Rubik Küp Nedir? Bir Rubik Küp, Kara Delikleri Aydınlatabilir mi?

Rubik Küp; bir arada tutulurken aynı zamanda hareket ettirilebilen, birbirinden bağımsız parçalardan oluşmuş bir bulmaca türüdür. Her ne kadar çok çeşitli tasarımlar ve renklerde Rubik küpleri bulmak mümkünse de günümüzde standart olarak 6 farklı renk kullanılarak tasarlananan bu küplerin çözümü, bu aynı renklerdeki parçaları bir araya getirmeye dayanmaktadır. İlk çözümü, küpün mucidi Macar heykeltraş ve mimar Prof. Dr. Ernő Rubik tarafından 1 ayda gerçekleştirilebilmiştir.

Invention

Rubik Küp'ün Kısa Bir Tarihçesi

1974 yılında, Macar heykeltıraş ve mimarlık profesörü Erno Rubik, öğrencilere üç boyutlu nesneleri daha akılda kalıcı bir şekilde anlatmak için bir küp tasarlamaya karar verdi. Birbirinden ayırdığı parçaları birleştirmekte zorlandığını fark ettikten sonra da bunun bir bulmaca olmaya uygun olduğuna karar verdi. Bu küpe ilk olarak "Sihirli Küp" adını verdi. Ancak üretim ve satışına başlandıktan sonra bu icada "Rubik's Cube" (Tür: "Rubik'in Küpü") adı verilmiş, küpün ismi dilimize de "Rubik Küp" olarak geçmiştir.

1975 yılında patentinin alınmasıyla 1977 yılının sonlarına doğru üretimine başlanmış ve Macaristan'daki oyuncakçılarda yerini almıştır.  1980 yılında ilk defa yaygın olarak ticari hale getirilmiş ve aynı sene (ve sonraki sene de) Almanya Yılın Oyunu ödülünü "bulmaca/yapboz" kategorisinde kazanmıştır. 2021 yılı itibariyle Dünya çapında 450 milyon adet satılmıştır. Bu, Rubik Kübü'nü Dünya'nın en çok satılan yapboz oyunu yapmaktadır. Aynı zamanda Dünya'nın en çok satan oyuncağı olarak da bilinmektedir.

Klasik 3x3 küp üzerindeki 6 yüzde 9'ar yapışkan bulunur. Her biri, şu 6 renkten biridir: beyaz, kırmızı, mavi, turuncu, yeşil ve sarı. Günümüzdeki versiyonlarda beyaz sarının, mavi yeşilin, turuncu kırmızının karşısında yer alır. Her ne kadar popülerliğinin zirvesine 1980'lerde ulaştıysa da, halen "hızküpleri" diyebileceğimiz "speedcuber" isimli kişiler, Dünya rekorlarını kırmaya çalışmakta ve bu oyuncağın sınırlarını zorlamaktadır. Aşağıdaki videoda bunun bir örneğini görebilirsiniz:

Bu küplerin her bir yüzündeki parça sayısı 9 olmak zorunda değildir, daha karmaşık ya da daha az karmaşık yapılabilir. Örneğin klasik 9 parçalı bir küpte 8 köşe, 12 kenar bulunur. Köşelerdeki parçalar 40,320 farklı pozisyonda bulunabilir. Köşelerde bulunan 8 pozisyondan 7 tanesi bağımsızdır, 8.'nin pozisyonu ise önceki 7 tanesine bağımlıdır ve 2187 olasılıktan birine uymak zorundadır. Kenarlardaki parçalar ise 239,500,800 farklı olası pozisyona sahiptir. 

Benzer şekilde 11 kenarı bağımsız olarak belirleyebilirsiniz, 12. ise ilk 11'in konumuna göre 2048 olası pozisyondan birinde bulunur. Bu olasılıklar göz önüne alındığında, klasik bir Rubik kübü 43.252.003.274.489.856.000 farklı pozisyona girebilir. Bu, 43 kuintilyona eşittir (1000 katrilyon, 1 milyon trilyon). 

Yıllar geçtikçe Rubik Küp'e olan ilgi hızla artmaya devam etmiş ve farklı farklı çözüm yöntemleri ve "algoritma" adı verilen kısa hamle dizileri keşfedilmiştir. Bu çözüm yöntemlerinden en bilindik ve yaygın olanları "Çömez Metodu" dur. Bu yöntem ilk olarak herhangi bir renkte 5 kareyle bir artı şekli oluşturulmasıyla başlar. Bu artının kenarları yan yüzlerdeki renklerle uyumlu olmalıdır. Ardından artının bulunduğu yüzün köşeleri de yerine oturtulur. Bu adımı ikinci katmanın köşe parçalarının yerine oturtulması izler. Sonrasında sırasıyla en üst katmanda artı oluşturulur, artının kenarları ayarlanır ve son olarak da köşeler yerine oturtularak çözüm tamamlanır. Bu çözüm yöntemini, olabildiğince kolay bir algoritmaya dayandığı için"Çömez Metodu" olarak isimlendirilmiştir.

Küp Dili

Çözüm varyantlarının artması, algoritmalarda karmaşaya yol açmış ve bundan dolayı da evrensel bir "Rubik dili" icat edilmiştir. Bu dilin mantığı oldukça basittir ve en temelde, aşağıdaki hareketlerden oluşurlar:

• "R" harfi sağ (İng: "right") katmanı,
• "L" harfi sol (İng: "left") katmanı,
• "D" harfi alt (İng: "down") katmanı,
• "U" harfi üst (İng: "up") katmanı,
• "F" harfi ön (İng: "front") katmanı,
• "B" harfi ise arka (İng: "back") katmanı

Bu hamleleri çevirme yönü ise harfin yanında herhangi bir işaret yoksa saat yönüne (sağa), harfin yanında apostrof (') işareti varsa saat yönünün tersine (sola) doğru uygulanır.

Aslında Rubik dilinde bundan daha fazla sayıda hareket de vardır; bunları aşağıdaki listede görebilirsiniz:

JPERM

Matematiksel Altyapı

Rubik küpün üzerindeki küplerin hareketlerinin açıklanması bazı matematiksel konseptlerin anlaşılmasını kolaylaştırabilir. Ayrıca küpün nasıl çalıştığını daha iyi anlayabilmemizi sağlar.

Grup teorisi (ya da simetri teorisi), nesneye uygulandığında nesneye hiçbir etki olmamış gibi sonuç veren dönüşümleri yani simetrileri inceler. Matematiğin önemli bir dalıdır. Ancak grup teorisi sadece matematikte kullanılmaz. Özellikle modern fizikteki yeri çok önemlidir. Yine fizikte korunum yasaları ve simetrilerin açıklanabilmesini sağlar.

Uygulanan işlemlerin nesnede hiç etki bırakmamış gibi sonuç elde edilebilmesi nedeniyle bu işlemler arasındaki dönüşümler ile nesnenin istenilen başka bir sonuç vermesi de sağlanabilir. Böylece Rubik Küpün çözümü veya çalışması matematiksel olarak açıklanabilmiş olur. Bu nedenle Rubik Küpün matematiksel ifadesinin açıklamasının grup teorisi ile sağlanması mümkündür. Ancak bu yazıyı fazla uzun ve karmaşık tutmamak için, grup teorisi ile elde edilecek çözüm yöntemi ve karmaşık matematiksel ifadeleri burada belirtmedik.

3x3x3 klasik bir Rubik Küp için şu gözlemlerde bulunulabilir:

• 27 tane küçük küpten oluşur.
• Merkezdeki küp hareket edemeyeceği için, çözüm, 26 küp üzerinden düşünülmelidir.
• Bunların 8'i köşe, 12'si kenar ve 6'sı her yüz için merkez küpüdür.
• Bunların sırasıyla 3, 2 ve 1 yüzlerinin düşünülmesi gerekir.

Bu altı yüz için küp dili bölümünde anlatıldığı gibi farklı isimler kullanalım. Her yüzdeki 9 küçük küpün yüzlerine "hücre" diyelim. Bunlar küplerle aynı şekilde isimlendirilir; ancak küpün bulunacağı alanı tanımlarlar. Buna örnek olarak bir köşe küpü verilebilir. Üst, ön ve sağ yüzlerin kesiştiği yerdeki küp urf (İng: "up-right-front") harfleriyle gösterilir. Böylece, eğer Rubik Küp başlangıçtaki ​​durumundaysa yani çözülmüş haldeyse, her bir küp aynı isimli hücrede bulunur (urf küpü urf hücresinde, f küpü f'de bulunur).

Rubik Küpün bir yüzü döndürülürse, hücreler hareket etmez; ancak küpler hareket eder. Merkez küpleri ise yine kendi bölmelerinde kalırlar.

Son olarak Rubik Küpün bazı hareketlerine isim gerekir. Yapılabilecek en temel hareket, tek bir yüzün döndürülmesidir. Yüzlerin saat yönünde dönüşlerini belirtmek için R, L, U, D, F ve B büyük harfleri kullanılır. Sağ yüzü saat yönünün tersine döndürmek, R'yi üç kez yapmakla aynıdır; çünkü bir yüzü 4 kez döndürürsek, küp, eski haline gelecektir.

Kolayca anlaşılabilecek bazı noktalar şunlardır:

1. İlk olarak, hareketin merkez küplerin hangi hücrede bulunduğunu etkilemediği söylenebilir. Herhangi bir hareket, 6 temel hareketin (U, D, F, R, L, B) farklı kombinasyonları olduğundan, her harekette merkez küpleri kendi hücresinde kalır.
2. İkincisi, herhangi bir hareket sonucunda köşe hücresi kenarda veya kenar hücresi köşede bulunamaz. Çünkü bu 6 hareketin sıralamaları olarak ortaya çıkacak hareketler sonucu ancak kenar hücreleri kenar hücreleri ile, köşe hücreleri köşe hücreleri ile yer değiştirebilir.

Bu iki bilgiyi kullanarak Rubik Küpün kaç tane olası konfigürasyonu olduğu bulunabilir. Örneğin, urf hücresine bakalım. Teorik olarak, 8 köşe küpünden herhangi biri bu hücrede bulunabilir. Yani, urb hücresinde bulunabilecek 7 köşe küpü, bir sonraki köşe hücresi için olası 6 köşe küpü vardır ve bu böyle azalarak tek köşe küpü kalana kadar devam eder. Bu nedenle, köşe küplerinin bulunabileceği $8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1=8!$ tane konum vardır. Bir köşe küpünün, bölmesine 3 farklı şekilde yerleşilebileceğine dikkat edilmesi gerekir. Örneğin, urf hücresinde kırmızı, beyaz ve mavi bir küp varsa, kırmızı, beyaz veya mavi yüz hücrenin u yüzünde olabilir. 8 köşe küpü olduğundan ve her biri kendi bölmesinde 3 farklı şekilde yerleştirilebileceği için köşe küplerinin yerleşebileceği 3⁸ farklı durum vardır. Bu nedenle, $3^8\times 8!$ olası köşe konfigürasyonu olduğu sonucuna ulaşılır. Benzer şekilde, 12 kenar küpü olduğundan 12! kenar küpü konumu mümkündür. Köşe küplerinde 3 olası yerleşim olması gibi her kenar küpün 2 olası yönü vardır ve bu da 2¹² olası yerleştirme demektir. Dolayısıyla kenar küpleri için $2^{12}\cdot 12!$ konfigürasyon elde edilir.

Kenar küplerinin olası konfigürasyonları toplamda $2^{12}\times 3^8\times 8!\times 12!$ yani yaklaşık olarak $5.19022404\times 10^{20}$ mertebesindedir.

Bilgisayarlar da Rubik Küp Çözebilir!

Takviye/pekiştirmeli öğrenim, denetimli ve denetimsiz öğrenmeyle beraber makine öğrenmesinin üç temel paradigmasından biridir. Bu öğrenme biçimi, ödülü en üst düzeye çıkarmak için uygun eylemi yapmakla ilgilidir. Aslında "uygun eylem"den ziyade, "daha uygun" eylemin yapılmasından bahsedilmesi daha doğru olacaktır.

Belirli bir durumda yapılması gereken olası en iyi davranışı veya yolu bulmak için çeşitli yazılımlar ve makineler tarafından kullanılır. Takviyeli öğrenme, denetimli öğrenmeden, denetimli öğrenmede eğitim verilerinin cevap anahtarına sahip olması ve böylece modelin doğru cevabın kendisi ile eğitilmesi, takviyeli öğrenmede cevap olmaması ancak takviye alanının ne yapacağına karar vermesi bakımından farklıdır. Bir makine veri kümesinin yokluğunda, deneyimleyerek öğrenmek zorundadır ve bu durumda denetimli öğrenme değil, pekiştirmeli öğrenme kullanılması doğru olacaktır. Kısaca bu öğrenme şekli, modeli bilinen ancak analitik bir çözümün mevcut olmadığı durumlarda kullanılır. Dolayısıyla Rubik Küp çözümünün makineye öğretilebilmesi için en uygun yol bu olacaktır.

California Üniversitesinden Forest Agostinelli, Stephen McAleer ve Alexander Shmakov da bu yöntemi kullanarak rubik küpü çözmek üzere bir algoritma kurmak için DeepCubeA programı ile çalışmışlardır. Kullandıkları algoritma aşağıda verilmiştir.

Sonuçta makalede kullandıkları algoritma hakkında şunu belirtmişlerdir:

Algoritmanın genelliği; geniş durum uzayları ve birkaç durum ile ilgili problemlerin çözümü, robotik ve doğa bilimlerinde geniş kullanım alanına sahip olduğu için algoritmanın bunun gibi kombinatoryal bulmacaların ötesinde uygulamalara sahip olabileceğini düşündürmektedir.

Kullanılan algoritma hem doğa bilimleri hem robotikte geniş uygulama alanları için problem çözmede kullanılabilecek algoritmalar ile benzerlik gösterebilir. Sonuçta ortada geniş durum uzayları içerisinde seçilmek istenilen durumlar vardır ve hem robotik hem de doğa bilimlerinde buna benzer çözüme sahip olabilecek problemler olabilir.

Bu tür algoritmalar üzerine inşa edilen robotlar, Rubik Küp çözme konusunda rekor üstüne rekor kırmayı başarmıştır. Aşağıda bir kübü 1 saniyeden kısa bir sürede çözebilen bir robot örneği izlenebilir:

Rubik Küpler ve Kara Delikler

Rubik küpün çözümü için oluşturulmuş bir algoritmanın daha karmaşık doğa bilimleri problemlerini çözmekte kullanılabileceği belki çok şaşırtıcı olmayabilir. Peki Rubik Küplerin insanlara ilham verebileceği daha ilginç konular olabilir mi?

Evet, olabilir, kara delikler! Bunun için kara deliklerde bilgi paradoksu hakkında bilgi sahibi olunması gerekir, bu konudaki makalemize buradan ulaşabilirsiniz. Ama kısaca açıklamak gerekirse, kara delik buharlaşmasının ya birliktelik kaybına ya da makroskopik entropi taşıyan kalıntılara yol açacağı fark edilmiştir. Bunun olası bir çözümü için ise Hawking radyasyonunun, daha doğrusu bu radyasyon üzerine yapılacak küçük eklentiler sonucu ortaya çıkacak yapının kara delikten "bilgi kaçırması" düşünülmüştür. Ancak bazı kaynaklardaki bazı makul varsayımlara tabi olarak, ne yarı-klasik Hawking radyasyonu ne de ona yapılan küçük eklentilerin kara deliklerden yeterli miktarda bilgiyi alıp götüremeyeceği iddia edildi. Bunun yerine, kara deliğin içindeki ve dışındaki serbestlik dereceleri arasındaki dolaşıklık entropisi, kaçınılmaz olarak ya bir kalıntıya ya da karma bir duruma yol açarak, bir bütünlük kaybı anlamına gelecek şekilde artacaktır.

Bu kargaşa üzerine aynı gereksinimleri karşılayacak başka bir model Bart lomiej Czech, Klaus Larjo ve Moshe Rozali tarafından önerilmiştir. Önerilen modellemede bir Rubik Küp üzerinden modelleme yapılmıştır.

Bu modellemeyi anlamak için kara deliğin içini bir Rubik Küp olarak düşünün. Hilbert'in iç uzayı, küpün $5\times 19\times 10^{20}$ konfigürasyonu tarafından kapsanacaktır. Küpün çözülmüş durumunun iç vakum (İng: "internal vacuum") olduğunu ve buharlaşan kara deliğe tekabül ettiğini kabul edelim.

Bu durumda bir dalgalanma olay ufkunda bir parçacık-anti parçacık çifti oluşmuş olması durumunu ifade edecektir. Bu da kara deliğin bir Hawking parçacığı yaydığını gösterecektir.

Bu etki, küp çözülene kadar devam edecektir. Böylece her bir dalgalanma küp analojisinde küpün çözümüne yönelik bir ilerleme sağlanmasını sağlayacaktır. Bu da kuantum mekaniksel olarak kara deliğin dalga fonksiyonunu yavaş yavaş iç vakuma, dolayısıyla buharlaşmaya doğru yoğunlaştıracaktır. Çünkü herhangi bir rastgele hareket dizisi, eninde sonunda küpün çözümüne yol açacaktır.

Bu düşünce doğrultusunda araştırmacılar farklı yollardan aynı sonuca ulaştıran üç farklı model öne sürmüşler ve bunlardan yola çıkarak nihayet nihai bir modele ulaşmışlardır.