Fizikte Ne Gibi Matematiksel Yöntemler Kullanılır? Matematiğin Fizik Bilimindeki Uygulamaları Nelerdir?

Fizik ve mühendislik gibi alanlarda kullanılan birçok matematiksel metot ve teorem vardır. Bu metotlar arasında türev ve integral gibi evreni iyi şekilde anlamamızı ve açıklamamızı sağlayan yöntemler de bulunur. Bu yazıda ise Green, Diverjans ve Stokes teoremlerinden ve bu teoremleri anlamak ve kullanmak için bilinmesi gereken eğrisel integral, yüzey ve hacim integrallerinden bahsedilecektir.

Eğrisel İntegral

$E$, üç boyutlu uzayda herhangi bir bölge, $f(x,y,z)$ bu bölge üzerinde sürekli bir fonksiyon ve yer değiştirme vektörünün gösterimi $r⃗=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$ olan $C$ eğrisi de $E$ bölgesinde tanımlı bir eğri olsun. Böylelikle $f(x,y,z)$ fonksiyonu $C$ eğrisi üzerinde sürekli olacaktır.

Bu $C$ eğrisinin $(x_0,y_0,z_0)$, $(x_1,y_1,z_1)$, … , $(x_n,y_n,z_n)$ noktalarına karşılık gelen değerlerine $A_0$, $A_1$, $A_2$, … , $A_n$; eğri parçalarına $A_0{A}_1$, $A_1{A}_2$, … , $A_{n-1}{A}_n$ ve bu eğri parçalarının uzunluklarına da $\Delta l_1$, $\Delta l_2$, … , $\Delta l_n$ diyelim. Basitçe, eğrisel bir şekilde tuttuğunuz ipi veya gideceğiniz eğrisel bir yollu belli parçalara böldüğünüzü hayal edebilirsiniz.

$f(x_k,y_k,z_k)$, $A_{k-1}{A}_k$ eğri parçasının herhangi bir noktası olmak üzere

$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k,y_k,z_k)\Delta l_k$

limiti matematiksel olarak aşağıdaki ifadeye eşit olur:

$\int f(x,y,z)dl$

Buna da $f(x,y,z)$ fonksiyonunun $C$ eğrisi üzerindeki eğrisel integrali denir.

Aslında buradaki $dl$$dr⃗$ vektörünün büyüklüğü, $C$ eğrisi üzerindeki yay elemanı veya sonsuz küçüklükte bir yer değiştirme parçasıdır.

$dl=|dr⃗|$

$dl=|dr⃗|=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2+(dz{)}^2}$

Bundan dolayı $dr⃗=(dx)\hat{i}+(dy)\hat{j}+(dz)\hat{k}$ diferansiyel yer değiştirme vektörü, $C$ eğrisi üzerinde tanımlı $\Psi (x,y,z)$ bir skaler fonksiyon ve $\vec{F}(x,y,z)=F_1\hat{i}+F_2\hat{j}+F_3\hat{k}$ bir vektörel fonksiyon olmak üzere kartezyen koordinat sisteminde belli başlı integraller şöyle tanımlanabilir:

$$\begin{gathered} \underset{C}{\int }\Psi (x,y,z)d\vec{r}=\hat{i}\underset{C}{\int }\Psi (x,y,z)dx+\hat{j}\underset{C}{\int }\Psi (x,y,z)dy+\hat{k}\underset{C}{\int }\Psi (x,y,z)dz \\ \underset{C}{\int }\vec{F}(x,y,z)\cdot d\vec{r}=\underset{C}{\int }{F}_1(x,y,z)dx+\underset{C}{\int }{F}_2(x,y,z)dy+\underset{C}{\int }{F}_2(x,y,z)dz \\ \underset{C}{\int }\vec{F}(x,y,z)\times d\vec{r}=\underset{C}{\int }\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ F_1& F_2& F_3\\ dx& dy& dz\end{array}\right| \end{gathered}$$

Eğer xy-düzleminde çalışılırsa ve gidilen yolun denklemi $x=x(y)$ veya $y=y(x)$ şeklinde verilmiş ise denklem,

$dl=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{1+(dy/dx{)}^2}dx=\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$

şeklinde bulunur ve integral de

1. $I={\int }_{c}f(x,y)dl={\int }_{x_a}^{x_b}f[x,y(x)]\sqrt{1+[y\prime (x){]}^2}dx$

olarak hesaplanır.

Tekrardan xy-düzlemine dönelim, ancak bu sefer $x$ ve $y$ fonksiyonu $t$'ye bağlı fonksiyonlar olsun. Yani $x=x(t)$ ve $y=y(t)$ şeklinde verilmiş ise denklemler

$dx=(dx/dt)dt$ ve $dy=(dy/dt)dt$

$dl=\sqrt{[(dx/dt)dt{]}^2+[(dy/dt)dt{]}^2}=\sqrt{[x\prime (t){]}^2+[y\prime (t){]}^2}dt$

olarak bulunur ve integral de

$I={\int }_{c}f(x,y)dl={\int }_{t_a}^{t_b}f[x(t),y(t)]\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y\prime (x){]}^2}dx$

şeklinde hesaplanır.

İntegral alırken yolun bu kadar önemli olmasının sebebi, fonksiyonların yola bağımlı veya bağımsız olmasıdır. Basit bir örnek olarak iş kavramını ele alalım. $\vec{F}$ kuvvetinin yaptığı net iş

$W={\int }_{r_a}^{r_b}\vec{F}\cdot dr⃗$

şeklinde tanımlanır. Buradaki kuvvet yoldan bağımsız bir kuvvet ise bu kuvvete konservatif kuvvet denir. Yer çekimi kuvveti buna bir örnek olabilir.

Wikipedia

Yer çekimi, yoldan bağımsız olduğu için yaptığı iş de kolaylıkla

$W=\vec{F}\cdot \Delta r⃗$

şeklinde hesaplanabilir. Fakat $\vec{F}$ kuvveti yola bağımlı bir kuvvet ise bu kuvvete konservatif olmayan kuvvet denir ve sürtünme kuvveti bu kuvvete en uygun örnektir.

Wikipedia

Yukarıdaki resimde A'dan B'ye giden soldaki yola 1 numaralı yol, ortadakine 2 numaralı yol, sağdaki yola da 3 numaralı yol diyelim. Bir kutuyu A noktasından B noktasına zeminin sürtünmeli olduğu bir ortamda taşımaya çalışırsak yolun öneminin ne kadar önemli olduğunu anlarız, çünkü 3. yol diğer yollara göre daha uzun olduğundan en çok iş yapmamızı yani enerji harcamamızı gerektirecektir.

Yüzey İntegrali

Yüzey integraline başlamadan önce nabla operatörünün ve gradyan hesabının nasıl yapıldığı ve ne olduğunun bilinmesi gerekir. O yüzden anlatılacak konuları daha iyi anlamak için bu yazıyı okuyabilirsiniz. Yüzey integralini hesaplarken

• Yüzey elemanı,
• Yüzey normal birim vektör yönü,
• Diferansiyel yüzey eleman vektörün tanımlanması gerekir.

Eğer $S$ yüzeyi kapalı ise, $\hat{n}$ birim vektörü $S$ yüzeyine dik ve dışarı doğrudur. $S$ yüzeyi açık ise yani çift yüzlü bir yüzey ise, yüzeyin normal vektörü sağ dört parmağı integralin yönünü göstermek üzere baş parmak yönündedir. Herhangi bir $S$ yüzeyinin $d\vec{S}$ diferansiyel yüzey elemanı büyüklüğü $dS$’ye eşit, yönü de $\hat{n}$ normal birim vektörü yönünde olan bir vektördür. Böylece $d\vec{S}=\hat{n}dS$ olmak üzere S yüzeyi üzerinden alınan yüzey integralleri aşağıdaki gibi tanımlanır.

$$\begin{gathered} \underset{S}{\iint }\Psi (x,y,z)dS \\ \underset{S}{\iint }\vec{F}(xyz)\cdot d\vec{S}=\underset{S}{\iint }\vec{F}(x,y,z)\cdot \hat{n}d\vec{S} \\ \underset{S}{\iint }\vec{F}(x,y,z)\times d\vec{S} \end{gathered}$$

Üç boyutta $S$ yüzeyi genellikle $g(x,y,z)=0$ formunda bir denklem ile verilir. $\vec{\nabla }g$ vektörü her noktada yüzeye diktir. Yüzeye dik vektör

$\hat{n}=\vec{\nabla }g/|\vec{\nabla }g|$

kapalı yüzeyde $\hat{n}$'nin yönü dışarıya doğru tanımlanır. $S$ yüzeyi üzerindeki $P(x,y,z)$ noktasında

$d\vec{S}=\hat{n}dS$

$dS$ yüzey vektörü, $P(x,y,z)$ de $S$ yüzeyine dik xy-düzlemindeki $dA=dxdy$ dikdörtgen elemanın izdüşümüyle yapılandırılmışsa xy-düzlemine dik vektör

$\hat{n}dS\cdot \hat{k}=|\hat{n}\cdot \hat{k}|dS=dxdy(\ast \ast \ast )$

$\hat{n}$ 'nün kosinüs yönleri (cos𝛼 , cos𝛽 , cos 𝛾) ile gösterilirse, bu denklem

$dS=|\sec (\gamma )|dxdy$

ve denklem (***)'den

$\cos (\gamma )=\mp ((\vec{\nabla }g/dz)/[\sqrt{(\partial g/dx{)}^2+(\partial g/dy{)}^2+(\partial g/dz{)}^2}]$

Özellikle de $z=f(x,y)$ ile verilirse burada $g:g(x,y,z)=z-f(x,y)$ ve

$\cos (\gamma )=1/[\sqrt{1-(\partial f/dx{)}^2+(\partial f/dy{)}^2}]$

$d\vec{S}=\hat{n}dS$ ile tanımlanırsa

${\iint }_S\vec{F}\cdot d\vec{S}={\iint }_S\vec{F}\cdot \hat{n}dS={\iint }_A\vec{F}\cdot \hat{n}(dxdy/|\hat{n}\cdot \hat{k}|)$

şeklinde hesaplanır.

Hacim İntegrali

Hacim integrali, çizgisel integral ve yüzey integraline nazaran daha kolay hesaplanmaktadır; çünkü hacimde bir yön belirtilmez, yani $dV=d^{3}r$ skaler bir niceliktir. $S$ kapalı yüzeyi tarafından çevrili olan $V$ hacminin integralleri aşağıdaki gibi tanımlanır.

$$\begin{gathered} \underset{V}{\iiint }\Psi (x,y,z)dV \\ \underset{V}{\iiint }\vec{F}(x,y,z)dV \end{gathered}$$

Burada diferansiyel hacim elemanı kartezyen koordinat sisteminde $dV=dxdydz$ şeklinde yazılır.

Düzlemde Green Teoremi

Düzlemde $P(x,y)$ ve $Q(x,y)$ gibi kısmi türevleri sürekli iki fonksiyon ele alalım. Bu düzlemde bir $D$ yüzeyi ve bunu çevreleyen bir $C$ kapalı eğrisi olsun. Bu durumda Green Teoremi, kısmi türevlerin yüzey içindeki integralini, $C$ üzerinden çizgisel integrale

$\oint P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy=\underset{D}{\iint }(\frac{\partial Q(x,y,z)}{\partial x}-\frac{\partial P(x,y,z)}{\partial y})dxdy$

şeklinde dönüşür.

pngwing

Green Teoremi Stokes Teoremi'nin tek düzlem için özel bir durumudur. Green Teoremi için $C$ eğrisinde pozitif yönde, yani saatin tersi yönünde ilerlenmelidir.

Khan Academy

Aslında Green Teoremi'nin anlatmak istediği şey gayet basittir. Yukarıdaki görselde bir bölge iki parçaya bölünmüş, iki alanın sınırları üzerinden eğrisel integral alınmış ve ortadaki zıt yönlü eğrisel integraller birbirini götüreceği için kalan tüm alanın sınır işi yani sınırı üzerinden integralidir. Bu alanı ne kadar çok parçaya bölersek bölelim sonuç değişmeyecektir. Bu yüzden üstteki alan üzerinden alınan integral ile üsteki alanı çevreleyen sınır üzerinden alınan integral eşit olacaktır.

Diverjans (Gauss) Teoremi

$\vec{F}$ vektör alanı, iki boyutlu kapalı bir yüzeyi ve bu yüzeyin çevrelediği $V$ hacminde tanımlı olsun. $\vec{F}$ vektörünün her bir bileşeninin kısmi türevleri sürekli ise diverjans teoremi

$\underset{S}{\iint }\vec{F}\cdot d\vec{S}=\underset{S}{\iint }\vec{F}\cdot \hat{n}dS=\underset{V}{\iiint }(\vec{\nabla }\cdot \vec{F})dV$

şeklinde verilir. Bu teorem bize bir vektörün diverjansının hacim üzerinden integralinin aynı vektörün o hacmi sınırlayan kapalı alan üzerinden alınan integrale eşit olduğunu söyler.

$\vec{F}(x,y,z)=F_x\hat{i}+F_y\hat{j}+F_z\hat{k}$ ve $\vec{\nabla }\cdot \vec{F}=\partial F_x/\partial x+\partial F_y/\partial y+\partial F_z/\partial z$

$S$ yüzeyinin birim normal vektörü

$\hat{n}=n_1\hat{i}+n_2\hat{j}+n_3\hat{k}$

$n_1=\hat{n}\cdot \hat{i}=\cos (\alpha ),n_2=\hat{n}\cdot \hat{j}=\cos (\beta ),n_3=\hat{n}\cdot \hat{k}=\cos (\gamma )$

$\vec{F}(x,y,z)\cdot \hat{n}=F_x\cos (\alpha )+F_y\cos (\beta )+F_z\cos (\gamma )$

şeklindedir ve diverjans teoremi

$\iint (F_{x}cos\alpha +F_{y}cos\beta +F_{z}cos\gamma )dS=\underset{V}{\iiint }(\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z})dV$

şeklinde de yazılıp hesaplanabilir.

Mühendis Beyinler

Stokes Teoremi

Stokes Teoremi'nde Green Teoreminde olduğu gibi tek düzlemde çalışılmaz. Üç boyutlu uzayda bir $C$ eğrisi ile sınırlandırılmış açık bir $S$ yüzeyinde tanımlı $\vec{F}(x,y,z)$ vektör alanı sürekli ise Stokes Teoremi

$\underset{c}{\oint }\vec{F}\cdot d\vec{r}=\underset{S}{\iint }(\vec{\nabla }\times \vec{F})\cdot d\vec{S}=\underset{S}{\iint }(\vec{\nabla }\times \vec{F})\cdot \hat{n}d\vec{S}$

ile verilir. Stokes Teoremi olarak adlandırılan bu teorem, $\vec{F}$ vektörünün teğetsel bileşeninin kapalı bir $C$ eğrisi üzerinden alınan integralinin, $\vec{F}$ vektörünün rotasyonelinin normal bileşeninin $C$'yi sınır kabul eden herhangi bir yüzey üzerinden alınan integraline eşit olduğunu ifade eder. $C$ eğrisi üzerinden pozitif gidiş yönü, yüzey normali $\hat{n}$ vektörünü sağ el kuralı ile verecek yönde olmalıdır.

Wikipedia

Sonuç

Matematik, evreni tanımlayabilmek için çok verimli bir dildir. Bu nedenle fizikçiler matematikten çokça faydalanarak birçok matematiksel teoremi kullanmaktadırlar. Bahsedilen teoriler, özellikle elektromanyetik teoride sıkça kullanılır.