Virial Teoremi Nedir? Matematiksel Temelleri Nelerdir?

Virial teoremi; kendi kütleçekimi altında çökerek homojen kütle dağılımına sahip küresel bir yapı şeklinde dengeye gelmiş bir cismin toplam kinetik enerjisinin kütleçekimsel enerjisinin yarısına eşit olacağını ifade eder. Daha basit bir ifadeyle; hidrostatik dengedeki bir yıldızın kütleçekimsel enerjisinin yarısı, gazı ısıtmak üzere termal enerji olarak harcanır.

$U$ termal enerji ve $\Omega$ kütle çekimsel potansiyel enerji olmak üzere aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:

$U=-\frac{\Omega }{2}$

Eğer yıldız hidrostatik denge durumunda değilse, bu durumda bir eşitlikten söz edilemez. Kütleçekimsel enerjinin fazla olması durumunda, yıldız çökmeye devam edecek ve bu süreçte de dengeye gelene kadar gazı ısıtmaya devam edecektir. (Ayrıca bkz. Jeans Kriterleri)

Virial Teoremi Denkleminin Elde Edilişi

Hidrostatik denge durumundaki bir yıldız için şu denklem yazılabilir:

$\frac{\text{dP}}{\text{dr}}=-\frac{\text{GM(r)}\rho (\text{r})}{r^2}$

Bu denklemi aşağıdaki ifade ile çarpalım:

$\frac{4}{3}\pi r^3\text{dr}$

Böylece şu denklemi elde edeceğiz:

$\frac{4}{3}\pi r^3\text{dP}=-\frac{4}{3}\pi r^3\text{GM(r)}\rho (\text{r})\text{dr}$

Birim kütle elemanı $\text{dM}$ ise birim alan ile yoğunluğun çarpımı olarak ifade edilebildiğinden şöyle yazılabilir:

$\text{dM}=4\pi r^2\rho (\text{r})\text{dr}$

İlgili katmanın hacmiyse aşağıdaki gibidir:

$\text{V}=\frac{4}{3}\pi r^3\text{dr}$

Bu halde, (4) numaralı denklem, (3) numaralı denklemde solundaki ifade yerine; (5) numaralı denklem ise (3) numaralı denklemde sağdaki ifade yerine yazılırsa, (3) numaralı denklem aşağıdaki şekle gelir:

$\text{VdP}=-\frac{\text{GM(r)}}{3r}\text{dM}$

Eğer yıldızın kütlesi boyunca integral alırsak, kütle çekimsel potansiyel şöyle bulunur:

$\Omega =-{\int }_0^M\frac{\text{GM(r)}}{r}\text{dM}$

${\int }_0^V\text{PdV}=\frac{1}{3}{\int }_0^M\frac{\text{GM(r)}}{r}\text{dM}$

$3{\int }_0^V\text{PdV}=-\Omega$

İdeal gaz yasasına göre, $T$ sıcaklığına sahip bir gaz içerisindeki parçacıkların kinetik enerjileri $3kT/2$'dir. Bu durumda termal enerji $ϵ$ şöyle yazılır:

$ϵ=\frac{3\text{NkT}}{2V}$

Gazlarda basınç için bildiğimiz $PV=NkT$ ifadesini, $ϵ$ cinsinden, $P=2ϵ/3$ olarak yazabiliriz. Bu durumda (9) numaralı ifade aşağıdaki şekilde yazılabilir:

$\Omega =-2{\int }_0^Vϵ\text{dV}$

Bu ifadedeki integral kısmı, yıldızın toplam termal enerjisi $U$'yu ifade eder. Böylelikle bu büyüklük şöyle yazılabilir:

$U=-\frac{\Omega }{2}\text{ veya }2U+\Omega =0$