Matematiksel Morfogenez: Kutupsal Eğriler Nedir?

Adını benzediği kalp şeklinden alan ve diğer adıyla "yürek eğrisi" olan kardiyoitler, çiçek formundaki güller, spiraller gibi eğriler; kutupsal fonksiyon grafikleri kapsamına girer. Bu açıdan öncelikle kutupsal fonksiyonları anlamak, karmaşık eğrileri analiz etmek için çok önemlidir.

Kartezyen koordinat sistemi, yatay ve dikey mesafeler cinsinden yolları tanımlamak için kullanışlıyken kutupsal koordinat sistemi, belirli bir noktadan mutlak mesafe ve açı cinsinden yolları tanımlamak için daha kullanışlıdır. Kepler'in Gezegen Hareketleri İlkeleri, gezegenlerin güneşin etrafında eliptik yörüngelerde hareket ettiğini savunur. Gezegenler sürekli hareket halindelerdir ve bu nedenle herhangi bir gezegenin kesin konumunu belirlemek yalnızca bir an için geçerlidir. Başka bir deyişle bir gezegenin yalnızca anlık konumunu, $(r,\Theta )$ ile temsil edilen kutupsal koordinat sisteminin bir uygulamasıyla belirleyebiliriz. Bu sebeple işe, kutupsal koordinat sistemini tanıyarak başlayabiliriz.

Kutupsal Koordinat Sistemi

Kutupsal koordinat sistemindeki her nokta $(r,\Theta )$ ile gösterilir. Burada $r$, orijinden noktaya olan mesafeyi (radyal uzaklık); $\Theta$ ise $x$ ekseniyle pozitif, saatin ters yönünde, açıyı (açısal koordinat) temsil eder.

Kartezyen koordinat sistemindeki $(x,y)$ noktasına aşağıdaki dönüşümü yaparak kutupsal koordinat sistemine geçilebilir:

$x=rcos\Theta$

$y=rsin\Theta$

$r^2=x^2+y^2$

$tan\Theta =\frac{y}{x}$

Burada $tan\Theta =y/x$ ( veya $\Theta =arctany/x$) dönüşümü için $\Theta$'nın hangi çeyrekte olduğunu dikkate almak gerekmektedir.

Aynı özdeşlikler kullanılarak kutupsal koordinatlardan kartezyen koordinatlara geçiş yapılabilir.

Kutupsal Eğri Tipleri

Kutupsal eğriler oluşturulurken farklı şekiller ortaya çıkar. $r$ ve $\Theta$ cinsinden herhangi bir denklem, kutupsal eğri olarak çizilebilir ve dolayısıyla bu şekillerin sınırsız çeşidi vardır. Başlangıç için verilebilecek en basit örnekler doğru ve çember denklemleridir.

Örnekteki gibi kutuptan geçen bir doğrunun genel denklemi $\Theta =\alpha$ şeklindedir. Buradaki $\alpha$ açısı, doğrunun $x$ ekseniyle yaptığı açıdır. Bunun dışında hiçbir değişken içermemektedir. Bu, doğrunun sonsuza kadar uzarken $\alpha$ açısının sabit kalacağı anlamına gelir. Ayrıca herhangi bir k tamsayısı için $\Theta =\alpha +\pi k$ doğrusu ile $\Theta =\alpha$ doğrusunun aynı olduğunu belirtmekte fayda var.

Burada kutup merkezli çemberin genel denklemi, $a\in$ ${\mathbb{R}}^{+}$ olmak üzere; $r=a$ şeklindedir ve $a$, çemberin yarıçapıdır.

Kardiyoit

Kardiyoit, bir daire üzerinde sabitlenmiş bir noktanın aynı yarıçapa sahip bir başka daire etrafında yuvarlanmasıyla oluşur. Ortaya çıkan şekil kalbe benzetilmektedir.

Kardiyoit eğrilerini oluşturan genel denklemler $r=a\pm bcos\Theta$ ve $r=a\pm bsin\Theta$

şeklindedir ve $\frac{a}{b}=1$ olmak üzere $a,b\in {\mathbb{R}}^{+}$ olmalıdır.

Burada a ve b kardiyoitin boyutunu etkileyen sabitlerdir. Kardiyoitin özellikleri içinde tek bir sivri noktasının olması ve kutupsal eksene göre simetrik olması vardır.

Lemniskat

Lemniskat, sonsuzluk sembolüne benzeyen bir kutupsal eğridir. Kutupta merkezlenmiş bir lemniskat, simetriktir.

Bir lemniskatın grafiğini oluşturan genel denklemler $a\ne 0$ olmak üzere $r^2=a^{2}cos2\Theta$ ve $r^2=a^{2}sin2\Theta$ şeklindedir. Burada $a$, grafiğin boyutunu belirler.

Bu eğri daha önce de matematikçiler tarafından incelenmiş ancak 17. yüzyılın sonlarında Jakob Bernoulli'nin çalışmalarına kadar kullanılmamıştır. Bernoulli, 1694 yılında bir makalede bu eğriye Lemniskus (Latince kökenlidir ve sarkan kurdele anlamına gelir) adını vermiştir. Bu çalışmaları daha sonra Gauss ve Euler'in eğrinin yay uzunluğu üzerine yaptığı araştırmalara ve daha sonra eliptik fonksiyonlar üzerine yapılan çalışmalara katkı sağlamıştır. Lemniskat, hiperbolün merkezine göre ters eğrisidir.

Arşimet Spirali

Sarmallar bir merkez noktasından yayılan ve orijin etrafında dönerken giderek uzaklaşan eğrilerdir. Arşimet spiralinin genel denklemi $r=a+b\Theta$ şeklindedir. Burada sırasıyla $a$ ve $b$, başlangıç yarıçapını ve dönüşler arasındaki mesafeyi belirleyen sabitlerdir. İsmini MÖ 3. yüzyılda yaşamış ve Spiraller Üzerine adlı kitabında bu eğrileri incelemiş olan matematikçi Arşimet'ten alır. Arşimet spiralinin başlangıç noktasından olan uzaklığı sabit bir hızla artarken sonsuz sayıda dönüşü vardır. Sürekli genişleyen ve hiç bitmeyen bir yol izler. Sarmal merdivenler ve galaksi oluşumları gibi çeşitli uygulamalarda yaygın olarak kullanılır.

Gül Eğrileri

Gül eğrileri, taç yapraklarıyla karakterize edilen sinüzoidal kutupsal denklemlerdir. Bir gülün genel denklemi $r=acos(k\Theta )$ ve $r=asin(k\Theta )$ şeklindedir. Burada a, taç yapraklarının uzunluğunu, k ise taç yapraklarının sayısını belirler. Bu belirleme şu iki madde ile gerçekleşir:

• Eğer k tek sayı ise taç yaprakların sayısı k'dır.
• Eğer k çift sayı ise taç yaprakların sayısı 2k'dır.

Konikler

Kutup eğrileri bağlamında bir konik kesit, bir noktaya (odak noktası) olan uzaklık ile bir doğruya (doğrultman doğrusu) olan uzaklık arasındaki oranın sabit bir değer olduğu noktaların kümesidir. Bu sabit orana konik kesitin dışmerkezliği denir.

Konik kesitin genel denklemi şöyledir:

$r=\frac{l}{1+ecos\Theta }$

Burada $e$, konik kesitin dışmerkezliğidir ve $l$, kutuptan eğriye kadar $y$ ekseni boyunca olan uzaklıktır. $e$'nin farklı değerleri, farklı türde konik kesitler verecektir:

• $e=0$ ise eğri bir dairedir.
• $0<e<1$ ise eğri bir elipstir.
• $e=1$ ise eğri bir paraboldür.
• $e>1$ ise eğri bir hiperboldür.

Kelebek Eğrisi

Kelebek eğrisinin genel denklemi şöyledir:

$r=e^{sin\varphi }-acos(n\varphi )+si{n}^5(\frac{\varphi }{d})$

Kutupsal koordinatlardaki kelebek eğrisinin gösterim biçimi gerçek kelebek eğrisinin bir kısmına karşılık gelir. Çünkü kutupsal koordinatlar $r\ge 0$ ve $\varphi \in [0,2\pi ]$ ile sınırlıdır.^{[5], [4], [3], [2], [1]}

Süper Eğri

Belçikalı biyolog Johan Gielis, 1997 yılında kutupsal koordinatlarda verilen eğri ailesini ortaya koymuştur:

Bu eğriye süper eğri denmesinin nedeni; daire, kare, üçgen, yıldız gibi çeşitli şekiller üretebilmesidir. Süper eğri, 1818'de Lame tarafından ortaya konan süper elipsi genelleştirir ve biyolojideki en zorlu problemlerden biri olan şekli tanımlama sorununu çözmeye yardımcı olur.^[6]

Kutupsal Eğrilerin Uygulamaları

Kardiyiot, gül, spiral vs. gibi kutupsal eğrilerin çeşitli alanlarda çok sayıda uygulaması vardır:

• Mühendislikte dişli çarkların, tirbünlerin ve optik aletlerin tasarımında faydalanılır.
• Biyolojide deniz kabukları ve çiçek yaprakları gibi doğal desenlerin modellenmesinde rol alır.
• Sanat ve tasarım alanında estetik açıdan hoş geometrik desenler ve yapılar oluşturulabilir.
• Astronomide gök cisimlerinin ve sarmal galaksilerin yörüngelerini tanımlamakta kullanılır.

Sonuç olarak grafik tekniklerine ve matematiksel özelliklere hakim olmak, kutupsal eğrilerin anlaşılmasını ve uygulanmasını geliştirir.