunu grafik üzerinde de görelim:

Anıl Kocabaldır - Matlab

Burada yay sistemindeki bir cismin konumu eşit miktarlarda arttırılmıştır. Grafiğe bakınca konumdaki bu eşit artışlar, sistemdeki kuvveti de eşit miktarlarda artırmıştır.

Diğer bir grafiğimiz ise cismin konumuna bağlı ivme grafiğidir:

Anıl Kocabaldır - Matlab

Bu grafik de, aynı şekilde, konumdaki eşit miktarlardaki artışa bağlı olarak ivme büyüklüğünü vermektedir. Sonuç olarak her iki grafik de lineerdir, yani doğrusaldır.

Nonlineer Sistemlere Bir Örnek: Akışkanlardaki Direnç Kuvveti

PLOS One

Bir akışkan ortam içerisinde ilerleyen cisimlere akışkan ortam (hava veya su) tarafından, hareketine zıt yönde bir direnç kuvveti etki eder. Cismin konumu x, akışkan ortama ait katsayı b ise, akışkan ortam tarafından cisme etki eden direnç kuvveti

$F=b\cdot x^2$

ile bulunur. Yukarıdaki gibi Newton’un İkinci Hareket Yasası’nı uygularsak;

$m\genfrac{}{}{0ex}{}{d^{2}x}{d{t}^2}=b\cdot x^2$

$\genfrac{}{}{0ex}{}{d^{2}x}{d{t}^2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{m}{x}^2$

ifadesi bulunur. Bu şekilde sistemin zamana göre hareket denklemini elde ederiz. Bu denklemi incelediğimizde sistem, x’in ikinci kuvvetine bağlıdır ($x^2$). Dolayısıyla sistem nonlineer bir sistemdir.

Bu nonlineerliği grafiksel olarak inceleyelim:

Anıl Kocabaldır - Matlab

Burada ise cismin konumunda meydana gelen eşit artışlar, sisteme etki eden direnç kuvvetinde eşit bir artış meydana getirmemektedir; o halde bu sistem lineer (doğrusal) değil, nonlineer bir sistemdir.

Bunu diğer grafiğimizde de görüyoruz:

Anıl Kocabaldır - Matlab

Dolayısıyla her iki grafik de bize sistemin nonlineer denklemlerden oluştuğunu ve davranışın nonlineer olduğunu göstermektedir.

Kaos Teorisi’nde Nonlineer Olmanın Önemi

Yukarıda iki örnekte de amacımız sistemlerin ya da cisimlerin zamana bağlı hareket denklemlerini (time evolution equations) çıkarmaktı. İlk örneğimiz olan basit harmonik harekette zamana göre hareket denkleminin lineer; diğer örnek olan akışkanlardaki direnç kuvvetinde ise denklemin nonlineer olduğunu gördük.

Kaos Teorisi’nde zamana bağlı bütün denklemler nonlineerdir. Ama nonlineer denklemlere sahip olan her sistemde kaos gözükmez (Bunun nedenini ileriki yazılarda ele alacağız).

Lineer sistemlere geri döndüğümüzde ise bu sistemlerde de kaos gözükmez. Bunu bir örnekle açıklayalım: İlk örneğimiz olan yay sisteminde, sistemin davranışını tanımlayan parametrelerden biri (mesela yay sabiti "k") değiştiğinde sistemin salınımındaki frekans ve genlik değişecektir. Fakat davranışın doğası değişmeyecektir. Sistem hala “Basit Harmonik Hareket” denklemlerine uygun şekilde davranacaktır.

Nonlineer sistemlere geçtiğimizde ise sistemin davranışını tanımlayan parametrelerden herhangi birinde meydana gelecek oldukça küçük bir değişiklik, sistemin zaman içindeki niteliksel ve niceliksel evriminde dramatik ve ani değişiklikler meydana getirecektir. Mesela parametrenin bir değerinde sistem “periyodik” (yani kendini tekrarlayan) hareketler yaparken, küçücük bir değişim ile sistem aniden tamamen “aperiyodik” (yani kendini asla tekrarlamayan) hareket yapmaya başlayabilir (Bu tür davranışlara ileriki yazılarda değineceğiz).

Pixabay

Aslında biz bu kaotik ve aperiyodik sistemlere fazla uzak değiliz. Çünkü evrendeki sistemlerin çoğu nonlineer denklemlerle ifade edilmektedir. Havadaki moleküllerin hareketinden gezegenlerin arasında başıboş dolaşan göktaşlarına, elektronik devrelerden sinir hücrelerindeki faaliyetlere, hava durumu tahmininden iklime, borsaya, ekonomiye, doğa olaylarına kadar pek çok sistem hep nonlineer denklemlerle ifade edilmektedir. Aslında bu örnekler bize kaotik sistemlerin azınlıkta değil, bilhassa oldukça fazla sayıda olduğunu göstermektedir.

Pixabay

Nonlineerlik Ve Kaos

Artık biliyoruz ki nonlineer sistemlerdeki parametrelerin herhangi birinde meydana gelecek olan en ufak bir değişim, sistemin evriminde oldukça dramatik ve karmaşık değişikliklere sebep olabilmektedir. Ve hatta bu maddenin ya da cismin zaman içindeki evrimi aperiyodikleşmeye, yani bir önceki ile uyuşmayan karakteristikte davranmaya başlamaktadır. İşte biz bu sistemin davranışında meydana gelen karmaşık ve aperiyodik davranışlara “kaotik” diyoruz. Şimdi ise sistemin davranışını buna iten nedenlere odaklanacağız. Bunun ilk nedeni, ilk yazımızda da belirttiğimiz kavram olan “rastlantısallık” faktörüdür.

Kaotik rastlantısallık dediğimiz etkileri, bazı durumlarda, sistemlerin davranışını betimleyen zaman-evrim denklemlerinde belirli bir düzende yazabiliyoruz. Diğer bir deyişle, sistemin davranışını etkileyen faktörleri bazı durumlarda denklemlere katabiliyoruz. Ama unutmayalım ki, bu etkiler de bir başka sisteme ait değişkenler, ve onlar da bir başka sistemin... Bu böyle uzatılabilir. Dolayısıyla bütün etkileri sistemin içerisine bir denklem olarak yazabilmek ve onları hesaplayabilmek “rastlantısallık” kavramından dolayı mümkün olamaz. Dolayısıyla gözden kaçan etkiler olacaktır.

Ama biliyoruz ki gözden kaçırdığımız ve hesaplayamadığımız bu etkiler, sistemin davranışında oldukça fazla öneme sahiptir. Her ne kadar küçük olsalar dahi bu etkiler, maddenin (sistemin) evriminde uzun süreler düşünüldüğünde tahmin edilemeyecek büyük ve ani değişimler yaratmaktadır. Bu değişimler aslında sistemin bir başka özelliği olan deterministik olmasından kaynaklanır. Yani rastlantısallık ve determinizm kavramları aslında çatışan kavramlar değil, birbirlerini besleyen, iç içe geçmiş kavramlardır (şimdilik, "fizikte böyledir" diyelim). Biz bu “rastlantısal” etkilere “gürültü” (noise) diyeceğiz.

Bu "gürültü" kavramıyla aslında fizikte şu kastedilmektedir: Sistemin zaman içindeki evriminde, kontrol dışı olan dış etkilerden dolayı, sistemin davranışı karmaşık (kompleks) bir hal almaya başlar. Bu kontrol dışı etkiler, mesela elektriksel sistemlerdeki ani sıçramalar, mekanik sistemlerdeki titreşimler, termal sistemlerdeki sıcaklık değişimleri gibi faktörler olabilir. Bunların değişimleri de kontrol dışı, yani raslantısal olabilmektedir. (Hepsini kesin olarak bilmek mümkün olmayıp istatistiksel hesaplamalarla sadece ortalama etkilerini kestirebilmek mümkündür.) Bunları düşündüğümüzde ve bir sistemi incelediğimizde sistemin davranışı raslantısal bir hal almaktadır.

Bu gürültü ve kaotik davranışlar sadece fizikte meydana geliyor diye düşünüyorsanız, yanılıyorsunuz. Diğer temel bilimlerde de bu kavram ve bu olay yer almaktadır. Mesela canlı bilimi olan biyoloji bilimine bakalım: Canlı sistemler ya da organizmalar milyarca atom ve molekülün bir araya gelip oluşturduğu karmaşık sistemlerdir. Dolayısıyla bu kadar fazla atomun ve molekülün birbirleri ile “kontrol dışı ve tamamen rastlantısal” olan etkileşimlerini düşündüğümüzde büyük resim daha iyi anlaşılacaktır. Ki bu durum sadece biyoloji ile de sınırlı değildir. Kimya ve diğer mühendislik alanlarını düşünün: Hepsinde ortak özellik, ister canlı olsun ister cansız olsun, milyarlarca alt sistemin (atomların ve moleküllerin) bir araya gelmesi ile oluşan sistemlerdir. Sonuç olarak, bu sistemlerdeki kontrolümüz dışında meydana gelecek değişimlerin ani ve devasa sonuçlar oluşturacağını söylemek zor değil.

Pixabay

Yukarıda saydığımız bu kontrol dışı etkiler ve salınımlar fizikte teknik olarak birer “serbestlik derecesi” (degree of freedom) olarak adlandırlır. Verdiğimiz örneklerdeki tüm sistemler birden fazla sayıda etkiye, yani “serbestlik derecesi”ne sahip sistemlerdir. İşte bu oldukça fazla sayıdaki serbestlik derecesi bir araya geldiğinde nonlineer sistemlerin davranışı kaotik ve aperiyodik olmaktadır.

Gelecek yazılarımızda ise sistemin zaman içindeki evriminin kaotikleşebilmesi ve aperiyodikleşebilmesi için fazla sayıda serbestlik derecesine gereksinim duyulmadığını, az sayıda serbestlik derecesi ile de kaotikliğin mümkün olabileceğine değineceğiz.