Bir Grup İçerisinde Aynı Doğum Gününe Sahip 2 Kişi Olma Olasılığı Nedir?

Size basit bir soru: Bir grup içerisinde, aynı doğum gününe sahip 2 kişi olma olasılığı nedir? Bir an düşünün, bulabilecek misiniz?

Soruyu basit bir tespit yaparak çözmeye başlayalım: Eğer ki bir grupta 366 kişi varsa, o grupta iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı %100 olacaktır. Çünkü 1 yıl içerisinde (29 Şubat göz ardı edilirse) 365 gün vardır ve eğer ki grup içerisinde 366 kişi varsa, mutlaka, ama mutlaka bu grupta 2 kişi aynı doğum gününü paylaşmak zorundadır.

Peki ya daha küçük gruplarda? Mesela 60 kişilik bir grupta iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı nedir?

Matematiksel hesaplar göstermektedir ki, sadece 57 kişiden oluşan bir grupta bile 2 kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı %99'dur! 23 kişilik bir grupta bile bu %50 dolaylarındadır. Yani 50-60 kişilik bir sınıfta ders verirken bile, biraz risk alarak matematiğin gücünü ispatlayabilirsiniz; çünkü sınıfınızda neredeyse kesin olarak yılın aynı gününde doğmuş 2 kişi olacaktır! Adam Fawer'ın Olasılıksız kitabında buna dair bir dramatizasyon bulunmaktadır.

İyi ama neden? Nasıl olur da 365 günün bulunduğu bir yıldan söz ederken, sadece 57 kişinin bulunduğu bir grupta, %99 gibi "neredeyse kesin" diyebileceğimiz bir olasılıkla aynı doğum gününü paylaşan 2 kişi olduğunu söyleyebiliyoruz? 

Doğum Günü Probleminin Çözümü

Bunu doğrudan, iki kişinin aynı günde doğma olasılığı üzerinden giderek hesaplayabilirsiniz. Ancak daha basiti, "2 kişinin aynı günde doğmama olasılığı"nı hesaplayıp, bu olasılığı %100'den çıkarmak olacaktır. Zira iki insan ya aynı doğum gününü paylaşacaktır ya da paylaşmayacaktır (iki olasılığın toplamı %100 olmak zorundadır). Olasılıkta bu tip durumlara "ayrışık durumlar" ya da "birbirini dışlayan durumlar" denir. 

Bu durumda matematik açıktır: Rastgele iki kişi seçin. Bunlardan birinin diğeri ile aynı doğum gününü paylaşmama olasılığı $\frac{364}{365}$ (yani 0.9972 ya da %99.72) olacaktır. Çünkü ilk kişi mesela 1 Ocak'ta doğduysa, diğer kişinin 1 Ocak'ta doğmamış olma olasılığı 365 günden geri kalan 364 günden birinde olacaktır; bu da olasılık matematiğinde "364 bölü 365" ile ifade edilir - ki bu mantıklıdır: İkinci kişi, çok büyük bir ihtimalle (spesifik olarak %99.72 ihtimalle) 1 Ocak'tan farklı bir günde doğmuş olacaktır. Rasyonel olarak beklediğimiz de budur.

Diyelim ki ikinci kişi 2 Ocak'ta doğmuş olsun. Bu hesaba dahil edilecek üçüncü bir kişinin 1 Ocak veya 2 Ocak'ta doğmamış olma olasılığı (yani 0.9945 ya da %99.45) olacaktır. Yine, rastgele seçeceğimiz üçüncü bir kişinin, ilk ikisiyle %99.45 ihtimalle ayrı bir doğum gününe sahip olması oldukça beklendik ve makul bir durumdur. Dördüncü bir kişinin ilk üçüyle aynı günü paylaşmama olasılığı, beşinci bir kişininki olacaktır ve bu böyle devam edecektir. 

Bunların bir arada (aynı anda) gerçekleşme olasılığını bulmak içinse, bu olasılıkları birbiriyle çarparız. Bunu yapabilme sebebimiz, kişilerden birinin doğum gününün diğerinin doğum gününü etkilemiyor olmasıdır (işte buna bu yüzden "ayrışık durumlar" denir). Örneğin ilk iki kişinin aynı doğum gününü paylaşmama olasılığı $\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}$ hesabı ile bulunur ve %99.72'ye eşittir. Yani 2 kişilik bir grupta, kişilerin aynı doğum gününü paylaşmama olasılığı, tam da beklendiği gibi aşırı yüksek bir olasılık olan %99.72'dir. Bir diğer deyişle, rastgele iki kişinin aynı doğum gününe sahip olma olasılığı $\%100-\%99.72$ hesabıyla bulunur ve %0.28'dir. İşte bu nedenle küçük gruplarda aynı doğum gününü paylaşan insan sayısı son derece azdır (ama imkânsız değildir ve bu nedenle yeni tanıştığınızın birinin sizinle aynı doğum gününü paylaşması şaşırtıcı bir tesadüf gibi gelir).

Benzer şekilde, 3 kişiden oluşan bir grupta, hiç kimsenin birbiriyle aynı doğum gününü paylaşmama olasılığı $\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}=\%99.17$ olarak verilir. Bir diğer deyişle, aynı doğum gününün paylaşılma olasılığı $\%100-\%99.17=\%0.83$ olarak hesaplanır. Görülebileceği gibi aynı doğum gününe sahip olma olasılığı sadece 1 kişinin eklenmesiyle %0.28'den %0.83'e çıkmıştır! Halen epey küçük; ancak dikkate değer miktarda artıyor.

Bunu eğer 23 kişiye kadar sürdürecek olursanız, şöyle bir hesaplama elde edersiniz:

$\frac{365}{365}\times \frac{364}{365}\times \frac{363}{365}\times \frac{362}{365}\times \cdots \times \frac{343}{365}$

Bu çarpımın sonucunda elde edeceğiniz sayı, yani 23 kişilik bir grupta aynı doğum gününü paylaşan 2 kişinin bulunmuyor olma olasılığı 0.4927'dir, ya da %49.27 olur. Bir diğer deyişle, 23 kişilik bir grupta aynı doğum gününe sahip 2 kişinin bulunma olasılığı %50.73'tür! Eğer bu işlemi 57 kişiye kadar sürdürecek olursanız, elde edeceğiniz "paylaşmama olasılığı" %1'in altına düşecektir; bir diğer deyişle, aynı doğum gününü paylaşma olasılığı %99'un üzerine çıkacaktır.

İşte tam olarak bu sebeple, eğer ki birilerini etkilemek isterseniz, grup büyüklüğünüzü dikkate alarak (aşağıdaki görseldeki grafiği bu amaçla kullanabilirsiniz), kısmen küçük gibi gözüken (örneğin 35 kişilik) bir grupta bile aynı doğum gününü paylaşan iki kişiyi rahatlıkla bulabilirsiniz!

Doğum Gününüzle İlgili İstatistikler

Ancak doğum gününüzle ilgili tek ilginç matematiksel gerçek bu değildir. Gelin birkaç diğer gerçeğe bakış atalım:

Sizin doğduğunuz gün, Dünya’da 360.000 kişi daha doğdu! Ay içerisindeki günlere göre doğum oranlarına baktığımızda, tam da beklendiği gibi doğumların hemen hemen eşit dağıldığını görüyoruz. Ayın 31'inde doğanların oranı, diğer günlere göre yarı yarıya düşük, çünkü 31 gün çeken aylar sadece 2 ayda 1 meydana geliyor. Bu verilerden anlayabileceğimiz gibi, herhangi bir günün diğerine göre hiçbir özelliği ya da üstünlüğü/zayıflığı bulunmuyor.

Doğum gününüzü bu kişilerle paylaşmanızın yanı sıra, 19,5 milyon insan sizinle aynı günde ama farklı yıllarda doğdu ve şu anda hala yaşıyor! Örneğin 20 Kasım'da doğduysanız, şu anda Dünya'da sizinle bu doğum gününü paylaşan 20 milyona yakın insan bulunuyor. Basit bir hesaplamayla, bunların 205.000 civarı Türkiye'de yaşıyor! 

En çok bebek Temmuz-Ekim arası doğuyor; en az doğum ise Şubat ayında meydana geliyor. Bu da oldukça mantıklı, çünkü birçok ebeveyn yavrusunu yazın doğurmaya çalışıyor. Bu nedenle "çalışmalara" bunu göz önüne alarak başlıyor.

Elbette, Dünya’daki en az paylaşılan doğum günü 29 Şubat... Zira bu gün, her 4 senede 1 defa var olan bir "artık gün".