Monty Hall Problemi Nedir? Yarışmada Kapı veya Kutu Tercihini Değiştirmek, Kazanma İhtimalini Neden İki Katına Çıkarır?

Belki şu meşhur soruyu duymuşsunuzdur: Diyelim ki bir yarışma programındasınız ve karşınızda 3 tane kapı var (üzerlerinde de 1, 2 ve 3 diye numaralar bulunuyor). Bu kapılardan bir tanesinin arkasında son model bir Bugatti Veyron, diğer ikisinin arkasında ise birer tane keçi var. Tek bir kapı seçme şansınız var ve içinizden geçen kapıyı, örneğin 2 numaralı kapıyı seçtiniz. Bu, tıpkı Türkiye'deki Var Mısın, Yok Musun? yarışmasında kendi kutunuzu seçmek gibi. O kutuda (veya kapıda) gerçekten büyük ödül olabilir; ama olmayabilir de...

Diyelim ki siz, 3 kapıdan 1 numaralı olanı seçtiniz. Sinsi sunucu, heyecanı arttırmak için sizin seçmediğiniz kapılardan bir tanesini, diyelim ki 3 numaralı kapıyı açtı. Ve tabii ki arkasında büyük ödül değil, keçi vardı. Dolayısıyla şu anda büyük ödül ya sizin kapınızda ya da sunucunun açmamış olduğu diğer kapıda... İşi daha da kızıştırmak için sunucu size şunu soruyor:

Başta seçtiğiniz kapıyla mı devam etmek istiyorsunuz, yoksa diğer kapıyı mı seçmek istersiniz?

Yani zaten seçtiğiniz 1 numaralı kapıyla mı yola devam edeceksiniz ve arkasında ne varsa onu mu alacaksınız, yoksa (bu örnekte) henüz açılmamış olan 1 numaralı kapıya mı geçmeyi tercih edeceksiniz? 

Normalde, içi boş heyecan fırtınaları ve "kutusunda büyük hissetme" mistik zırvaları bir kenara bırakırsak, yarışmanın özü bakımından tercihin hiçbir önemi olmaması gerekir, öyle değil mi? Başlangıçta %33.333... (yani 3'te 1) şansınız vardı, 1 kapı açılınca geriye iki kapı kaldığı için şansınız %50'ye (2'de 1) yükseldi. Dolayısıyla kararınızı değiştirmenizin sonuca hiçbir etkisi olmamalı, öyle değil mi?

Hayır. Matematik "Öyle değil!" diyor ve ekliyor: "Eğer size sunulan fırsatı seçerseniz ve seçtiğinizin haricindeki kapıyı tercih ederseniz, şansınız tam 2 kat artar!" diyor. Ama nasıl olur?

Monty Hall Probleminin Tarihi

Bu problem, Türkiye'deki Var Mısın Yok Musun? tarzı programınların atası olan, ABD şovmen ve sunucu Monty Hall tarafından 1960-1970'li yıllarda sunulan Let's Make A Deal (Bir Anlaşma Yapalım) yarışmasından ötürü bu isimle anılmaktadır. O zamanlar yarışmanın formatı birazcık daha farklıydı; ancak mantık birebir aynıydı. 

21 Temmuz 1991 günü New York Times gazetesinde John Tierney tarafından yazılan bir yazıda ilk defa, bu yarışmada size sunulan fırsatı kabul edip, kararınızı değiştirmenin şansınızı arttıracağı iddia edildi. Eylül 1991'de ise gazetenin yazarlarından biri olan Marilyn vos Savant'ın (evet, "savant" sözcüğüne adını veren kişi!) pazar köşesine ilk defa bu konuyu açık olarak ortaya koyan bir soru gönderildi ve soru, yazar tarafından paylaşılınca, ABD çapında 10.000'den fazla cevap alarak popülerlik kazandı.

Cevap gönderenlerin ezici bir çoğunluğu, kararı değiştirmenin herhangi bir katkı sağlamayacağını ve şansın aynı olduğunda hemfikirdi. Zaten sağduyunun söylediği de budur. Fakat gerçekte kapıyı değiştirmenin kazanma şansını artırdığı, hatta 2 katına çıkardığı gerçeği ilan edildiğinde Paul Erdős gibi matematik üstatları da dahil olmak üzere geniş bir matematik ve istatistik çevresi bu cevaba itiraz eden mektuplar yayınlamışlardır.

Ancak kim olurlarsa olsun, yanılıyorlardı. Monty Hall Problemi'nde, size fırsat sunulduğunda kapıyı değiştirmek, kazanma şansınızı gerçekten 2 katına çıkarıyordu. Sonradan Erdős da bunu kabul etti; ancak soruyla ilk defa karşılaşanlar veya çözümü (veya şansın neden arttığını) tam olarak anlayamamış olanlar arasında tartışmalar devam ediyor. Bu nedenle net bir şekilde anlatarak, bu sorunu nihai cevabına kavuşturalım.

Monty Hall, Kapıyı Rastgele Açsaydı...

Öncelikle, herkesin kafasını karıştıran noktayı net bir şekilde ortaya koyarak başlayalım: Eğer işin içinde kapıların arkasında ne olduğunu bilen bir sunucu olmasaydı ve kapılar mutlak bir rastgelelik ile açılsaydı, o zaman:

• Ortada 3 kapı varken Bugatti kazanma şansınız %33 civarında olurdu,
• İki kapı kaldığında, kazanma şansınız %50 olurdu,
• Kapı sonradan açılmasaydı da baştan açılıp, sonra sizden bir kapı seçmeniz istenseydi, kazanma şansınız %50 olurdu,
• Başta 10 kapı olsaydı, kazanma şansınız %10 olurdu,
• 100 kapı olsaydı, kazanma şansınız %1 olurdu,
• Başta 20 kapı olsaydı kazanma şansınız %5 olurdu; sonrasında bu kapıların 18'i tamamen rastgele bir şekilde açılıp, geriye 2 kapı bırakılırsa (ve şans eseri açılan kapıların hiçbirinde Bugatti'nin çıkmadığı varsayılacak olursa), arabayı kazanma şansınız %50 olurdu, seçiminizi değiştirseniz de değiştirmeseniz de.

Yani sunucu bilgisinin olmadığı durumda soru, sıradan bir olasılık problemi olurdu ve bu kadar popüler olacak bir tarafı olmazdı. Bu durumda, kazanma ihtimaliniz ($C$):

$C=\frac{1}{\text{o andaki kapı sayısı}}$

olurdu.

İşte insanların kafasını karıştıran da bu. Birçoğumuz, günlük yaşantımızda, bu türden bir basit olasılığa aşinayız. Ama Monty Hall Problemi, bu türden basit bir olasılık hesabı değildir. İşin içine bilgiyi ve yeni veri ışığında inancımızı, yani olasılık bilgimizi değiştirmeyi dahil ediyor. Yani Bayesçi Yaklaşım ile düşünmeye zorluyor. Ne yazık ki birçoğumuz, Bayesçi düşünceye hiç aşina değiliz.

Ama durun, henüz Bayes ile kafanız karışmasın. Bu noktada, şunu anlamak önemlidir: Rastgele kapı açılması durumunda, kapıların siz tercih yaptıktan sonra açılması veya siz tercih yapmadan önce açılmasının hiçbir önemi yoktur. Çünkü kapı açılışının bilinçli değil de rastgele olması, sisteme hiçbir ek bilgi dahil etmez; sadece kapı sayısını azaltarak, olasılık evrenini daraltır (yukarıdaki denklemde paydayı küçültür, dolayısıyla kazanma ihtimali olan $C$ sayısı artar). Bu durumda kaç kapı varsa, şansınız o kadar olur. Bu yüzden herhangi bir noktada kapınızı değiştirmenin de anlamlı hiçbir faydası yoktur. 

3 kapı örneğini ele alalım. Kapılardan biri, sunucu tarafından değil de tamamen rastgele (mesela algoritmik bir yöntemle) açıldığında, eğer şans eseri Bugatti olan değil de arkasında keçi olan bir kapı açılırsa, geriye kalan iki kapıdan hangisini seçtiğiniz önemsizdir. Kapıların rastgele açıldığı bu senaryoda ister başta seçtiğinizde kalın, ister kapı değiştirin %50 ihtimalle bir keçi, %50 ihtimalle bir Bugatti kazanacaksınız. Yani bir kapının siz tercih yaptıktan sonra rastgele açılmasıyla, önce rastgele bir kapıyı açıp, sonra geri kalanlar arasından birini seçmeniz istenmesi arasında neredeyse hiçbir fark yoktur.

Neden "hiçbir fark yoktur" değil de "neredeyse" hiçbir fark yok diyoruz? Sizin açınızdan hiçbir fark olmasa da yarışmayı sunan taraf açısından fark vardır: Çünkü bu, en nihayetinde bir yarışma programıdır ve kapıları rastgele açmak demek, yarışma sunucusunun muazzam bir risk alması demektir: 3 kapıdan birini, hiçbir ön bilgi olmadan, rastgele açmak demek, %33 ihtimalle Bugatti'yi göstermek demektir. Bu yapılırsa, o yarışma, yeryüzündeki en sıkıcı ve en saçma yarışma olurdu, değil mi? 

Anahtar Nokta: Sunucu, Ödüllerin Yerini Biliyor!

İşte burada, problemin çözümüyle ilgili kritik bir gerçekle yüzleşiyoruz: Sunucu kapıyı açarken, hangisinin arkasında ne olduğunu bilmektedir. Eğer bilmeseydi, yukarıda izah ettiğimiz gibi, tercihinizi değiştirmek şansınız değiştirmezdi. Ama sunucu ödüllerin yerini bilmektedir ve kapıları ona göre açmaktadır. Siz, olasılık hesabınızı yaparken, sunucunun bu bilgiye göre kapı açtığı gerçeğini görmezden gelemezsiniz.

Sunucu ve sunucunun bilgisi, kazanma olasılığınızı kestirmeye çalıştığınız bu oyundan izole değildir. Sistem bir bütündür, sunucunun bilgisi de bu sistemin bir parçasıdır. Ve sunucu, kapılara rastgele olmayan bir şekilde müdahale ettiği anda, size bir bilgi vermiş olmaktadır. Bu bilgiyi olasılık hesabınıza dahil etmek ve yeni olasılık dağılımını bu bilgi ışığında hesaplamak zorundasınız. Yani sorunun kimi zaman bir "paradoks" olarak anılması, sorunun soruluş biçiminden kaynaklanmaktadır. Tüm matematik hesaplarını değiştiren unsur, sunucunun kapının arkasında ne olup ne olmadığını bilmesidir!

Burada ilginç bir şekilde ters psikoloji oluşmaktadır: Genelde mantık problemleri, absürt ihtimalleri görmezden gelmenizi ister, hatta sizi bunu zorlar. Mesela tramvay problemini düşünün:

Bir tren var ve raylarda 5 çocuk yatıyor. Hemen yanınızda rayları değiştiren bir makas var ve bu makası kullanırsanız, tren yön değiştirecek ve 5 çocuk kurtulacak. Ama girdiği yeni yolda da 3 çocuk yatıyor. Makası kullanarak 5 çocuk yerine 3 çocuğu öldürmeli misiniz, yoksa makasa dokunmamalı mısınız?

Burada bunun analizini yapmayacağız (daha önceden yapmıştık) ama, bu tür sorularda insanın aklı, "trenin önüne atlayıp makiniste haber vermek" gibi sorunun aslen anlatmaya çalıştığının ötesinde, ek çözümlere gider. Yani problemle yüzleşen kişi, cevap vermeye ayak direr. Ama mantık soruları bu tür ek olasılıkları görmezden gelip, sadece makasa etki edebileceğinizi varsaymanızı ister.

Fakat Monty Hall Problemi, bir mantık problemi değildir; bir olasılık problemidir ve gerçek bir sisteme dayanır: Gerçek dünyada var olan ve Monty Hall isimli sunucu tarafından sunulan bir yarışma programındaki, gerçek olasılıklardan söz etmekteyiz. Monty Hall (veya en azından ona bilgi veren reji), kutuların/kapıların ardında ne olduğunu bilmektedir ve gerilim yaratmak için hangi kutuyu açacaklarını buna göre belirlemektedirler, rastgele bir şekilde değil! Siz, sistemi değerlendirirken bu gerçeği hesaba katmak zorundasınız.

Kapıyı Değiştirmek, Şansınızı 2 Kat Artırır!

Peki, şimdi asıl soruya dönelim: 3 kapı var, 3 numaralı kapıyı seçtiniz ve sunucu, 1 numaralı kapıyı rastgele olmayan bir şekilde, ardında kesinlikle keçi olduğunu bilerek açtı ve size kapınızı değiştirme fırsatı sundu.

İlk olarak, kapıyı açmadan önce şansınız $1/3$'ten %33.333'tü. Buna bundan sonra kısaca %33 diyelim. Eğer 5 kapı olsaydı, kazanma şansınız %20 olacaktı. Yani işin gerçekten rastgele olan tek tarafı bu: Siz, var olan kapılardan birini, rastgele seçiyorsunuz.

Burada örtük bir varsayım, yarışmayı hazırlayanların da hiçbir kapıya ayrıcalık tanımadığı yönündedir. Yani eğer ki ödülün hangi kapının arkasına gideceğini belirleyen kişinin 2 sayısına bir zaafı varsa, elbette kazanma ihtimaliniz %33'ten sapacaktır. Ama problemi daha da karmaşıklaştırmamak adına, ödülün kapılardan herhangi ardına koyulma ihtimalinin gerçekten eşit olduğunu varsayalım.

Sunucu, bir kapıyı rastgele olmayan bir şekilde açtığında, geriye iki kapı kalır. Normalde sunucu rastgele açsaydı, şansınızın ne olursa olsun %50'ye çıkacağını yukarıda öğrenmiştik. O noktada kapınızı değiştirmeniz de önemsiz, bunu da öğrenmiştik. Ama sunucu, rastgele olmayan bir şekilde açtığında, işler aynı şekilde işlemez. Eğer kapınızı değiştirmezseniz, kazanma şansınız hala vardır ve o ihtimal, %33'tür. Belki de en başta, şans eseri, tam da Bugatti olan kapıyı seçtiniz, kim bilir? Ama kaybetme ihtimaliniz %66.666'dır. Buna da bundan sonra kısaca %66 diyelim.

İşte zurnanın zurt dediği yer burasıdır: Eğer kapınızı değiştirirseniz, kazanma ihtimaliniz %33 veya %50 değil, %66 olacaktır.

Neden %50 Değil de %66?

Tüm Olasılıkları Görerek Anlamak...

Bunu anlamanın birden fazla yolu vardır. Bunlar arasında en kolay yol, her bir olasılığı tek tek gözden geçirmektir. Aslında bunu yapmak çok zor değil, çünkü 3 kapı örneğinde sadece 9 olasılık var:

Yukarıdaki tabloda sırasıyla:

• Siz 1 numaralı kapıyı seçtiniz, Bugatti de gerçekten 1 numaralı kapı arkasında... Eğer kapınızı değiştirmezseniz kazanacaksınız, değiştirirseniz kaybedeceksiniz.
• Siz 1 numaralı kapıyı seçtiniz, Bugatti ise 2 numaralı kapı arkasında... Eğer kapınızı değiştirmezseniz kaybedeceksiniz, değiştirirseniz kazanacaksınız.
• Siz 1 numaralı kapıyı seçtiniz, Bugatti ise 3 numaralı kapı arkasında... Eğer kapınızı değiştirmezseniz kaybedeceksiniz, değiştirirseniz kazanacaksınız.
• Bu şekilde, 9 senaryoyu da kapsayana dek devam ediyor.

Ama daha fazla ileri gitmeden bile vaziyeti görebilirsiniz: 1 numaralı kapıyı seçmeniz halinde, 3 olasılık var (Bugatti ya 1. kapının ardında ya 2. kapının ardında ya 3. kapının ardında). Ve siz, ya kapınızı değiştireceksiniz, ya değiştirmeyeceksiniz. Bu 3 senaryodan 2'sinde değiştirerek kazanıyorsunuz, 1'inde değiştirmeden. Yani değiştirmeniz halinde kazanma ihtimaliniz %66. 9 senaryonun tamamına baktığımızda da durum değişmiyor: 9 senaryonun 6'sında değiştirerek kazanıyorsunuz, 3'ünde değiştirmeden... Yani değiştirirseniz kazanma ihtimaliniz %66, değiştirmezseniz %33.

Diğer 2 Kapıyı Seçme Üzerinden Anlamak...

1990 yılında yazdığı makalesinde Cecil Adams'ın izah ettiği gibi, aslında kapıyı değiştirme sorusunun şu anlama geliyor olması:

Başta seçtiğin tek kapıyla mı devam etmek istiyorsun, yoksa diğer 2 kapıyı mı almak istersin?

Çünkü sunucu, keçinin yerini %100 bilmektedir (dolayısıyla onun için kapıların hepsi bir "bütün"dür) ve araba olan kapıyı açma şansı, yarışma kuralları gereği yoktur. Sunucu (ve herkes), aynı zamanda sizin seçtiğiniz kapıyı da bilmektedir. Dolayısıyla sunucunun bildiği bir kapıyı açmasından sonra size tercih hakkı tanıması, şansınızı arttırmanız için bir fırsattır. Eğer başta seçtiğiniz kapıda kalacak olursanız, %33'lük ihtimalinizi sürdürüyorsunuz demektir, çünkü analize yeni bilgi henüz dahil olmadığında (keçili bir kapı açılmadığında) yaptığınız tercihi devam ettirmektesinizdir. Ancak kapı açıldıktan sonra tercihinizi değiştirirseniz, sunucunun seçmediği kapıyı seçecek olduğunuz için şansınız artmaktadır. Şöyle de düşünebilirsiniz: Sunucu, arabanın olduğu yeri bilen kişi olarak, neden 1 numaralı kapıyı değil de, 3 numaralı kapıyı açmıştır? Bu kuşkunun doğacağı bir durumun yaratılıyor olması (ve cevabın "Kapı rastgele açıldı." olmaması), matematiksel bir anlama sahiptir.

Bunu Keith Devlin de 2003 yılındaki makalesinde çok güzel bir şekilde izah etmektedir. Sunucunun kapılardan birini açıp keçiyi göstermesinin şu anlama geldiğini söylemektedir:

Seçmemiş olduğun 2 adet kapı var. Bunlardan birisinin arkasında büyük ödülün olmama ihtimali %66 (3'te 2). Bende olan bilgiyi kullanarak sana yardım edeceğim ve o kapılardan 1 tanesinin istediğin ödüle sahip olmadığını sana göstereceğim. Başta tercih ettiğin kapının kazanma ihtimali %33'tü. Hala da öyle, çünkü senin kapına müdahale etmedim. Ancak diğer 2 kapıdan 1 tanesini eleyerek, diğerinde ödül olma şansını %66'ya (3'te 2) çıkarmış oldum. Dolayısıyla elindeki kapıda kalacak olursan, %33 şans ile kazanacaksın. Eğer kapını değiştirirsen, şansın %66'ya çıkacak. Çünkü ben kapıların arkasında ne olduğunu biliyorum ve kapı tercihini değiştirmekle, bir nevi, kendi tahmininle benim bilgimi takas etmiş oluyorsun.

1 Milyon Kapı Üzerinden Anlamak...

Cevabı anlamanın en iyi yollarından biri de 3 kapı değil de, 1 milyon kapı olduğunu hayal etmektir. Diyelim siz, 1 milyon kapıdan 1 tanesini seçtiniz. Bu kapının ardında Bugatti olma ihtimali nedir? 1 milyonda 1.

Şimdi sunucu, kapıları tek tek açmaya başladı. Öyle bir açıyor ki, ne hikmetse açılan kapıların arkasında her seferinde keçi çıkıyor. Ama kapıları açarken, tam da 447.851'inci kapıyı atladı, sonra açmaya devam etti. Ne muazzam bir şansı var ki, 1 milyon kapıdan toplamda 999.998'ini açtı ve hiçbirinden Bugatti çıkmadı. Hepsi keçi!

Sizce sunucunun 1 milyon kapından 999.998'ini, hangisinin ardında Bugatti olduğunu bilmeden açıp da Bugatti'ye denk getirmeme ihtimali nedir? Sıfır değil, ama neredeyse sıfır. Eğer her bir kapının ardında ne olduğunu bilmeseydi, neredeyse kesin olarak Bugatti olanı da açardı ve bu, yine çok sıkıcı ve saçma bir yarışma olurdu. Ama kapıları öyle bir açıyor ki, tam da 447.851'inci kapıyı atlamayı seçiyor ve geriye bir o kapıyı, bir de sizin kapınızı bırakıyor. Sonra size yine tercih sunuyor: Başta seçtiğiniz kapı mı, yoksa sunucunun açmadığı kapı mı? 

Burada sorulması gereken şudur: Yarışmacının kapılar açılmadan önce, 1 milyonda 1 olan ihtimali tutturmuş olması mümkün müdür? Sunucu tüm kapıları eledikten sonra tercihinizi değiştirmek istediğinizi sorması, şöyle demesiyle eştir:

Kendi 1 milyonda 1 olan şansına mı güveneceksin, yoksa benim tüm kapıları elemiş olmamdan ötürü hangisinin arkasında keçi olduğunu bildiğimi görerek, geride bıraktığımı mı tercih edeceksin?

Sizin en başta tercih yapıp, şansınızı "kilitlediğinizde" olan kazanma ihtimaliniz milyonda birdi. Hala öyle, çünkü siz, 1 milyon kapıdan seçerek arasından o kapıyı seçtiniz. Belki o, gerçekten de Bugatti olan kapı, ama şans, milyonda bir. Sunucu ise, tüm kapıların ardında ne olduğunu bilerek, geriye hassas bir şekilde seçilmiş 1 kapıyı ve bir de sizin kapıyı bıraktı ve şimdi size kapınızı değiştirme fırsatı sunuyor. Eğer değiştirirseniz, kazanma şansınız neredeyse garanti olacaktır. Tabii ki mantıklı olan, tercihi değiştirmek ve "sunucuya güvenmek"tir.

Bu kapı değiştirme tercihini, başta hatalı tercih yapma ihtimalinizin, tek bir kapıya yığılması (veya odaklanması) gibi düşünebilirsiniz. Başta kazanma şansınız milyonda 1, kaybetme şansınız, yani arabanın diğer kapılardan herhangi birinde olma ihtimali milyonda 999.999'dur. Sunucu her kapıyı açtığında, o şans, geri kalan kapıları kapsayacak şekilde, adeta odaklanmaktadır. Geriye başta seçtiğiniz hariç 1 kapı kaldığında, o kapının ardında Bugatti olma ihtimali 999.999'da 1'dir. Sizin kapınızdaki ise hala milyonda 1'dir. Çünkü sunucunun kapıları rastgele açıp da Bugatti'yi şans eseri atlama ihtimali yok denecek kadar azdır.

Aslına bakarsanız, kapıların ardında ne olduğunu bilmek, sunucunun tercihinin özgür olmadığını göstermektedir. Sunucu, ardında Bugatti değil de keçi olduğunu bildiği kapıları açmak zorundadır; yoksa program, saçma sapan bir program olur. Dolayısıyla aslında kapı açarak sunucunun size şov yapması tamamen "fos"tur. Her açtığı kapı, zaten ardında keçi olduğu garanti olan bir kapıdır.

İşte bu yüzden geriye 2 kapı kaldığında kazanma şansınız %50 değildir. Kapınızı değiştirmezseniz, milyonda 1, değiştirirseniz milyonda 999.999 olacaktır. Şöyle düşünün: 999.998 kapı açıldıktan sonra size değiştirme fırsatı sunması, size adeta şöyle demektedir:

Sen milyon kapıdan 1'ini rastgele seçtin, bense geri kalan 999.999 kapıdan özenle seçilmiş 1 tanesini sana sunuyorum. Hangisini almak istersin?

Bu durumda kimse kendi kapısında ısrarcı olmazdı herhalde? Eğer baştaki milyonda 1 şansınıza güvenmek istiyorsanız, siz bilirsiniz. Ama değiştiren, kazanır.

Simülasyonla Anlamak...

Elbette bu, sağduyuya (en azından ilk etapta) öylesine aykırı bir soru ki, burada hangi açıdan anlatırsak anlatalım izahı reddedenler çıkacaktır. En nihayetinde başında da söylediğimiz gibi, 1980'lerde ilk ortaya atıldığında Paul Erdős gibi "matematiğin tanrıları" sayılan birkaç isim de dahil birçok uzmanın kafasını karıştırmıştı ve şansın %50 olması gerektiği düşünülmüştü. Ama o günden bugüne kapıyı değiştirmenin şansı %66'ya çıkardığı gerçeği matematiksel ispat yöntemleriyle, bilgisayar simülasyonlarıyla ve gerçek insanlarla yapılan empirik deneylerle ispatlandı. Dolayısıyla Erdős gibi üstatlar, bilgisayar simülasyonu sonuçlarını gördükten sonra ikna oldular. Günümüzde bu sonuca itiraz eden aklı başında hiçbir istatistikçi, matematikçi veya ne dediğini bilen bilim insanı bulunmamaktadır.

Ama ne yazık ki insan aklı, yanlış varsayımlarla yanlış sonuçlara varmak ve önceden ikna olduğu bir şeyi kanıtlamak için izah uydurmak gibi konularda ustadır. Bu yüzden bazılarınızın tüm bu izahlara inatla inanmayacağını biliyoruz; ama bunda bir sorun yok: Eğer İngilizce biliyorsanız, buraya tıklayarak bu oyunu kendiniz de oynayarak olasılıkları görebilirsiniz. Oyunu kendiniz, istediğiniz kadar tekrar edebilirsiniz. Sonuçlarınızı not etmeyi unutmayınız. Yeterince oynadığınızda, kapınızı değiştirmenin daha avantajlı olduğunu göreceksiniz. İlk birkaç oyununuzda sonuç rastgele gibi gelebilir, ancak oynadıkça, kazanma oranınızın %50-50 dağılmadığını göreceksiniz. Eğer 400 kere veya daha fazla sefer oynarsanız, tartışmasız bir şekilde %66.666 sonucuna ulaşacaksınız. Bu sayıda tekrara ulaşana kadarsa başarı dağılımınız yavaş yavaş %66'ya yakınsayacaktır.

UCSD

Empirik Olarak (Deneysel Yöntemle) Anlamak...

Gerçekten de, hem insanlar üzerinde yapılan, hem bilgisayar simülasyonlarıyla yapılan analizler, aynı sonucu vermektedir. San Diego'da bulunan Kaliforniya Üniversitesi'nin 788 kişi üzerinde yaptığı araştırmada, kararını değiştirenlerin %68.5'i kazanırken, kararını değiştirmeyenlerin sadece %34.3'ü kazanabilmiştir. Gerçekten de şans, 2 kat artmaktadır!

Siz de arkadaşlarınızla bunu birkaç kez oynayarak, kapısını değiştirmeyi seçen arkadaşlarınızın kazanma oranının, değiştirmeyenlere göre 2 kat kadar fazla olduğunu görebilirsiniz.

Bayesçi Olasılık Matematiği ile Anlamak...

Bu, işin biraz daha matematiksel tarafı; ancak Bayesçi Olasılık kavramını bilenler için bu yöntemle Monty Hall Problemi'ni çözmek oldukça basit olacaktır.

Birazdan vereceğimiz Bayes Teoremi (veya Bayes Formülü), belli bir kanıt veya veri ışığında, bir hipotezin gerçek olma olasılığını hesaplar. Bu durumda bu olasılık, sunucunun arkasında keçi olan bir kapıyı açtıktan sonra, seçtiğimiz kapının arkasında araba olma ihtimalidir (ve dolayısıyla kapımızı değiştirmeme davranışımızın başarı oranıdır). Şimdi, öncelikle, temel Bayes Formülü'nü hatırlayalım:

$P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}$

Eğer elde iki hipotez varsa:

$P(H_1|E)=\frac{P(E|H_1)P(H_1)}{P(E|H_1)P(H_1)+P(E|H_2)P(H_2)}$

Burada (ve genel olarak):

• $H$, veri veya kanıttan etkilenen ve onlar ışığında değişecek olan hipotezdir. Çoğunlukla bir gözlemi izah eden birden fazla hipotez vardır ve bu yaklaşımda amaç, en olası olanı tespit etmektir. $H_1$ birinci hipoteze, $H_2$ ikinci hipoteze karşılık gelmektedir.
• $P(H)$, önsel olasılık olarak bilinir. Bu, henüz $E$ kanıtı toplanmadan $H$ hipotezinin doğruluk oranıdır. Genelde bir hipotezin doğruluğuna yönelik olarak kestirdiğimiz bir ihtimalden veya önceden yapılan deneylere bağlı olarak hipotezin sahip olduğu doğruluk değerinden ibarettir.
• $E$, bir hipotez ile ilişkili olarak toplanan, daha önceden elde olmayan kanıt veya veridir.
• $P(H|E)$, koşullu olasılık veya ardıl olasılık olarak tanımlayabileceğimiz, $E$ kanıtın toplandıktan sonra $H$ hipotezinin doğru olmasına yönelik olasılık değeridir. Yani bu, bilmek istediğimiz asıl olasılıktır. Bu olasılık, $H$ hipotezine bağlı olan bir fonksiyondur.
• $P(E|H)$, eğer $H$ hipotezi doğruysa, $E$ kanıtını toplama ihtimalidir. Kimi zaman olabilirlik olarak da ifade edilir. Bu olasılık, toplanan kanıtların eldeki hipotezle tutarlılık oranını da yansıtır. Bu olasılık, $E$ kanıtına bağlı olan bir fonksiyondur.
• $P(E)$, eldeki bütün hipotezler için eşit olan marjinal olabilirlik değeridir. Herhangi bir hipoteze bağlı bir değer olmadığı için, farklı hipotezlerin göreli doğruluk oranını hesaplamakta kullanılmaz.

Ayrıca $P(E)$, matematiksel olarak şu şekilde de genişletilebilir:

$P(E)=P(E|H)\times P(H)+P(E|\text{H deg˘il})\times P(\text{H deg˘il})$

Dolayısıyla Bayes Formülü'nü şöyle de yazabiliriz:

$P(H|E)=\frac{P(E|H)\times P(H)}{P(E|H)\times P(H)+P(E|\text{H deg˘il})\times P(\text{H deg˘il})}$

Şimdi, bunu Monty Hall Problemi için uyarlayacak olurask:

• $P(H)$, bizim seçtiğimiz 1 numaralı kapının arkasında, tercihimiz öncesinde araba olma ihtimalidir. İşte başta $1/3$ veya %33.33... olan budur ve eğer ki oyunu hazırlayanların bir önyargısı varsa, bu sayıyı değiştirerek o önyargıyı da işin içine katabiliriz.
• $P(\text{H deg˘il})$, araba olan kapıyı seçmeme ihtimalimizdir. Arkasında araba olan kapıyı seçme ve seçmeme ihtimalimizin toplamı %100 olmak zorunda olduğu için (başka bir olasılık olmadığı için), %100'den %33.33...'ü çıkarak bu sayıyı bulabiliriz: $2/3$ veya %66.66...
• $P(E|H)$, eğer araba seçtiğimiz 1 numaralı kapının arkasındaysa, sunucunun arkasında keçi olan bir kapı gösterme ihtimalidir. Sunucu, bu oyun dahilinde, her zaman arkasında keçi olan bir kapı göstermek zorunda olduğu için, bu değer 1'dir (%100). Farklı senaryolar ve varyantlar altında bu durumu da değiştirerek farklı sonuçlar elde etmek mümkündür.
• $P(E|\text{H deg˘il})$, eğer seçtiğimiz 1 numaralı kapı arkasında keçi varsa, sunucunun arkasında bir keçi olan bir kapı açma ihtimalidir. Yine, oyunun kuralları gereği sunucu her zaman bir keçi göstereceği için, bu oran da 1'dir (%100).

İşte bunların hepsini birleştirecek olursak, seçtiğimiz kapıyı değiştirmememiz halinde kazanma olasılığımıza yönelik sonucu elde ederiz:

$P(H|E)=\frac{1\times \frac{1}{3}}{1\times \frac{1}{3}+1\times \frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}$

Dilerseniz, kapıyı değiştirme durumunu da sıfırdan hesaplayabilirsiniz; ancak $P(H|E)+P(\text{H deg˘il}|E)=1$ olmak zorunda olduğu için, yukarıdaki $1/3$ oranını 1'den çıkararak, kapıyı değiştirme davranışının doğru olma olasılığının $2/3$ olduğunu görebiliriz.

Hatta Bayes Formülü'nü kullanarak, sunucunun kapıların ardında ne olduğunu bilmediği durumu da hesaplayabiliriz! Bunu yapacak olursak:

$P(H|E)=\frac{1\times \frac{1}{3}}{1\times \frac{1}{3}+\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}$

Görebileceğiniz gibi burada tek değişen, $P(E|\text{H deg˘il})$ değerinin %100 değil, %50 ($1/2$) olmasıdır. Görebileceğimiz gibi, tamamen rastgele olan durumda kapımızı değiştirmek veya değiştirmemek fark etmez, iki durumda da kazanma ihtimalimiz %50'dir.

Anlamayı Güçleştiren Ek Detaylar

Sunucunun Sinsiliği

Burada insan aklını kurcalayan en önemli unsurlardan biri, "sunucunun sinsiliği"dir: Yani ya sunucu size bilmediğini söylüyorsa da aslında kapıların ardındakini biliyorsa? Ya da tam tersi, ya kapıların ardında ne olduğunu bilmiyorsa da biliyor gibi boş gerilim yaratıyorsa?

Fark etmez. Eğer gerçekten bilmiyorsa, zaten kapı tercihini değiştirmenizin bir etkisi yoktur. Geriye iki kapı kaldığında, şansınız her türlü %50 olacaktır. Ne yapmanız gerektiğinden emin değilseniz, değiştirin gitsin.

Öte yandan, sunucu eğer gerçekten biliyorsa, o zaman anlattığımız nedenlerle kapınızı değiştirmek, kazanma şansınızı, kapı sayısına bağlı olarak en az 2 kat artırmaktadır (eğer 1 milyon kapı varsa, 999.999 kat artırmaktadır). Yine, size fırsat sunulduğunda, değiştirin gitsin!

%66, %100 Demek Değildir!

Burada sıklıkla atlanan ve anlaşılmasını zorlaştıran bir diğer mevzu, sanki tercih değiştirmenin %100 kazanma anlamına geldiğini düşünmeye başlamaktır. Paradoks üzerine çok fazla kafa yorunca, bu olasılık gözden kaçmaktadır.

Elbette kapı tercihinizi değiştirmek, kesin olarak kazandırmayacaktır. Çünkü belki ilk seçtiğiniz kapı doğrudur ve sunucu belki de zihninizle oynuyordur. Ancak burada tüm olayın olasılıklarından bahsetmekteyiz. Dolayısıyla tüm olasılıklar değerlendirilmelidir.

Bu oyunda kazanma şansını %100'e çıkarmanın bir yolu yoktur (hile yapmak haricinde). Dikkat edilecek olursa, tercihi değiştirme sonrasında kazanma ihtimali %33'ten %66'ya çıkmaktadır; %100'e değil. Yani geriye kalan %33'lük olasılık, başta doğru kapıyı seçmiş olma olasılığınızdır. Ancak %33'lük başlangıçta doğru seçimi yaptığınız olasılığına mı tutunacaksınız, yoksa %66'lık diğer kapıya geçme halinde kazanma olasılığına mı? 

Sonuç

Size fırsat tanındığında, eğer ki sunucu kapıların arkasındakileri biliyorsa, tercihinizi değiştirmek kazanma şansınızı 2 kat arttırmaktadır! Eğer sunucu bilmiyorsa, tercih değiştirmenin herhangi bir faydası ya da zararı olmaz.

Dolayısıyla bir sonraki sefer, kendinizi bu türden bir oyun içinde bulduğunuzda, "Kutumda büyük hissediyorum." gibi mistik zırvaları boşverin: Kutuların ardında ne olduğunu bilen bir sunucuya karşı oynuyorsanız ve gerilim yaratmak için bilgisini kullanarak bazı kutuları veya kapıları açıyorsa, size tercihinizi değiştirme fırsatı sunduğu zaman bu fırsatı mutlaka kullanın. Matematik, sizden yana olacaktır.