Eşkenar Dörtgen Nedir? Formülleri ve Özellikleri Nelerdir?

Eşkenar dörtgen, dörtgenlerin özel bir halidir. Bunu anlamak için öncelikle dörtgenleri nasıl ele aldığımızı irdeleyelim. Dörtgen, adından da anlaşılacağı gibi, dört kenarı ve 4 köşesi olan bir çokgen türüdür. Düzgün olsun ya da olmasın, bütün dörtgenlerin iç açılarının toplamı 360°'ye eşittir (öklid geometrisinde). 6 adet dörtgen tanımlanabilir:

1. Yamuk
2. Paralelkenar
3. Kare
4. Dikdörtgen
5. Deltoid
6. Eşkenar dörtgen

Dörtgenleri basit ve karmaşık şeklinde iki gruba ayırabiliriz. Basit dörtgenlerde komşu olmayan iki kenar kesişmezken, karmaşık dörtgenlerde durum tam tersidir. Karmaşık dörtgen, kelebek şeklini de andırdığı için bazen bu şekilde anılır.

Basit dörtgenler kendi içlerinde dışbükey (konveks) ve içbükey (konkav) olarak ikiye ayrılır. İçbükey dörtgenlerde 180°'den daha büyük bir açı mutlaka vardır, dışbükeylerde ise böyle bir durum söz konusu değildir.

Eşkenar Dörtgen Nedir?

Eşkenar dörtgen, dışbükey bir dörtgendir ve aynı zamanda bir tür paralel kenardır. Yani karşılıklı kenarları muhakkak birbirine paralel olmak zorundadır. Ancak sıradan bir paralelkenardan onu ayıran özelliği, aynı zamanda bütün kenarlarının uzunluklarının da birbirine eşit olmasıdır.

Bu size bir yerden tanıdık geldi mi? Evet, karede de böyle bir durum söz konusu! Kare için eşkenar dörtgenin özel bir durumu (açıların dik açı olduğu durum) diyebiliriz. Yani tüm kareler, bir eşkenar dörtgendir fakat tüm eşkenar dörtgenler kare değildir.

Matematikte aynı zamanda kareleri, eşkenar dörtgenlere dahil etmeyen bir eşkenar dörtgen tanımı daha bulunur. Buna harici (İng: "exclusive") tanımlama, diğerine ise dahili (İng: "inclusive") tanımlama denir.

Buradan anlayabiliriz ki bütün eşkenar dörtgenler aynı zamanda paralelkenardır, ancak tersi her zaman doğru değildir. Benzer biçimde, bütün kareler de birer eşkenar dörtgendir ve tersi geçerli değildir.

Köşegen ve Açıortay

Köşegen, bir çokgende ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Eşkenar dörtgenin köşegenlerinin, onları düzgün olmayan diğer dörtgenlerden ayıran özelliği her zaman dik kesişiyor olmalarıdır. Dik kesişmelerinin yanında bu iki köşegen birbirini iki eş parçaya böler.

Eşkenar dörtgenin köşegenlerini çizdiğimizde aynı zamanda açıortaylarını da çizmiş oluruz. Açıortay, bir açıyı ölçüleri birbirine eşit olan iki açısal bölgeye ayıran doğru parçası demektir. Çizdiğimiz bu köşegenler de her bir köşedeki açıyı iki eş parçaya ayırır.

Alan

Köşegenler yalnızca açıları değil, dörtgenin alanını da eş parçalara böler. Aşağıdaki şekilde gösterilen renkli alanların her biri, birbirine eş dik üçgenlerdir. Buradan şöyle bir sonuç da çıkarabiliriz: Bir eşkenar dörtgenin iki köşegeni de onun alanını iki eş parçaya böler. Ancak burada dikkat etmelisiniz ki alanını iki eş parçaya bölmesi, köşegenleri şeklin simetri ekseni yapmaz!

Çemberler ve Eşkenar Dörtgen

Geometride "çevrel çember" ve "iç teğet çember" diye adlandırılan iki terim bulunur. Çevrel çember, bir çokgeni çevreleyen ve tüm köşelerini üzerinde bulunduran çembere denir. İç teğet çember ise bir çokgenin içinde bulunan ve çokgenin tüm kenarlarına teğet olan çemberin adıdır. Tüm üçgenlerin, düzgün çokgenlerin (tüm kenarları ve açıları birbirine eşit olan) ve bazı düzgün olmayan çokgenlerin çevrel çemberi ve iç teğet çemberi vardır.

Her ne kadar tüm kenar uzunlukları aynı olsa da tüm açıları birbirine eşit değildir. Bu nedenle geometrik olarak düzgün sayılmayan şeklimizin etrafına çevrel çember çizmek de içine iç teğet çember oturtmak da mümkün değildir.

Üç Boyutta Eşkenar Dörtgen

Dörtgenimizi herhangi bir kenarı etrafında döndürdüğümüzde bir ucu içbükey (konkav), bir ucu dışbükey koniler olan silindirik bir yüzey elde ederiz.

Bu dörtgenin iki karşı kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçası etrafında döndürdüğümüzde ise iki ucu da içbükey koniler olan silindirik bir yüzey elde ederiz. Bunun kesit görünümü aşağıdaki gibi olur.

Dörtgenimizi köşegenlerinden biri etrafında döndürdüğümüzde ise tabanlarından birbirine yapışık iki koni elde ederiz. Bu konilerin çapı ise hangi köşegeni seçtiğimize bağlı olarak değişir. Uzun olan köşegeni seçtiysek çap, kısa olan köşegen kadar olacaktır ve tam tersi de geçerli olur.

Alan Formülü

Dikdörtgenlerde alan bulurken iki dik kenarı çarparız; dik üçgende alan bulurken de birbirine dik kenarları çarpar bu kez sonucu ikiye böleriz. Benzer biçimde eşkenar dörtgende de alan bulurken yine bir diklikten yararlanılır, ama hangi diklikten? Bildiğiniz üzere şeklimizde herhangi bir dik açı bulunmuyor, tabii köşegenleri çizene kadar!

Daha önce de belirttiğimiz gibi bu dörtgenlerin köşegenleri her daim dik kesişir. Köşegenlerin uzunluklarını çarpıp sonucu ikiye böldüğümüzde ise şeklimizin alanını elde etmiş oluruz.

Bu sayede yukarıdaki görselde alanı şöyle bulabiliriz:

$\frac{2x\cdot 2y}{2}=2xy$

Alanı bulmanın tek yolu köşegenlerden yararlanmak değildir. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bir köşeden karşı kenara dikme indirip bu dikmenin uzunluğu ile indirdiğimiz kenarın (taban) uzunluğunu çarptığımızda da şeklimizin alanını bulmuş oluruz. Bu aslında herhangi bir paralelkenarın alanını bulmak için kullanılan bir yöntemdir. Belirttiğimiz gibi eşkenar dörtgen de bir paralel kenar olduğundan, bu yöntem burada da kullanılabilir.

Yukarıdaki görselde alanı $h.|CD|$ şeklinde buluruz. Eşkenar dörtgenin alanını bulmak için kullanabileceğimiz bir yöntem daha mevcuttur: Sinüs alan teoremi. Birbirini 180°'ye tamamlayan açıların, diğer bir deyişle birbirinin bütünleri olan açıların sinüs değerleri eşittir. Ve eşkenar dörtgendeki komşu iki açı (bütün paralelkenarlar için geçerlidir bu) birbirinin her zaman bütünleridir. Bu nedenle yine yukarıdaki görsele göre şu şekilde de alan bulabiliriz: $|CD|.sin(A)$ya da $|CD|.sin(B)$.

Çevre Formülü

Eğer bir kenar uzunluğunu biliyorsanız çevresini bulmak için yapmanız gereken şey oldukça kolay olacaktır; bu sayıyı dörtle çarpmak. Ancak bir kenarı yerine iki açıortayının uzunluğunu biliyorsanız korkmayın, işiniz yine de çok zor değil. Bu sefer kullanmanız gereken şey Pisagor teoremidir. Aşağıdaki görseli inceleyerek ne demek istediğimizi daha rahat anlayabilirsiniz.

Köşegenlerin uzunluklarını biliyorsak $x$ ve $y$ bu uzunlukların yarısına eşit olacaktır. Pisagor teoreminin bize söylediğine göre bu durumda şeklin bir kenarının uzunluğunu $y²+x²$eşitliğini kullanarak buluruz. Sonra da bulduğumuz sayıyı 4 ile çarpmak yeterli olacaktır. Ya da bu noktada yine üçgenin alanından faydalandığımız yöntemi de kullanabiliriz.