Alternatif Akım ile Bir İleri Bir Geri Hareket Eden Elektronlar, Her Döngüde Ne Kadar Yol Alır?

Hangi ders kitabını açarsanız açın, filamentli lambaların ışık saçmasını sağlayan şeyin, ince bir telden geçen elektronların o teli ısıtması sonucu olduğunu söylediğini görürsünüz. Bu doğrudur, ancak bu süreç tam olarak nasıl işliyor? Örneğin alternatif akım altında bir o yana bir bu yana salınan elektronlar nasıl oluyor da filamenti ısıtıyorlar? Bu enerjiyi nereden alıyorlar ve her biri ne kadar güce sahip?

Bunları cevaplayabilmek için, öncelikle her bir elektronun alternatif akım altında nasıl, ne hızda ve ne kadar hareket ettiğini hesaplamamız gerekir. Somut sayılarla ilerleyebilmek adına, gerçekçi bir örneği ele alalım: 50 Hz'lik alternatif akım altındaki elektronların ne kadarlık bir mesafede salındıklarını görmek için, 240 Volt'luk bir devrenin 100 Watt'lık bir ampulü, 1 milimetre karelik (0.01 cm²) kesit alanına sahip bakır tellerle yaktığını düşünebiliriz.

Bu durumda cevap, 3 kısımdan oluşur: Öncelikle elektronların bakır teldeki hareket miktarını (mesafeyi) hesaplayacağız. Sonrasında elektronların ışığı mümkün kılan tungsten filament içinde ne kadar yol kat ettiğini hesaplayacağız. Son olarak, her bir elektronun filamente, filamentin kesit alanı boyunca ne kadar güç verdiğini hesaplayacağız.

Alternatif Akımdaki Elektronların Hareketleri

Akım altındaki elektronların hareket miktarını ($\lambda$) şu formülle hesaplarız:

$\lambda =\frac{Q}{qNA}$

Burada $Q$ alternatif akımın yarım döngüsünde akan yük, $q$ elektron yükü, $N$ telin yapıldığı malzemenin elektron yoğunluğu, $A$ ise telin kesit alanıdır.

Bakır Telde Elektronların Hareketi

Verilen bilgilerden akan akımın $100W/240V=0.42A$ olduğunu bulabiliriz. Bu, alternatif akımın ortalama değeri gibi düşünülebilir (teknik olarak "karekök ortalaması" veya İng: "root mean square" veya kısaca "RMS" olarak bilinen değerdir). Bu tür bir alternatif akımın doruk noktası $0.59A$ değerindedir. Her bir yarı döngüde $0.0038C$ değerinde yük akar. Bunların hepsi matematiksel olarak hesaplanabilir, ancak bunun nasıl hesaplandığını görsel olarak görmek isterseniz, aşağıdaki grafikte yarı-döngünün altında kalan alanın (griye boyanmış kısım) integral hesabıyla bulunabileceğini söyleyebiliriz:

Bir elektronun yükü $1.6\times 10^{-19}$ olduğu için, 0.0038 Coulomb'luk yük, $\frac{0.0038}{1.6\times 10^{-19}}=2.4\times 10^{16}$ elektrona karşılık gelmektedir. Dolayısıyla bu, yarım döngü içerisinde tel içinde herhangi bir noktada akan elektron sayısıdır.

Öncelikle bakır telin kendisine bakalım. Bakır telin oda sıcaklığında serbest elektron yoğunluğu $8.5\times 10^{22}\text{elektron}/c{m}^3$ düzeyindedir. Bu sayı, bakırın temel özelliklerinden biridir. Bakır atomlarının her biri, akımı taşıyan elektronlara 1 adet katkıda bulunur, dolayısıyla bakır tel içinde santimetre küp başına $8.5\times 10^{22}$ atom olduğunu söyleyebiliriz.

0.01 cm² alana sahip bir tel içinde $8.5\times 10^{22}\ast 0.01=8.5\times 10^{20}\text{elektron}/c{m}^2$ düzeyinde elektron bulunur. Yani telin her bir santimetre karesinde $8.5\times 10^{20}$ adet elektron vardır.

Dolayısıyla 0.0038 Coulomb, telin $\frac{2.4\times 10^{16}}{8.5\times 10^{20}}=0.000028$ santimetrelik (veya 0.28 μm, yani 0.28 mikrometrelik) kısmındaki yük miktarıdır. Bir diğer deyişle, bir yarı döngü sırasında elektronlar tel içindeki herhangi bir noktada 0.28 μm düzeyinde yol kat ederler.

Tungsten Filamentte Elektronların Hareketi

Aynı hesabı bir Edison Lambası'nı yakan tungsten filamentler için de tekrar edebiliriz. Tunsgstenin elektron yoğunluğu, bakırdan farklıdır: $1.26\times 10^{23}\text{elektron}/c{m}^3$. Yani aynı hacimdeki tungsten ve bakır tellerden tungstende, bakıra nazaran 1.5 kat fazla elektron vardır. Ayrıca bir lamba içinde tungsten filamentin sarımlarını açtığınızdaki alanı $1.26\times 10^{-5}c{m}^2$'dir. Bu bilgileri en başta verdiğimiz formüle direkt koyacak olursak:

$\lambda =\frac{0.0038}{1.6\times 10-19\ast 1.26\times 10^{23}\ast 1.26\times 10^{-5}}=0.015cm$

Bu, 150 μm demektir. Yani tungsten içindeki elektronlar, bakırdakinden 500 kat fazla yol kat etmek zorundadır. Bunun nedeni, tungstenin çok daha ince olmasıdır, dolayısıyla tungsten filament içinde birim uzunluk başına çok daha az sayıda elektron vardır. Buna bağlı olarak da aynı miktarda yükü taşımak için elektronların daha fazla yol kat etmesi gerekir. Üstelik bu, tungstenin elektron yoğunluğu bakıra göre 1.5 kat fazla olmasına rağmen böyledir - bu da olmasa, tungstendeki elektronların daha da fazla yol alması gerekecekti.

Buna rağmen, aldıkları yol halen çok küçüktür: Bir elektronun tungsten içinde kat ettiği yol, telin kendi kalınlığının 7.000'de 1'i kadardır!

Elektron Başına Taşınan Güç

Son olarak, filament boyunca elektrik alanının gücü ile elektronların hareket ettiği mesafeyi bir arada kullanarak, her bir elektronun elektrik alandan aldığı gücü hesaplayabiliriz. Bu da filament boyunca tungsten telin Evren'deki elektrik alandan aldığı toplam gücü hesaplamamızı sağlar.

Öncelikle tel içindeki elektronların hızının nasıl değiştiğini görmemiz lazım. Bu hız, bir sinüs dalgasını takip eder, çünkü elektronların hızı ile teldeki akım doğru orantılıdır. Elektronların hız grafiğini çizdiğimizde, grafiğin altında kalan alan, elektronlar tarafından kat edilen yola eşittir. Bunun, az önce hesapladığımız gibi 0.015 santimetre olabilmesi için, sinüs dalgasının doruğunun 2.36 cm/sn olması gerekir.

Elektronlar, elektrik alanın üzerlerine uyguladığı kuvvet dolayısıyla filamentin uzunluğu boyunca ivmelenirler. Bu kuvvet, alanın gücü (metre başına volt, yani $V/m$ biriminde) ile elektron yükünün çarpımıyla bulunur.

240V ve 100W'lık bir Edison Lambası'nın içindeki filamentin sarımlarının açılması sonucu elde edilen uzunluk 1.07 metre kadardır. Evet, şaka yapmıyoruz! 1 metreden uzun bir filament, lambanın içine sığdırılabilmek için 2-3 santimetre olacak düzeyde sarılır. Bu filament üzerindeki voltaj ortalama 240V düzeyindedir - ki bunun tepe noktası 339V düzeyindedir. Bu durumda, sinüs dalgası şeklindeki alan gücü $\frac{339}{1.07}=317V{m}^{-1}$ doruk düzeyindedir. Bunu elektron yükü olan $1.6\times 10^{-19}C$ ile çarparsak, sinüs dalgasının tepe noktasındaki kuvveti $5.07\times 10^{-17}N$ olarak hesaplayabiliriz.

Şimdi, temel fiziği kullanabiliriz: Belli bir hızda giden bir cismin üzerine uygulanan kuvvet, ona kuvvetin miktarı ile cismin hızının çarpımı kadar güç aktarır. Dolayısıyla sinüs dalgası şeklindeki kuvveti, sinüs dalgası şeklindeki hızla çarparsak, gücü bulabiliriz. Bunu yaptığımızda, aşağıdaki grafiği elde ederiz. Bu grafik, elektrik alan sayesinde filament içindeki her bir serbest elektrona verilen gücü göstermektedir:

Bu grafiğin skalalası attoWatt (aW) düzeyindedir. 1 aW, 10^-18 W güce karşılık gelmektedir. Bu grafikteki tepe noktası, kuvvetin Newton cinsinden tepe noktası ile hızın saniyede metre cinsinden tepe noktasının çarpımıdır:

$5.07\times 10^{-17}\ast 0.0236=1.2aW$

Bu hesaplamada gücün her zaman pozitif olduğuna ve voltaj ile akımın iki katı frekansa (yani 100 Hz frekansa) sahip olduğuna dikkatinizi çekeriz. Bir diğer deyişle, alternatif akım kaynağının hem pozitif hem de negatif yarı-döngüleri sırasında pozitif güç aktarılmaktadır. Bunun zamana göre ortalamasını alırsak (ki bu, grafikte kırmızı çizgi ile gösterilmiştir), ortalama gücün 0.6 aW veya $6\times 10^{-19}W$ olduğunu görebiliriz.

Edison Lambaları Nasıl Çalışıyor?

İşte bu, elektrik alanın filamenti tam olarak nasıl ısıttığıdır. Bir ışık düğmesine bastığınızda, Edison lambaları gibi bir lambayı oluşturan bir filament, yani incecik bir iplik üzerinden geçen güçlü bir elektrik akımı, filamenti oluşturan maddenin atomlarını ısıtır. Çünkü dirençli bir tel üzerinden yüksek bir akım geçirmeye çalışırsanız, Evren'in dokusundaki elektrik alanı, her bir elektrona, elektronun hızı ve elektrik alanın şiddeti oranında güç verir. Elektronlar aldıkları bu güç ile tungsten atomlarına çarparlar, onları daha fazla titreştirirler ve bu titreşim, filamentin ısınmasına neden olur. Zaten "sıcaklık" dediğimiz şey, bir ortamdaki atomların kinetik enerjilerinin ortalamasıdır. O filamentin atomlarının kinetik enerjisi arttıkça, tanım gereği, sıcaklığı da artar. 

Burada kritik bir nokta, lambalarda kullanılan metallerin erime sıcaklığının çok yüksek olmasıdır. Mesela yaygın bir filament malzemesi olan tungsten için bu, 3422 derece civarıdır. Geçirdiğiniz akım, bu sıcaklığa sebep olacak düzeyde olmadığı müddetçe, metal ısındıkça ısınır; ama eriyemez. Yine de bu enerjinin bir yere gitmesi gerekir. Bir kısmı etrafa ısı olarak saçılır; bu nedenle eski tip ampuller etraflarını çok ısıtır. Ama geri kalan enerjinin önemli bir bölümü, tungsten atomu etrafındaki elektronların bir üst orbitale sıçramasına neden olur. Bu elektronlar bu yüksek enerji seviyesinde çok uzun süre kalamazlar, hemen eski hallerine geri dönerler. Bu orbital düşüşü sırasında, iki orbital arasındaki enerji farkı, bir foton olarak etrafa saçılır. Böylece lamba, bulunduğu odayı aydınlatmış olur.

Filamentteki Toplam Güç

Şimdi başladığımız işi bitirelim ve filamentin genelindeki gücü hesaplayalım.

Tungstenin elektron yoğunluğunun $1.26\times 10^{23}\text{elektron}/c{m}^3$ olduğunu zaten biliyoruz. Filamentimizin kesit alanı ise $1.26\times 10^{-5}c{m}^2$. Dolayısıyla telin her bir santimetresinde $1.26\times 10^{23}\ast 1.26\times 10^{-5}=1.58\times 10^{18}$ adet elektron vardır.

Her bir elektronun aldığı güç $6\times 10^{-19}W$ olduğu için, filamentin her bir santimetresi için elektronlara aktarılan gücün $1.58\times 10^{18}\ast 6\times 10^{-19}=0.95W$ olduğunu hesaplayabiliriz.

Elbette bu sonuç hiç de şaşırtıcı değil, çünkü zaten en başta lambamızın gücünün 100 W olduğunu söylemiştik. 107 santimetrelik bir telin tamamında $107\ast 0.95=101.65W$ güç bulmaktayız. Yuvarlama hataları ve hata payları çerçevesinde bu, tam da beklediğimiz sonuçtur.