Eşdeğerlik İlkesi Nedir? Einstein, Görelilik Teorisi Sayesinde Kütle Kavramına Nasıl Anlam Kattı?

Kütle, fiziğin en temel kavramlarından biridir. Newton fiziğinde kütleyi eylemsizlikten ve kütleçekim kuvvetinden sorumlu olarak ele alırız. Özel Görelilik ile gördük ki kütle ve enerji birbiriyle sandığımızdan çok daha bağlantılıdır ve birbirlerine dönüşebilirler. Genel Görelilik'e geldiğimizde ise kütleyi tanımlamak çok daha zor hale geldi. Parçacık fiziğinde, parçacıkların kütlesini Higgs alanı ile açıklarız. Kısacası kütle, fiziğin olmazsa olmazıdır ve pek çok farklı şekilde karşımıza çıkabilir.

Bu yazımızda, Newton fiziği içerisinde kütleden, zayıf eşdeğerlilik ilkesinden ve Genel Görelilik'in temelini oluşturan Einstein'ın eşdeğerlilik ilkesinin kütle açısından önemli sonuçlarından bahsedeceğiz.

Eylemsizlik Kütlesi

Eylemsizlik kütlesi (İng: "inertial mass"), cisimlerin üzerlerine kuvvet uygulanması durumunda ivmelenmeye karşı gösterdikleri dirençtir. Bunu daha iyi anlamak için şu düşünce deneyini hayal edelim: sürtünmesiz bir ortamda farklı cisimlere aynı değerde kuvvet uyguluyoruz ve her bir cismin ivmesini ölçüyoruz. Göreceğimiz şey, her cismin aynı ivmeye sahip olmadığı olacaktır. Bunun sebebi, cisimlerin kütle adını verdiğimiz içsel bir özelliğe sahip olmasından kaynaklıdır.

Bir cisme kuvvet uyguladığınızda eylemsizlik kütlesi ne kadar büyük ise, ivmesi de o kadar azdır. Tam da bu sebeple bir topa vurduğunuzda top çok kolay hızlanırken, bir ağaca ya da binaya vurduğunuzda pek bir hareketlenme göremezsiniz; çünkü ağacın ve binanın eylemsizlik kütlesi topunkinden çok daha fazladır.

Başka bir örnek olarak Dünya'nın bizim üzerimizde uyguladığı kütle çekim kuvveti verilebilir. Newton'un üçüncü yasası olan etki-tepki yasası gereği, Dünya'nın bize uyguladığı kuvvetin aynısını biz de ona uygulamaktayız; ancak yüksek bir yerden atladığımızda biz Dünya'ya doğru ivmelenirken, Dünya pek hareket etmiyor gibi gözükür. Bunun sebebi, Dünya'nın eylemsizlik kütlesinin bizim kütlemizden çok daha fazla olmasıdır, dolayısıyla her ne kadar üzerimizdeki kütle çekim kuvveti aynı olsa da, Dünya neredeyse hiç hareket etmezken, biz hızlıca aşağıya düşeriz. Newton'un ikinci yasası bize bunu söyler ve matematiksel gösterimi aşağıdaki gibidir.

$\text{Net Kuvvet}=\text{Eylemsizlik Ku¨tlesi}\times \text{I˙vme}$

Yani liseden bildiğimiz $F=ma$ denklemi...

Gravitasyonel Kütle

Gravitasyonel kütle (İng: "gravitational mass"), kütle çekim kuvveti ile ilişkili olan kütledir, tıpkı elektrik yüklerinin elektrik kuvvetinden sorumlu olması gibi. Yukarıda bahsettiğimiz eylemsizlik kütlesi, her türden kuvvet için tanımladığımız bir değerdi; gravitasyonel kütle ise yalnızca kütle çekim kuvveti ile ilişkilidir.

Gravitasyonel kütleyi aktif gravitasyonel kütle ve pasif gravitasyonel kütle olarak ikiye ayırmamız mümkün. Ne olduklarını anlamamız için, "alan" dediğimiz kavramı anlamamız gereklidir. Cisimler; elektrik yükü, gravitasyonel kütle gibi özellikleri ile çevrelerinde alanlar yaratır. Yine benzer şekilde bu alan içerisindeki cisimler, aynı özellikleri ile bu alanla etkileşerek, belirli bir yörüngeyi takip ederler. Bu durumdan yola çıkarak gravitasyonel alan adını verdiğimiz alanın kaynağına aktif gravitasyonel kütle ismini verirken, bu alan ile etkileşimi gerçekleştiren özelliğe de pasif gravitasyonel kütle ismi verilir. Bu iki ifadeyi aşağıdaki denklemden daha iyi anlayabiliriz:

$\text{Ku¨tle Çekim Kuvveti}=\text{Pasif Gravitasyonel Ku¨tle}\times \text{Çekim Alanının Şiddeti}$

Bu denklem bize şunu söyler: Bir cismin üzerindeki kütleçekim kuvvetini, içerisinde bulunduğu alanın şiddeti ve pasif gravitasyonel kütlesi etkiler. Bu alanın şiddetini de o alanı yaratan cismin aktif gravitasyonel kütlesi sağlar. Örneğin, Dünya'nın nasıl bir kuvvet ile Güneş'e çekileceği ve dolayısıyla nasıl bir yörünge izleyeceğini Güneş'in aktif gravitasyonel kütlesi ve Dünya'nın pasif gravitasyonel kütlesi belirler.

Alanların gerçek mi yoksa sadece matematiksel ifadeden mi ibaret olduğu tartışması felsefe içerisinde devam etmektedir; ancak bu yazının konusunun dışında olduğu için bu tartışmadan bahsetmeyeceğiz. Basit bir hesaplama ile gösterebiliriz ki etki-tepki prensibi bize her cismin aktif gravitasyonel kütlesinin pasif gravitasyonel kütlesine oranının aynı sabit değere eşit olduğunu söyler. Birim hesabı ile bu oranı 1 kabul edersek, her iki gravitasyonel kütlenin değeri aynıdır. Dolayısıyla sadece tek bir gravitasyonel kütleden bahsetmemiz anlamlıdır.

Ancak asıl ilginç kısım, eylemsizlik kütlesinin ve gravitasyonel kütlenin de aynı değere sahip olmasıdır. Newton fiziği bu iki değerin neden eşit olduğuna dair bize bir argüman sunmaz, yalnızca deneysel veriler bize bunu gösterir.

Yukarıda eylemsizlik kütlesinden bahsettiğimiz bölümde yazdığımız denklemde net kuvvet yerine kütle çekim kuvvetini koyduğumuzda, cisimlerin yere düşme ivmesinin gravitasyonel kütlenin eylemsizlik kütlesine oranı olduğunu görürüz. Bu da bize cisimlerin düşme ivmesini ölçerek gravitasyonel kütle ve eylemsizlik kütlesi arasında fark olup olmadığını test etmek için iyi bir fırsat sağlar. Her cisim kütlesinden bağımsız bir şekilde aynı ivmeyle düşüyorsa, bu iki kütlenin eşdeğer olduğunu söyleyebiliriz.

Dünya'ya düşen cisimlerin kütlelerinden bağımsız olarak aynı ivme ile düştükleri iddiası ilk kez 6. yüzyılda Bizanslı filozof Philiponus tarafından gözlemlenmiştir. Günümüze kadar bu hipotez sayısız kez test edilmiştir ve iki kütle arasında bir fark gözlemlenmemiştir. Aşağıdaki videoda Brian Cox'un BBC'de yayınlanan programında havasız ve dolayısıyla sürtünmesiz ortamda farklı kütlelere sahip tüylerin ve bir topun serbest bırakıldığı deneyi izleyebilirsiniz; buradaki yazımızdan da detaylarını okuyabilirsiniz.

Bu deneylerden en meşhuru Galileo Galilei'nin Pisa Kulesi deneyidir. İddiya göre Galileo, Pisa Kulesi'nin tepesinden iki farklı kütleli cisimleri yere bırakmış ve aynı zamanda yere çarptıklarını gözlemlemiştir ancak Galileo'nun bu deneyi gerçekten yapıp yapmadığını bilmiyoruz ama bu olgunun çok eskilerden beri bilindiğini söyleyebiliriz. Bu eşitlik, günümüzde zayıf eşdeğerlilik ilkesi (İng: "weak equivalence principle") olarak bilinir. Bir sonraki bölümde bu ilkenin daha genelleştirilmiş bir hali olan Einstein'ın kendi eşdeğerlilik ilkesinden ve bu ilkenin nasıl zayıf eşdeğerlilik ilkesini gösterdiğinden bahsedeceğiz.

Einstein'ın Eşdeğerlilik İlkesi

Einstein, kendi adıyla anılan eşdeğerlilik ilkesini, Özel Görelilik Teorisi'ni yayınlamasından iki sene sonra 1907 yılında ortaya attı. Bu ilke, Özel Görelilik'in ivmeli referans sistemlerini de kapsayacak şekilde genişletilmiş hali olan, uzay-zamanın Öklid geometrisine uymadığını söyleyen ve kara delikler, solucan delikleri gibi günümüzde bile tam olarak anlamayadığımız şeylerin varlığından bahseden Genel Görelilik Teorisi'nin kalbini oluşturur. Ancak yazımızda, Genel Görelilik Teorisi'nden bahsetmeyip, yalnızca bu ilkenin kütle çekim etkisi altında serbest düşen cisimler için bize ne söylediğinden bahsedeceğiz.

Kendinizi Dünya yüzeyinde hayal edin (zaten Dünya yüzeyinde olduğunuz için çok zorluk çekmezsiniz). Ancak kapalı bir oda içerisindesiniz ve dışarıyı hiçbir şekilde göremiyorsunuz. Cisimleri yere bırakıyorsunuz ve hepsi aynı ivmeyle yere düşüyor, ağırlığınızı hissediyorsunuz.

Bu durumu gözünüzde canlandırdıktan sonra, bu sefer kendinizi boş uzayda, yine dışarısını göremediğiniz bir oda içerisinde hayal edin. Ancak oda yukarı doğru yani sizin ayaklarınızdan başınıza doğru Dünya'nın yüzeyinde cisimlerin düşmesiyle aynı ivmeyle yukarı doğru hareket ediyor. Dolayısıyla siz elinizdeki cisimleri yere bıraktığınızda, tıpkı Dünya yüzeyinde olduğu gibi aynı ivmeyle yere düşüyorlar; yine ağırlığınızı hissediyorsunuz, deneyler tıpkı Dünya yüzeyinde olduğu gibi çalışıyor. Asansör ile yukarı çıkarken kendinizi daha ağır hissetmenize de aynı etki sebep olur; tek fark, bu örnekte boş uzayda yukarı çıkıyorsunuz.

Eğer her iki durumda da cisimler aynı ivmeyle yere düşüyor ise ve odanın dışarısını göremiyorsak boş uzayda yukarıya mı doğru ivmelendiğimizi yoksa Dünya yüzeyinde öylece durduğumuzu nasıl anlayabiliriz?

Claes Johnson on Mathematics and Science

Anlayamayız. Einstein'ın eşdeğerlilik ilkesi bize bunu söyler. Dışarısını görmediğimiz sürece, içerisinde bulunduğumuz odanın Dünya yüzeyinde mi yoksa uzayda ivmeleniyor mu olduğunu gösterecek hiçbir deney yoktur. İlke, bu iki farklı durumun aslında aynı deneysel sonuçlar verdiğini söyler.

Aslında bu, tam olarak doğru değildir. İlk sorun, Dünya'nın kütle çekimi etkisi altında düşen cisimler Dünya'nın merkezine doğru düştüğü için birbirlerine yakınlaşırlar yani paralel bir şekilde düşmezler. İkinci sorun, her ne kadar Dünya yüzeyinde cisimlerin düşme ivmesi sabit gibi görünse de, aslında Dünya'nın merkezine olan uzaklığın karesi ile ters orantılıdır, dolayısıyla cisimler Dünya'nın merkezine yaklaştıkça ivmeleri de artacaktır.

Öte yandan boş uzayda ivmelenme durumunda cisimlerin düşerken birbirine yakınlaşması ya da ivmelerinin gittikçe artması gibi bir durum söz konusu değildir. Sonuç olarak yukarıda bahsettiğimiz iki durumu eğer yeterince hassas ölçüm aletleriniz varsa, ayırt edebilirsiniz. Kapalı odaya geri dönün. İki cismi yere bırakın, eğer yere düştüklerinde aralarındaki uzaklık ilk bıraktığınız uzaklıktan daha kısa ise Dünya yüzeyinde olduğunuzu söyleyebilirsiniz veya bir cismi yere bırakın, yere düşerken farklı anlarda ivmesini ölçün, eğer ivmesi gittikçe artıyorsa o halde Dünya yüzeyindesiniz demektir.

Tam da bu sebepten dolayı eşdeğerlilik ilkesi bahsettiğimiz iki farklı durumun yerel olarak ayırt edilemez olduğunu söyler. Burada "yerel" ile kastedilen, kütleçekim alanının değişimine kıyasla çok ufak bir bölgeden bahsediyor oluşumuzdur. Pekala, kuzey kutbunda yere düşen cisim ile ekvatorda yere düşen cismin paralel bir şekilde düşmediğini rahatlıkla söyleyebiliriz. Aynı şekilde, Dünya'nın merkezine yakın bir yerde düşen cisimlerin ivmesinin, atmosferin dışında olan bir cismin ivmesinden daha fazla olduğunu da söyleyebiliriz. Ancak bir odanın içi gibi çok ufak bir bölgeyi ele aldığımızda bu farklılıklar, görmezden gelebileceğimiz kadar azdır. Odayı, yani cisimlerin düşüşünü hesapladığınız bölgeyi ne kadar küçük seçerseniz, farklılıklar da o kadar az olacaktır. Tam da bu yüzden lise fiziğinde atış sorularında düşen cisimlerin ivmesini hep sabit aldık; çünkü Dünya yüzeyinde cisimlerin yerden yükseklikleri Dünya'nın merkezine olan uzaklıklarına kıyasla inanılmaz düşük olduğu için cisimlerin ivmelerindeki ufak değişimleri ölçtüğümüzde neredeyse hiçbir farklılık görmeyiz.

Eşdeğerlilik ilkesi, işte bu ufak değişimleri görmezden geleceğimiz ufak alanlar için geçerlidir. Bunu Dünya'nın yüzeyinin çok ufak bir kısmını aldığımızda hemen hemen düz olmasına benzetebilirsiniz. Büyük ölçeklerde baktığımız zaman Dünya'nın yuvarlak olduğu çok net bir şekilde gözükür. Öte yandan Dünya'nın üzerinde yaşayan bizler Dünya'nın çok ufak bir kısmını görebildiğimiz için Dünya neredeyse düz görünür.

Peki bütün bu bahsettiklerimizin kütle ile alakası nedir? Tekrardan iki farklı durumu düşünelim ancak bu sefer odanın tavanına iple bağlanmış bir cismimiz var. Sorumuz şu: İp, neden gergindir? Her iki durum için, iki farklı yanıt verilebilir. Odanın Dünya'nın yüzeyinde olması durumunda, cismimiz gravitasyonel kütlesinden dolayı Dünya'nın kütle çekim kuvveti tarafından çekilmektedir, ip de bu kuvveti dengeleyecek şekilde cismi sabit tuttuğu için gergindir. Odanın uzayda sabit ivmeyle gidiyor olması durumunda ise, oda ile beraber ivmelenen ipin kendisine uyguladığı kuvvete eylemsizlik kütlesi ile direnç uyguladığı için ip gergin olacaktır. Özetle, ilk durumda gravitasyonel kütle rol oynarken ikinci durumda eylemsizlik kütlesi rol oynar.

Einstein'ın eşdeğerlilik ilkesine göre iki durum da deneysel olarak aynı sonuçları vereceği için, gravitasyonel kütle ve eylemsizlik kütlesi arasındaki ayrım da ortadan kalkar. Bu durum bize Einstein'ın eşdeğerlilik ilkesinin zayıf eşdeğerlilik ilkesini yani eylemsizlik kütlesi ve gravitasyonel kütlenin aynı şey olduğunu gösterdiğini söyler. Bunun tam tersi olarak zayıf eşdeğerliliğin, aslında Einstein'ın eşdeğerlilik ilkesini gösterdiğini söyleyenler de vardır. Buna Schiff Hipotezi denir; ancak henüz kanıtlanmamıştır.