Russell Paradoksu Nedir? Kümeleri Tanımlamakta Kullanılan "İyi Tanımlanmış Nesneler Topluluğu" Ne Anlama Gelir?

Okuyucuların çoğu, küme kavramına lise, hatta ortaokul zamanlarından aşinadır. Matematiğin en temel kavramlarından biri olan kümeler, bilim adına vazgeçilmezdir; sadece teorik matematikte değil mühendislik bilimlerinde, hatta biyolojide de kullanılmaktadır. Uygulama alanı böylesine geniş ve gayet basit olan bu matematiksel yapıların tanımını yapmak zordur, zaten kolay olan bir şeyi ifade etmek neredeyse her zaman daha zordur.

Bir küme nedir diye sorulduğunda alınan cevap "iyi tanımlanmış nesneler toplululuğu" olur. Ancak bu yeterince açık bir cevap değildir, çünkü "iyi tanımlanmış" kalıbının anlamı çok derindir. Bu yazıda yapacağımız şey matematik tarihinde bir serüven olacak, kümenin ilk tanımlandığı halden bugünkü haline evrimini yaşayacağız.

Küme Kavramının Doğuşu ve Sancılı Gelişimi

Küme kavramı ilk kullanıldığı zamanlar çok spekülatiftir; tam olarak ne zaman olduğu bilinmiyor. Ancak bu yapıları matematiksel olarak ilk tanımlayan kişi Georg Cantor'dur. Kendisi, kümeler kuramının babası olarak bilinir. Onun sayesinde küme kavramı, 1800'lü yılların ikinci yarısında ilk defa tamamen matematiksel bir kimlik kazanmıştır.

O zamanlarda matematikçiler, "Küme nedir?" sorusuna "belirli nesneler topluluğu" cevabını veriyordu. Ancak "belirli" kavramı soru işaretleri yaratıyordu. Küme kuramı üzerine ikili işlemler ve metrikler tanımlanacak kadar matematikselleşmiş, hatta çoğu alanın içine yedirilmişken, böylesine açık olmayan bir kavram birçok matematikçiyi rahatsız ediyordu. Çünkü "belirli", herkese göre değişebilir ve işin içine fazlaca öznellik katılabilirdi. Mesela bir kişiye göre "yeşil renkli objeler" bir küme belirtirken, renk körü bir kişiye göre "kırmızı renkli objeler" kümesini belirtebilirdi. Her iki durumda da bir küme belirtiyor gibi durabilir; ancak aynı nesneler, iki ayrı küme belirtiyor ve bu kümeler birbirine eşit olmuyordu. Burada bir sıkıntı mevcuttu, çünkü belki somut objeler üzerinde kurulan kümelerde bir sorun çıkmayacaktı; ancak sayıları eleman olarak alan kümeler inşa edilirken fonksiyon tanımlamakta, dolayısı ile bilim içerisinde matematiği kullanmada sorun çıkacaktı.

Bu nedenle matematikçiler, günü kurtaran bir çözüm olarak hepsi küme kavramını aynı tanım ile kullandı. Böylece bir sorun da çıkmayacaktı; ancak hala renk körü örneğindeki sorun devam ediyordu. Sadece bir nebze olsun önüne geçilmişti. Bu sorunun ortadan kaldırılma görevi ise Bertrand Russell'ın olacaktı.

Russel Paradoksu ve Küme Kavramına Yepyeni Bir Bakış Açısı

Bertrand Russell, 18 Mayıs 1872'de Galler'de dünyaya geldi. Kendisi dahi bir matematikçi, mantıkçı, filozof ve tarihçidir. Çok yönlü birisi olan Russell'ın bu özelliği, küme kuramındaki bu problemi giderecekti.

Russell, tanımlanan her kümenin aslında bir küme olmadığını gösterdi. Lisede meşhur "uçan inekler" kümesi vardır: Öğretmen tahtaya {uçan inekler} yazar ve uçan inek olmadığı için böyle bir küme yoktur der. Bu yanlıştır; çünkü henüz uçan bir inek görmemiş olmamız, uçan ineklerin var olmadığı anlamına gelmez.

Russell'ın yaptığı şey böyle bir şey değildi. Russell, az önceki "mavi objeler" ve "kırmızı objeler" örneğindeki gibi öznel yargılar ile tanımlanan kümelerin "var olamayabileceğini" gösterdi. Yani aslında başından beri bir problem yoktu; sadece tanıma ufak bir koşul eklenmesi gerekiyordu.

Şimdi Russell'ın inşa ettiği kümeye ve neden bir paradoksa sebep olduğuna bakalım.

Tanım (Russel Kümesi):

Russell kümesi $R=\{x|x\notin R\}$ olarak tanımlanır. Yani sözel olarak ifade etmek gerekirse, bu kümenin elemanları, bu kümede değildir. Şimdi buradaki paradoksu yakalayalım.

$x\in R$ olsun. O halde, $x\notin R$ olacaktır. Bu da şu soruyu akıllara getirir: $R$ kümesi kendini barındırıyor mu? Eğer barındırıyorsa $R\in R$ olacaktır ve bu da bize $R\notin R$ olduğu bilgisini verir. Yani $R$ kendini barındırmıyor gibi görünür. Fakat tanıma bakılırsa eğer $R\notin R$ ise $R\in R$ olmalıdır. Yani küme kendisi barındırıyor sonucu çıkar; ancak az önce kendini barındırmadığı sonucuna varılmıştı. Bu bir paradokstur ve 1901 yılında bu paradoksun farkına Russell varmıştı.

Bu paradokstan önce, bir kümenin $\{x|P(x)\}$ formunda tanımlanabileceği düşünülüyordu. Burada $P$, $x$'lerin bir özelliğidir (kırmızı renk olması gibi). Ancak Russell, bu paradoksu ile her daim böyle bir tanım yapılamayacağını gösterdi. Yukarıdaki bölümlerde "belirli özellikler" kısmı, bu tanımdaki $P(x)$'e tekabül ediyor. Russell'ın paradoksu ile bu tanıma yeni bir önerme daha eklenmiş oldu ve güncel küme tanımı şu anda şöyledir:

$\{x|P(x)\}$ ancak ve ancak $\forall i\ne j{P}_i\cap P_j\ne \varnothing$ önermesinin sağlanması ile küme olabilir. Yani elemanlar üzerine kurulan her özelliğin ortak bir yanı olmalıdır.

Böylece "iyi tanımlanmış" hikayesi de bir son buldu. Russell'ın bu paradoksu sayesinde matematikçiler, küme kavramını "iyi tanımlanmış nesneler topluluğu" olarak değiştirdi. Bu sayede öznellikler ortadan kalktı ve bilim ferahlığa kavuştu.