İkiye Bölme Metodu: Neredeyse Hiç Matematik Bilmeden Denklem Çözmek Mümkün mü?

Denklemler, uygulamalı matematiğin çok önemli bir parçasını oluşturur. Elimize bir problem geldiğinde, o problemi bir denkleme dökmeye çalışırız. Bu problem, temel bilimlere ait bir problem de olabilir, sosyal bilimler problemi de, hiç fark etmez. Algoritmalar ile düşünürüz ve bu yüzden bir denklemi çözmek ve ulaşılan sonucu değerlendirmek, araştırmalarımız için çok önemlidir. Fakat bazı denklemler vardır ki bunları çözmek biraz matematik bilgisi gerektiriyor olabilir ve sizde de yeterli matematik bilgisi olmayabilir. Bir başka durum da, normal yöntemlerle çözülemeyen bir denklemle karşı karşıya olmanızdır. Mesela ne kadar iyi bir matematikçi olursanız olun:

$\sin (\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{226})+34/x=lnx$

gibi bir denklemi kağıt kalem ile çözmekte zorlanırsınız. Bu yüzden hesap makineleri var! Fakat her hesap makinesi denklem çözemiyor ve diyelim ki sizin elinizde denklem çözemeyen bir hesap makinesi var. Neredeyse hiç matematik kullanmadan, karmaşık bir denklemi, basit bir hesap makinesiyle nasıl çözebiliriz?

İkiye bölme metodu adı verilen bir yöntem ile! Metodu aşağıda anlatacağız; ancak en baştan söyleyelim: Bu metodun da bazı sıkıntılı noktaları var. Öncelikle denklemi çözerken, kökün (yani çözüm veya çözümlerin) aşağı yukarı hangi aralıkta olabileceğini tahmin etmeniz lazım. Bunun için de ara değer teoremi denilen bir teoremi bilmeniz lazım.

"Hani hiç matematik bilmeyecektik?" dediğinizi duyar gibiyiz. Endişe etmenize gerek yok; çünkü bu teorem, oldukça kolay ve son derece kolaylıkla anlayabileceğiniz, hatta muhtemelen ne olduğunu bildiğiniz ama ismini bilmediğiniz bir teorem. Hatta şimdiden söyleyebiliriz: Ara değer teoremini anlamak için, "süreklilik" sözcüğünün anlamını bilmeniz bile yeterlidir. Söz verdiğimiz gibi, yazı boyunca lise düzeyinden hiç çıkmayacağız.

Ara Değer Teoremi

Teorem, basitçe şunu söyler: $f$ fonksiyonu, bir $[a,b]$ kapalı aralığında sürekli olsun ve $f(a)f(b)<0$ olsun. O halde, bu fonksiyonun verilen aralıkta en az bir kökü vardır.

Teorem, gördüğünüz üzere fazlasıyla kolay. Yine de izah edelim. Diyelim ki süreklilik nedir bilmiyorsunuz, "bir aralıkta süreklilik" kavramını şöyle düşünebilirsiniz: Bir fonksiyon, bir aralıkta sürekli ise, o fonksiyonun grafiğini kalem ile elinizi hiç kaldırmadan çizebilmeniz lazım.

Wikipedia

Şekli inceleyerek yukarıda anlattığımız her şeyi özetleyelim: $[a,b]$ aralığını $s$ doğrusu üzerinde hayal edin. $f(a)$ negatif ve $f(b)$ pozitif verilmiş. Bu fonksiyon, bu aralıkta süreklidir çünkü grafiğini bir kalem ile elinizi hiç kaldırmadan çizebilirsiniz. Görüyorsunuz ki fonksiyon, $s$ doğrusunu farklı noktalarda kesiyor. Kesmesi lazım, çünkü negatiften pozitife geçerken 0 değerini alması gerekli (çünkü fonksiyon "sürekli").

Burada şuna da dikkat edin: $s=0$ olan noktalar, bizim için özellikle değerli; çünkü fonksiyonun kökü, fonksiyonu sıfır yapan değerlerdir. İkiye bölme metodunu, sadece ara değer teoremini sağlayan fonksiyonlarda kullanabiliriz. Unutmayın ki bir denklem, $f(x)=0$ biçiminde yazılabilen matematiksel bir fonksiyondur.

Örnek Bir Fonksiyon

Örneğin profesörünüz bir deney yaptı ve sonuç olarak $f(x)=x^2-x+ln(x)$ fonksiyonu ile tarif edilebilecek bir model geliştirdi. Tamamen somutlaştırmak adına, bu deney, uzayda bir sarkacın ucundaki topun konumunun bir $x$ anındaki modellemesi olsun. Profesör sizden sarkacın ne zaman başladığı noktaya geleceğini, yani hangi anda $f(x)=0$ olacağını soruyor olsun. Tabii böylesi bir model bulabilen bir profesör, elbette denklemi de çözmüştür; ancak sizi denemek istiyor diyelim. Kendinizi kanıtlamanız lazım; ancak hesap makineniz sadece temel işlemleri yapabiliyor ve şansa bakın ki internet ve sorabileceğiniz hiç kimse yok. Ne yapmanız lazım?

Önce algoritmayı verip sonra denklem üzerinde uygulayalım.

İkiye Bölme Metodu

Varsayalım ki $f$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında ara değer teoremini sağlasın. Bir $ϵ$ hata payı ile $f(x)=0$ denkleminin bir kökünü bulmak için aşağıdaki algoritmayı takip ederiz.

1. $c=\genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{2}$ olarak alırız; yani aralığın tam orta noktasını... Daha sonra $f(c)$ değerine bakarız; burada ilkel hesap makinemiz işe yarayacaktır. Bulacağımız değerin mutlak değeri $ϵ$ 'dan küçükse kökü bulmuşuz demektir. Değilse, bir sonraki adıma geçeriz.
2. $f(c)f(a)$ çarpımına bakarız. Bu çarpım negatifse, $b$ yerine hesapladığımız $c$ sayısını yazarız ve 1. adımı yeniden uygularız. Eğer pozitifse bu kez $a$ yerine hesapladığımız $c$ sayısını yazarız ve 1. adımı yeniden uygularız.

Oldukça ilkel bir algoritmadır ve yakınsama hızı olarak normal sayılabilecek hıza sahiptir; fakat ilkelliğine göre, oldukça hızlı bir algoritmadır, yani sonuca ulaşmak için pek işlem yapmazsınız.

Australian Mathematical Sciences Institute

Şimdi, profesörün sorusuna geri dönelim. Böyle bir metodu uygulamaya karar verdik; ancak elimizde aralık yok.

Dahası, bu fonksiyonun sürekli olduğunu nereden biliyoruz? $f_1=x^2,f_2=-x,f_3=lnx$ olsunlar, bu üç fonksiyonun da sürekli olduğunu biliyoruz (görmesi oldukça kolaydır, grafiklerini hatırlayın). Dolayısıyla bunların toplamı olan $f$ fonksiyonu da süreklidir.

Minik bir analiz daha yapalım: Aradığımız kök, negatif olamaz; çünkü $lnx$ fonksiyonu sadece pozitif gerçek sayılarda tanımlıdır. Pek matematik kullanmama sözü vermiştik, o yüzden analizi fazla uzatmayalım, devam edelim.

Şimdi bir aralık tahmin edelim: Burada hesap makinemizden yararlanabiliriz. $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{e}$ değeri için $f$ fonksiyonu negatif değer alacaktır. Hesap makinesi kullanmadan da bunu görebilirdik; ama matematik kullanmama sözümüz var, bu yüzden ilkel bir hesap makinesi ile bunu doğrulayın. Aynı zamanda $e$ değeri için $f$ fonksiyonu pozitif değer alacaktır, bunu da kontrol edin.

Bunları tahmin etmek esasında çok zor değildir, çünkü $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{e}$ değeri 1'den küçüktür ve 1'den küçük sayılar için $x^2-x<0$ olur. Ayrıca $\ln (\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{e})<0$ olduğunu da biliyoruz dolayısıyla $(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{e}{)}^2-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{e}+\ln \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{e}<0$ olur. Öbür taraftan 1">$e>1$ 'dir ve 1'den büyük sayılar için 0">$x^2-x>0$ olur ve 0">$\ln e>0$ olur dolayısıyla 0">$e^2-e+\ln e>0$ olur. Lise düzeyinde matematik bilgisi kullanıyoruz hala! Hiç lisans düzeyinde bir matematik kullanmadık.

Dolayısı ile $f(x)=x^2-x+\ln x$ fonksiyonunun $[\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{e},e]$ aralığında bir kökü vardır ve biz bunu ikiye bölme metodu ile hesaplayabiliriz. Hata payını da çok küçük belirleyelim: $ϵ=10^{-5}$ olarak seçelim.

Algoritmanın Kağıt, Kalem ve Basit Bir Hesap Makinesi ile Uygulanması

Algoritma biraz eski olduğundan ve matematiksel altyapısı çok zayıf olduğundan bazen uzun sürebilir. Tabii bu bilgisayar için pek problem değildir ancak kağıt kalem ile yapıyorsanız kağıt zayiatı yüksek olabilir. İlk adımları burada yapacağız, daha sonra ise MATLAB üzerinden tam çözümü vereceğiz. Hazırsanız adım adım yapmaya başlayalım.

1. Adım

• $c=\genfrac{}{}{0ex}{}{e^{-1}+e}{2}=1.5431$ ve
• $f(e^{-1})=-1.2325,f(e)=5.6708$ ve $f(c)=f(1.5431)=1.2718$ ve
• hata payı 10^{-5}">$|f(1.5431)|=1.2718>10^{-5}$ olduğundan bir sonraki adıma geçmeliyiz.
• $f(e^{-1})f(1.5431)<0$ olduğundan yeni aralığımız $[e^{-1},1.5431]$ olur.

2. Adım

• $c=\genfrac{}{}{0ex}{}{e^{-1}+1.5431}{2}=0.9555$ ve
• $f(0.9555)=-0.0881$ dolayısıyla hata payı 10^{-5}">$|f(0.9555)|=0.0881>10^{-5}$ olduğundan bir sonraki adım için aralık oluşturmalıyız.
• $f(0.9555)f(1.5431)<0$ olduğundan yeni aralığımız $[0.9555,1.5431]$ olur.

3. Adım

• $c=\genfrac{}{}{0ex}{}{0.9555+1.5431}{2}=1.2493$ ve
• $f(1.2493)=0.5340$
• dolayısıyla hata payı 10^{-5}">$|f(1.2493)|=0.5340>10^{-5}$ olduğundan, yine algoritmayı devam ettirmeliyiz,
• $f(1.2493)f(0.9555)<0$ olduğundan yeni aralığımız $[0.9555,1.2493]$ olur.

4. Adım

• $c=\genfrac{}{}{0ex}{}{0.9555+1.2493}{2}=1.1024$ ve
• $f(1.1024)=0.2103$ ve
• hata payı 10^{-5}">$|f(0.2103)|=0.2103>10^{-5}$ olduğundan algoritmayı devam ettirmeliyiz.
• $f(1.1024)f(0.9555)<0$ olduğundan yeni aralığımız $[0.9555,1.1024]$ olur.

Görüleceği üzere algoritma biraz uzun sürüyor. Biz, burada algoritmayı devam ettirmeyi kesiyoruz çünkü algoritma toplam 19 adımda bize toplam sonucu veriyor. Algoritmayı, alıştırma olarak kağıt kalem ve hesap makinesi ile sürdürmenizi tavsiye ederiz, biz MATLAB kodu ile çözdük. Sonuçta kurallar arasında çevrimdışı bir program ile çözmek yasak değil. Merak etmeyin, hile yapmadık algoritmayı koda döktük sadece. MATLAB bilenlerin kodu incelemesini tavsiye ederiz.

MATLAB Kodu ile Çözümü

f= @(x) x^2-x+log(x);
  b=exp(1);
  a=exp(-1);
  k=10^(-5);
  c=(a+b)/2;
  i=1;
  d=linspace(exp(-1),exp(1),100);
  e=d.^2-d+log(d);
  while abs(f(c))> k
      c=(a+b)/2;
      if f(a)*f(c)<0
          b=c;
      else
          a=c;
      end
      i=i+1;
      v(i)=c
  end
  plot(d,e,v,0,'*')
  i
  c
  

Kodu direkt derlerseniz, karşınıza bir grafik de çıkacaktır. Bu grafikte, fonksiyonun grafiği verilmiştir ve her adımda bulunan orta nokta da işaretlenmiştir. Sayma amacı ile koyduğumuz i değişkeninin değeri kodun sonunda 19 değerini verecektir. Yani 19 adımda problem çözülmüştür. (Evet elle yapması birazcık zor olabilir; ama sonuçta lise seviyesi matematik ile çözmek var işin ucunda.) Sonucun ise 1 olduğu hesaplanmıştır. Aslında görmesi zor bir sonuç da değildir $1^2-1+\ln 1=0$ eşitliği sağlanır. Ayrıca bahsedilen grafik, aşağıdadır.

MATLAB

Her bir yıldız bir adımda bulunan orta noktaya tekabül etmektedir. Görülüyor ki 1 civarına doğru noktalar gittikçe yığılmıştır. Zaten beklenilen bir şeydir, çünkü kök 1'dir. Bu sonucu profesöre gösterdiğinizde çok mutlu olacağından eminiz.