Oliver Byrne: Newton'un Bile Başta Anlamadığı Öklid'in "Elementler" Eserini, Renkler Yardımıyla Kitlelere Ulaştırmayı Başaran Pedagojik Vizyoner!

Bilgi edinmeyi desteklemek amacıyla birden fazla yöntem kullanılır. Bu yöntemler, bilginin alanına göre değişiklik göstermektedir. Matematik alanında ise materyaller ve görselleştirmeler, bilginin aktarılması açısından önemli bir yere sahiptir. Örneğin Pisagor Teoremi'ni $a^2+b^2=c^2$ diye yazmak bir şeydir; aşağıdaki basit GIF ile bu "karelerin" neden birbirinin toplamına eşit olduğunu göstermek başka bir şeydir:

Görselleştirmenin iki işlevi vardır: Her şeyden önce görselleştirme, öğrencilerin bir yandan bilişlerini etkilerken, diğer yandan duygularına dokunur. Özellikle soyut olan bir alanı, yani matematiği görsel materyaller ile somutlaştırarak öğrenmeyi kolaylaştırmak mümkündür. Bununla birlikte renklendirme, öğrenme üzerinde daha baskın bir etki sağlamaktadır. Bazı araştırmalar, okuma-yazma öğrenmede dahi renkleri kullananların kullanmayanlara göre daha anlamlı bir kavrayış ortaya koyduklarını göstermiştir. Bunun yanı sıra matematik veya geometri alanında da benzer bir durum vardır. Yani renk kullanımının etkilerinin hem öğrencilerin hem de öğretmenlerin duygusal deneyimlerine yansıdığı bilimsel araştırmalar doğrulamıştır.

Matematiğin karanlık ve soyut dünyasına renklerin girmesi, öğrenme üzerinde oldukça etkili olmakla birlikte bu düşüncenin öncü ismi İskoç Matematik Eğitimcisi Oliver Byrne'dır. Matematik eğitiminde, özellikle geometri alanında yenilikçi bir yaklaşım gösteren Byrne, bu yenilikleri nedeniyle çağdaşlarından ayrılmış, fiziksel ve maddi zorluklarla karşı karşıya kalmasına rağmen hedefini gerçekleştirme yolunda çabalamaya devam etmiştir. Yaşadığı zorlukların en önemli sebebi, toplumun yeniliğe kapalı doğasıydı: Byrne, öğrencilerin Öklid'in Öğeler (Elemanlar) eserinin ilk altı kitabını daha kolay öğrenebilmesi için harfler yerine, renkli diyagramlar ve semboller kullanarak yeniden yazdı. Bu, oldukça yenilikçi ve görsel olarak çarpıcı bir matematik çalışmasıydı; ne yazık ki topluma farklı bir yöntem veya çalışma sunmak, bu sunuşun toplum tarafından hemen kabul edileceği anlamına gelmiyordu. Bu eserin değerinin anlaşılması uzun süre aldı.

Halbuki 1847'de William Pickering tarafından Londra'da yayınlanan bu kitap, Öklid'in Öğeler kitabını öğrenmek için gereken sürenin sadece 3'te 1'ini harcayarak bu zorlu eserin anlaşılabileceğini öngörmekteydi. Ayrıca Pickering, bu renkli kitabın amacının, insanlara ne düşüneceklerini değil, nasıl düşüneceklerini öğretmek olduğunu düşünüyordu. Yani Byrne'ın amacı doğrultusunda bu kitap, geometri öğretiminde yenilikçi bir yaklaşım sergilendiğinin kanıtı olmuş ve ileriki yıllarda geometri eğitimi için kullanılan etkili bir kitap haline gelmişti. Byrne'ın kitabının gücü, renklendirilmiş olmasında ve birçok teoremin sözsüz olarak kolayca anlaşılmasından gelmekteydi.

Gelin Byrne'ın Öğeler kitabından bazı örnekleri inceleyelim. İlk olarak, matematik tarihinin baş yapıtlarından biri olan Pisagor Teoremini inceleyelim.

Pisagor Teoremi

47. Önerme: Dik açılı üçgenlerde dik açıyı gören kenar üzerindeki kare, dik açıyı içeren kenar üzerindeki karelere eşittir.

bookofproofs

Öklid Versiyonu

Byrne'dan önce, Öklid'in Elemanlar kitabına bakalım. Öklid, şöyle anlatıyor:

ABC üçgeni, BAC açısı dik olan bir üçgen olsun. Diyorum ki BC üzerindeki kare, BA, AC üzerindeki karelere eşittir. Çünkü, BC üzerinde BDEC karesi ve BA, AC üzerine GB, HC kareleri çizilsin; A'dan BD ya da CE'ye paralel AL çizilsin ve AD, FC birleştirilsin.

O zaman, BAC, BAG açılarının her biri dik olduğundan, AC, AG doğruları BA doğrusuna A noktasında, bu doğrunun aynı tarafında olmayacak şekilde çizilmiştir ve oluşturdukları komşu açıları iki dik açıya eşit kılarlar; bu durumda CA, AG ile aynı doğru üzerindedir. Aynı nedenden dolayı BA da AH ile aynı doğru üzerindedir. Ve her ikisi de dik olduğu için DBC açısı ve FBA açısına eşittir. ABC açısı her ikisine de eklensin; o zaman DBA açısı FBC açısına eşittir.

Ve DB kenarı BC kenarına ve FB, BA' ya eşit olduğundan, AB, BD kenarları sırasıyla FB, BC kenarlarına ve ABD açısı da FBC açısına eşittir. Bu durumda AD tabanı FC tabanına ve ABD üçgeni de FBC üçgenine eşit olur.

Şimdi, BL paralelkenarı ABD üçgeninin iki katıdır, çünkü aynı BD tabanına sahipler ve aynı BD, AL paralelleri arasındalar. Ve GB karesi FBC üçgeninin iki katıdır, çünkü yine aynı FB tabanına sahipler ve aynı FB, GC paralelleri arasındalar. Ama aynı şeylerin iki katları da birbirine eşittir. Bundan dolayı BL paralelkenarı GB karesine eşittir. Benzer şekilde, eğer AE, BK birleştirilirse, CL paralelkenarının da HC karesine eşit olduğu kanıtlanabilir;

Öyleyse BDEC karesinin tamamı GB, HC karesine eşittir. Ve BDEC karesi BC üzerine ve GB, HC kareleri BA, AC üzerine çizilmiştir. Böylece BC üzerindeki kare BA, AC üzerindeki karelere eşittir. Tam olarak kanıtlanması istenen de buydu.

Öklid'in kitabındaki Pisagor Teoremi'nin kanıtı bu şekildedir.

Byrne Versiyonu

Şimdi Byrne'ın kitabındaki kanıta bakalım.

c82

Byrne'ın uygulamalı kanıtını görmüş olduk. Görselleştirme ve renk kavramının daha iyi algılanabilmesi için sözsüz diyebileceğimiz başka bir önermeyi inceleyelim.

Dış Açı ve İç Açı Toplamı

32. Önerme: Bir üçgende kenarlardan biri uzatılırsa, dış açı karşı iki iç açının toplamına eşittir ve üçgenin iç açıları iki dik açıya eşittir.

Öklid Versiyonu

Öklid, bunu şöyle anlatıyor:

Bir ABC üçgeni alınsın ve kenarlarından biri, örneğin BC, D noktasına kadar uzatılsın. Diyorum ki dış açı ACD, iki karşı iç açı CAB, ABC' ye eşittir ve üç iç açı ABC, BCA, CAB, iki dik açıya eşittir.

Çünkü, C noktasından AB' ye paralel CE çizilsin; o zaman AB, CE'ye paralel olduğundan ve AC bunları kestiğinden, ters iç açılar BAC, ACE birbirine eşittir. Benzer şekilde, AB, CE'ye paralel olduğundan ve BD doğrusu bunları kestiğinden, dış açı ECD karşı iç açı ABC' ye eşittir.

Ama ACE açısının da BAC açısına eşit olduğu kanıtlanmıştı; öyleyse ACD açısının tamamı iki karşı iç açı BAC, ABC' ye eşittir. Her iki tarafa ACB açısı eklensin; o durumda ACD, ACB açıları ABC, BCA, CAB açılarına eşittir. Ama ACD, ACB açıları iki dik açıya eşittir.

Bu nedenle ABC , BCA, CAB açıları iki dik açıya eşittir. Tam olarak kanıtlanması istenen buydu.

Byrne Versiyonu

Bu önermenin kanıtını Byrne'ın kitabına göre yaparsak;

Bu kanıtları yaparken, bazı özellikler Öklid'in diğer önermelerine dayandırılarak yapılmaktadır.

Sonuç

Elbette daha fazla kanıt örnekleri verilebilir; ancak bu örneklerle dahi anlaşılıyor ki görselleştirme ve renklendirmeler öğrenmeyi kolaylaştırıcı bir unsurdur.

Byrne'ın kitabı, ayrıca matematik öğretiminde renk kullanımı ve bir matematiksel diyagramın parçalarını ayırma stratejisi hakkında Matematik Eğitimi sınıflarında ilginç pedagojik tartışmalara neden olmuştur. Oliver Byrne'ın renkli çalışması, geometri öğretimini değiştirmiştir. Buna bağlı olarak renklerin öğretim üzerindeki etkisi nedeniyle, çoğunlukla renkli tebeşir kullanılmıştır. Ayrıca öğrenciler ödevlerini yaparken ve sınavlarını çözerken düzenli olarak renkli kalemler ve keçeli kalemler kullanmıştır. Anlaşılacağı üzere öğrenci geri bildirimi olumlu olarak yansımıştır. Byrne'ın kitabı kesinlikle tüm seviyelerde geometri öğretimini desteklemek için kullanılabilir.

Tüm bunlara rağmen Byrne'ın matematiksel çalışması, yaşamı boyunca bazen göz ardı edildi bazense çağdaşları tarafından açıktan açığa alay konusu oldu. Ayrıca hayatı boyunca finansal zorluklarla mücadele etti. Bir İrlandalı olduğu için ırkçı önyargılarla karşılaştı ve sonraki yıllarda ciddi sağlık sorunları yaşadı. Zamanında karşılaştığı birçok zorluğa rağmen, bugün Oliver Byrne, gerçek bir pedagojik vizyoner olarak kabul edilebilir. Byrne'ın amacını daha iyi anlamak için son sözü ona bırakalım.

Bu eserler … sadece örneklemeden daha büyük bir amaca sahiptir. Renkleri eğlence amacıyla tanıtmıyorum veya belirli renk ve biçim kombinasyonlarıyla eğlendirmiyorum. Zihnin hakikati araştırmasına yardımcı olmak, öğretim olanaklarını artırmak ve kalıcı bilgiyi yaymak için tanıtıyorum.