Oyunu Kim Kazanır: Evrimde Tekrar ve Deneme-Yanılma Süreçlerine Matematiksel Bir Bakış

Çoktan seçmeli matematik sınavlarında, eğer cevaba ulaşacak analitik yaklaşım geliştiremediysek, seçenekleri deneyerek çözüme ulaşma yoluna gideriz. Aslında hayatta karşılaştığımız birçok problemi deneme yanılma yöntemi ile çözeriz. Dil öğrenme, enstrüman çalma, bisiklete binme, araba kullanma gibi birçok becerinin analitik sihirli bir formülü yoktur. Eylemi ne kadar çok deneyimlersek, o alanda o kadar uzmanlaşırız. 

Sulama kanalları, matematik, bilardo ve evrim konuları birbirleriyle alakasız görünseler de deneme yanılma yönteminin sıra dışı gücü onları ortak bir paydada birleştirir. 

Sulama Kanallarının Deneme Yanılma Yöntemi ile Evrimi

Minimum malzeme kullanarak, suyu taşırıp heba etmeden, tarla bitkilerine maksimum debide su iletebilecek açık kanal kesiti, analitik hesaplamalar sonucu, yarım çember olarak tespit edilmiştir. Kanalların iki ucu arasındaki kot farkı, ıslak kesit alanı ve yüzey pürüzlülüğü aynı olan kare, dikdörtgen, üçgen veya yamuk açık kanal kesitleri, suyu yarım çember kesit kadar hızlı deşarj edemez. Acaba çiftçi atalarımız, analitik hesap yapmadan, tamamen deneme yanılma yöntemi ile debiyi maksimize edecek kanal kesitine ne kadar yaklaşabilmiştir?

Hüseyin Aça

Kanal kenar sayısı değişimini türleşme, kanal kenar uzunluğu ve kenar açısı değişimini ise tür içi varyasyon farz edelim. Bu durumda, Tarım Devriminin başlangıcından beri su kanallarının muhtemel kesit evrimi, canlıların türleşme ve tür içi varyasyon sürecini andıracaktır. Çiftçi atalarımız, üretimi en kolay üçgen kesit ile işe başlamış olmalı. Derin kazının yapılamadığı sert zeminde su isale etmek zorunda kalındığında, kanal tabanına bir kenar daha eklenerek yamuk kesit geliştirmiş ve yeni bir türe ulaşılmıştır. Alanın yetersiz olduğu dar bir geçitten su isale etmek zorunda kalındığında ise yamuğun kolları dikleştirilerek dikdörtgen kesit geliştirilmiştir. Kenar sayıları aynı olduğu için dikdörtgen kesit, yamuk kesitin alt türü olarak kabul edilebilir.

Üçgen kesitin 2 kenar uzunluğu ve açıları deneme yanılma yoluyla zamanla değiştirilmiş, yani tür içi varyasyonlar denenmiş ve üçgen kesitler içinde maksimum debi taşıyan yarım diyagonal kareye ulaşılmıştır. Yıllar içinde yamuğun kenar uzunlukları ve açıları değiştirilerek yamuk kesitler içinde maksimum debi taşıyan yarım altıgene ulaşılmıştır. Dikdörtgen kesitin sadece kenar uzunlukları değiştirilerek, dikdörtgen kesitler içinde maksimum debi taşıyan yarım kareye ulaşılmıştır. 

Toprağın yumuşak olduğu alanlarda şev stabilizasyonu açısından yarım altıgen kesit, yarım kare kesitten daha avantajlıdır. Dar alanlarda yarım kare kesit, yarım altıgen kesitten daha avantajlıdır. Kısıtlı zaman tanınan karayolu inşaatlarında, üretimi daha kolay ve hızlı üçgen kesitler, yağmur drenaj kanallarında ciddi avantaj sağlar.

Hüseyin Aça

Çiftçi atalarımız, kanal yapımında kullanılan malzemenin tasarrufu, kanal üretim zorluğu, kanal yapılacak alanın efektif kullanımı ve şevin stabilizasyonunun sağlanması gibi parametreleri de göz önünde bulundurarak, tedricen debiyi arttırmayı başarmışlardır. Yarım altıgen kesit, çiftçi atalarımızın deneme yanılma yöntemi ile geldiği en iyi noktadır. Yarım altıgen kesit, analitik hesapla maksimum debi taşıdığı tespit edilen yarım çember kesitten sadece %5 daha düşük debide su taşır. 

“Eğer yarım altıgen kesit gelinen en iyi nokta ise neden diğer kesitler hala kullanımda?” sorusu ile “Eğer evrim varsa şempanzeler neden insan olmuyor?” sorusu açıktır ki, absürtlük hususunda birbirleriyle yarışır. 

Matematikte İteratif Yöntemler

“3x/10=x” eşitliği, çok basit görünmesine rağmen, çetrefilli Lambert W-Fonksiyonunu saymazsak, bilinen analitik yöntemlerle çözülemez. Neyse ki çiftçi atalarımızın deneysel yaklaşımı imdadımıza yetişiyor. İteratif Yöntemler (Ardışık Tekrar), deneme yanılmayla kademeli olarak debiyi arttıracak kesite yakınsayan kanallar gibi, denklemin gerçek çözümüne yeterli hassasiyette yakınsayarak çözüm olanağı sunarlar.   

Hüseyin Aça

Graph Sketch

İterasyon Yöntemi ile “3x/10=x” eşitliğinin 5 basamak hassasiyetindeki çözüm yolu excel tablosunda gösterilmiştir. 8. denemede sağ ve soldaki “x” değerleri 0,11325’de eşitlenmiştir. Öyleyse eşitliğin bir kökü 0,11325’tir. 

“3x/10=x” eşitliğinde, solda yer alan “x”e başlangıçta “1” değeri verildi ve çözüm kendiliğinden 0,11325 değerine yakınsadı. Başlangıç değeri 3’ten küçük her değer için çözüm yine 0,11325 değerine ısrarla yakınsadı. Fakat aynı eşitlikte başlangıç değerine 3’ten büyük sayı verildiğinde excel hücresine sığmayan basamaklarda sayılar ortaya çıkıyor. Yani çözüm sonsuza ıraksıyor. Acaba 3 ve 4 aralığında eşitliğin bir çözümü daha olabilir mi? 

Üsteki “x”i yalnız bıraktığımızda, aynı eşitliğin logaritmik formu olan “log3(10x) =x” eşitliği oluşur. Bu eşitliğe iterasyon yöntemi uyguladığımızda 12.denemede 5 basamak hassasiyetindeki eşitliğin ikinci kökü 3,13636 değerine ulaşırız. 

İterasyonla Bilardoda Ustalığa Ulaşma Süreci

TEDx Alsancak sunumundan 2 dakikalık alıntıda, Bilardo Ustası Semih Saygıner “Oyunu kim kazanır?” sorusuna basitçe “Çok çalışan kazanır.” cevabını veriyor. İtme, momentumun korunumu, enerjinin korunumu gibi tamamı ile fiziğin konusu olan 3 bant (3 top) bilardo oyununda neden fizik profesörleri değil de pratik olarak çok çalışan kazanıyor? 

3 bant bilardoda, topların, bantların ve çuhanın sürtünme katsayıları, vuruş yapılan topun dönme ve öteleme kinetik enerjileri, momentumun korunumu, enerjinin korunumu, istekadan topa aktarılan enerji, istekanın ağırlığı, vuruş açısı ve noktası ile vuruş kuvvetini içeren fiziksel bir eşitlik yazmak mümkündür. Fakat bu kompleks denklemin, idealize edilmeden analitik yollarla çözülmesi mümkün değildir. Eğer analitik çözüm olsaydı, az bir çalışma ile fizik profesörleri usta bilardocular olurlardı. Oysa usta bilardocular, bilardo salonlarından çıkmayan, devamlı iterasyon yöntemi ile optimum vuruş açısını, vuruş noktasını ve vuruş kuvvetini her bir pozisyon için yeterli hassasiyette tespit eden oyunculardır.

Bilardoda ustalığa ulaşma süreci şu iteratif döngüde gelişir. 

1. Vuruş açısını, vuruş noktasını ve vuruş kuvvetini kabaca hesapla.(Prototip Oluştur)
2. Kabaca hesaplanmış değerleri topa uygula.(Prototipi Dene)
3. Sayı olup olmadığına dair olumlu/olumsuz sonucu gör.(Prototipten Geri Bildirim Al)
4. Sonuç olumsuzsa vuruş açısını, vuruş noktasını ve vuruş kuvvetini ufak ölçülerde değiştir ve tekrar bir vuruş prototipi oluşturarak başa dön.(Prototipi Rafine Et)

Bu döngüyü on binlerce kez tekrarlayanlar bilardoda ustalığa ulaşırlar. Aslında öğrenme dediğimiz süreç, iterasyon yöntemi ile kendi kendini dizayn eden bir süreçtir. Bazı davranışların öğrenilebilmesi için tek iterasyon bile yeterken, dil öğrenme, enstrüman çalma, bilardoda ustalığa ulaşma gibi çok parametreli faaliyetler için binlerce iterasyona ihtiyaç duyulur.

Bebek, ısı yayan sobayı merak ederek dokunmaya karar verir. Sonra bu kararını uygular. Sobadan şiddetli bir geri bildirim alır ve ağlamaya başlar. Artık sadece sobaya değil, ısı yayan diğer cihazlara da dokunmayacaktır. Bebek tek iterasyon döngüsünde sıcak cisimlere dokunulmayacağını artık öğrenmiştir.

Evrimde İterasyon Süreci

Gelelim asıl konumuz olan evrimde iterasyon sürecine:

1. Üreme yoluyla farklı yavrular Dünyaya getir. (Prototipler Oluştur)  
2. Hayatın boyunca oluşturduğun farklı yavruları mevcut fiziksel ortama bırak. (Prototipleri Dene)
3. Mevcut fiziksel ortama uyumlu olmayanlar yok olsun, uyumlu olanlar yaşamaya devam ederek döngüde tekrar başa dönülsün ve ortam şartlarına kalibre olmuş daha başarılı prototipler üretilsin. (Prototipleri Rafine Et)

Evrimsel iterasyonun, öğrenme iterasyonundan tek farkı, evrimsel döngüde geri bildirim alınmaz. Çevresel şartlara uyumsuz üretimler elenip, uyumlu olanlar yaşadığı ve ürediği için evrimsel iteratif süreç, hayatta kalanlar açısından, olumlu geri bildirim alınmış gibi işler. Bu nedenle hayatta kalıp üreyenler açısından, evrimsel döngüye “Deneme Geliştirme” süreci diyebiliriz. Oysa evrimsel iterasyonda kaybedenlerin ve soyunu devam ettiremeyenlerin sayısı, kazananlardan binlerce kat fazladır. Kaybedenler de dahil edildiğinde, evrimsel iterasyon tam anlamıyla bir “Deneme Yanılma” sürecidir. Şu an Dünya üzerinde yaşayan bütün canlılar, kazananların soyunun devamı olsa da, evrim geri bildirim almayan, yönü belirsiz kör bir süreçtir. Ayrıca yaşayan bütün canlılar, çevre şartlarına uyum sağlama yolunda evrimleşmeye devam eden birer prototiptir, nihai ürünler değil. “3x/10=x” eşitliği ve aynı eşitliğin logaritmik formu iterasyonla stabil 2 kesin cevaba kalibre oldu. Eğer aranılan cevap, yani uyum sağlanacak çevre şartları sürekli değişiyorsa kalibrasyon süreci de nihayete varamaz. Canlılar, değişken çevre şartlarının gölgesi gibi hareket eder ve değişimleri nihai ve amaçlı değildir. Paris’te bulunan referans ölçü birimleri sürekli değişseydi, diğer ülkelerin ölçü birimleri de sürekli kalibrasyon halinde olan prototipler olarak kabul edilirdi. 

Evrim, canlıların kendi kendilerini dizayn ettiği bir iterasyon sürecidir. Burada kritik nokta, iterasyona zemin hazırlayan üremedir. Kendi kopyasını üreterek iterasyona giren canlı dışı varlıklar da kendi kendini dizayn edecek ve mükemmelliğe ulaşacaktır. Maalesef kendi kopyasını üreten canlı dışı bir varlıkla henüz karşılaşamadık. O yüzden "Bu mükemmel kol saatinin bir ustası var, canlıların da olmalı" argümanı kendi kopyasını üreten canlılar için geçerli değildir. “İlk hücre neden bölünmeye başladı?” sorusu şüpheye yer bırakmayacak ölçüde bilimsel cevap bulduğunda, canlılığın en büyük gizemi artık çözülmüş olacaktır. Bölünmeye başlayan ilk hücre, 3 kademeli evrimsel iterasyon sürecinin fitilini ateşleyerek, milyonlarca çözümü olan bir denklemin, kendisine en yakın çözümüne doğru yol almaya başlayacaktır. İlk hücre bölünmeye başladığında, gerisi iterasyon döngüsüyle çorap söküğü gibi gelecektir. 

Başkalarının Ayak İzine Basarak Onları Geçemezsin!

Her ne kadar Bolu Gerede Karayolunda seyir halindeki kamyon arkası aforizma izlenimi verse de, Semih Saygıner’in yıllar önce bir yerde okuduğunu söylediği bu söz, evrimin çeşitlenme olgusunun edebi karşılığıdır. Bölünmeye başlayan ilk hücre, sürekli birebir kopyasını çıkarmış olsaydı, üretken evrimsel döngü, kısır döngüden öteye gidemezdi. Birbirlerinden eser miktarda farklı olan kopyalar üretmek, milyonlarca çözümü olan bir denklemde, farklı kopyaların kendilerine en yakın çözüme doğru yol almasını sağlayacaktır.

“3x/10=x” ve “log3(10x) =x”  özdeş eşitlikleri, iterasyonla stabil 2 kesin cevaba doğru yol aldı. Fakat Dünyanın sahip olduğu çevresel şartların yarattığı kompleks denklemde milyonlarca geçici çözüm vardır. Diğer canlıların pozisyonları da çevresel şartlara dahil edildiğinde, denklemin çözümleri inanılmaz derecede artar. Vahşi doğada avı yakalama denkleminin, akla ilk gelen 2 temel özdeşi vardır. İlki hızı arttırma, ikincisi kamuflaj geliştirme denklemi. Evrimsel iterasyon ile avcı hayvanlar bu 2 özdeş denklemin çözümlerini ayrı ayrı ya da birlikte bulmuşlardır. Avcılar, av hayvanları için dış çevresel koşul oluşturduğundan, av hayvanları da bu 2 denklemin çözümüne sürüklenmiş ve onlar da hız ve kamuflaj geliştirmiştir. Yahut tam tersi, önce av hayvanları kamuflaj ve hız geliştirmiş, avcılar avın peşinden sürüklenerek denklemin 2 çözümüne kalibre olmuştur.

Bütün parametrelerin birbirleriyle bağlantılı olduğu, neden ve sonucun devamlı yer değiştirdiği, denklemlerin stabil değil dinamik olduğu diğer bir disiplin, ekonomidir. Borsa, bono, döviz kurlarının değişken doğasını anlamakta güçlük çekiyorsanız merak etmeyin, yalnız değilsiniz. 2008 krizini doğru tahmin eden Ekonomist Nouriel Roubini’nin bile “Kriz Kâhini” telakki edildiği bir alanda cehalet, açıkçası pek koymayacaktır. Bütün parametrelerin etkileşim halinde olduğu kompleks bir denklemin geçici bir çözümünü öngörmeye bahşedilen paye “kahinlik”. Ekonominin anlaşılması zor bir disiplin olduğunu göstermek için yeterli bir ifade. 

3 basamaklı evrimsel iterasyon döngüsü ne kadar hızlı devinirse, denklemin çözümüne o kadar hızlı ulaşılır. Bakterilerin antibiyotiklere karşı çok çabuk direnç geliştirmesinin altında yatan en belirgin sebep, hızlı üreyip iteratif süreci de hızlandırmalarıdır. İnsanoğlunun bakteriler için yarattığı her problemin çözümü, hızlı üreyen bakterilerce çok çabuk bulunuyorsa, bu oyunu kim kazanır? İnsanoğlu mu, yoksa bakteriler mi?

Hürriyet Gazetesi

Evrim İterasyonu, Öğrenme İterasyonuna Karşı

Cevabı bulabilmek için tekrar 3 top bilardo oyununa geri dönelim. 284x142 cm.’lik kullanılabilir alana sahip bilardo masasına 6 cm. çapında bilardo toplarından kabaca 47x23=1081 adet sığar. 6 cm.’den küçük hassasiyetteki pozisyonlar göz ardı edildiğinde bir top, masada kabaca 1081 farklı koordinatta bulunabilir. 3 top, bilardo masasında yaklaşık olarak 1,2 milyar küsur farklı koordinatta yer alabilir. Her bir koordinat pozisyonu için günde 8 saat, her 10 saniyede bir atış yapılsa, bütün top kombinasyonlarını bir kez denemek yaklaşık 1200 sene sürer.  

Saygıner’in başarısının geri planında sadece çalışmak olamaz. Denemelerden alınan geri bildirimin değerlendirilmesi sonucu ortaya bir fotoğraf çıkacaktır. Koordinat dağılımındaki farkları analiz ederek pozisyonları gruplandırmak,  her grup için benzer atış yapmak, istekanın yatayla açısını arttırdıkça topun tepkisini ölçerek daha az deneme ile örüntü tamamlamak, çalışmanın ortaya çıkardığı bu fotoğrafın analizi sonucunda gelişen tekniklerden bazılarıdır. Bu teknikler ile ömrünüzün tümünü denemeye yetmeyeceği 1,2 milyar küsur farklı pozisyondan daha önce hiç karşılaşmadığınız bir varyantından bile sayı üretebilirsiniz. 

Çiftçi atalarımızın 10.000 senelik Tarım Devriminden beri deneme yanılma ile geliştirdiği diyagonal yarım kare, yarım kare ve en sonunda yarım altıgen kesitten, akademisyenler örüntü tamamlayarak, hidrolik olarak en verimli yarım çember kesite ulaşmışlardır. İnşaat Mühendisliği Hidrolik Laboratuvarı akademisyenleri emin olmak için sadece yarım sekizgen kesit için bir hesap yapmışlar ve doğru yolda olduklarını görmüşlerdir. İlk 4 kesit yan yana konulup, bu örüntünün nihayete varacağı şekil nedir? diye sorulsa, trend okuyanlar, örüntüyü görenler, onaltıgen, altmışdörtgen gibi ara aşamaları atlayıp, düzgün sonsuzgene yani çembere ulaşacaklardır. Aynı şekilde Saygıner, istekanın yatayla açısı arttıkça topun geriye patinaj yapacağını deneyimlemiş, ara açıları atlayarak videoda gördüğümüz doksan derecelik pikeye ulaşmıştır. 

Darwin’in temsil ettiği 3 aşamalı, geri bildirim almayan, kör iteratif döngüyü hızlandırarak her türlü problemi kısa zamanda çözen ve evrimleşen bakteriler, neyse ki trend okuyamazlar. Analojik yaklaşımla, onaltıgen, altmışdörtgen gibi ara aşamaları da deneyimleyerek gerçek çözüme giden yolda zaman kaybederler. “Beni öldürmeyen şey daha da güçlendirir” felsefesi doğrultusunda evrimleşen bakterilere karşı kullanılan antibiyotiklerin dozajı ve süresi konusunda doktor tavsiyesi dışına çıkılırsa, fırsattan istifade ara evrimsel aşamalar hızla geçilerek antibiyotiğe karşı direnç kazanılır. 

Saygıner’in temsil ettiği 4 aşamalı öğrenme iteratif döngüsünden alınan her geri bildirim, prototip davranışı rafine ettiği gibi, zamanla bir fotoğraf da ortaya çıkarır. Oluşan bu fotoğrafta benzerlikleri, farklılıkları ve örüntüyü algılamak, örüntünün boş kalan desenlerini tamamlamayı ve gelişim trendlerini öngörmeyi de getirir. Kriz Kahini Roubini’nin yaptığı gibi. Kısaca insanoğlu sadece deneyimlemez, deneyimlerini analiz etme yeteneği ile birleştirir. 

Zeka testlerinde, “Benzer olanı bulunuz”, “Farklı olanı bulunuz”, “İlk 4 şeklin örüntü ilişkisinden faydalanarak 5.şekli bulunuz” gibi sorularının sıklıkla yer almasının sebebi, bizim deneyimlerimizden kazandığımız geri bildirim ile anlamlı bir fotoğraf oluşturma ve bu fotoğrafı analiz etme kabiliyetimizi ölçme çabasıdır. Saygıner’in “Oyunu kim kazanır?” sorusuna verdiği cevapta “Tabi ki yetenek falan da önemli” şeklinde geçiştirdiği analiz etme kabiliyeti, aslında insanoğlunun bakterilere karşı en büyük silahıdır. 

Dünyanın farklı laboratuvarlarında bakterilere karşı bilimsel çalışma yürüten binlerce bilim insanı, artık deneyimlerini internet sayesinde birleştirebiliyor. Binlerce bilim insanının deneyimlerini birleştirmesi, geri bildirim hızının artması anlamına geliyor. Geri bildirim hızının artması demek, bakterilerle mücadelede bize yardımcı olacak fotoğrafın da hızla ortaya çıkması demektir. Bakteriler hızlı üreyerek, 3 aşamalı kör evrimsel iterasyonla, bizim onlar için yarattığımız problemleri hızlıca çözerler. İnsanoğlu ise deneyimlerini birleştirerek, 4 aşamalı öğrenme iterasyonunun geri bildirim hızını arttırarak bakteriler için çözülmesi gereken yeni problemler oluştururlar. 

Darwin ile Saygıner’in temsili mücadelesinde oyunu kısa vadede Saygıner kazansa da, sessiz ve derinden gelen Darwin’in bakterileri, maalesef uzun vadede geçici bir galibiyet yakalayacak gibi görünüyor. 

Harvard Üniversitesinin “Bakterilerde Antibiyotik Direnci Deneyi” hakkında hazırlanan video, distopik Hollywood filmlerindeki bir klişeyi akla getirir. 

 Galiba yeni bir plan yapmamız gerekiyor Joe! Başımız büyük dertte.