Mikro Evrenden Makro Evrene: İstatistiksel Fizik ve İstatistik Mekanik Nedir?

David Goodstein, 1975 tarihli States of Matter kitabının 1. bölümüne şu cümlelerle başlar:^[2]

Hayatının büyük bir kısmını istatistiki mekanik araştırmalarına ayıran Ludwig Boltzmann, 1906 yılında intihar etti. Onun çalışmalarını sürdüren Paul Ehrenfest, 1933'te benzer şekilde öldü. Şimdi istatistiki mekaniği araştırma sırası bizlerde.

Bu yazı dizimizde evrendeki en küçük parçacıklardan (atom ve atomaltı parçacıklar), en büyük cisimlere (galaksi ve yıldızlar) doğru bir yolculuğa çıkacağız. Yukarıdaki sistemlerin kaotik davranışlarını, en temel doğa bilimi olan Fizik ile açıklamaya çalışacağız. Tabii bunu da fiziğin alt dalı olan istatistiksel fizik ve istatistik mekanik ile yapacağız.

Unsplash

İstatistik mekanik, mikroskopik yapıyla makroskopik yapı arasındaki köprüyü kuran bir bilim dalıdır. İstatistik Mekaniğe Giriş kitabında Prof. Dr. Bekir Karaoğlu bunu şöyle tanımlıyor:

Çok sayıda parçacıktan (atom, molekül, elektron, çekirdek vb.) oluşan sistemlerin makroskobik fiziksel özelliklerini, sistemi oluşturan parçacıkların dinamiğinden yola çıkarak inceleyen fiziğin alt dalına “istatistik mekanik” diyoruz. Sadece basit olasılık varsayımlarından yola çıkarak elde edilen sonuçlar, termodinamik biliminin temelini oluşturduğu gibi, maddenin gözlemlenen kuantum davranışlarını da açıklar. Süperiletkenlik, kara cisim ışıması, bozon yoğunlaşması gibi kuantum olayların anlaşılması, 20. yüzyılın teknolojik atılımlarının itici gücü olmuştur. Maxwell, Boltzmann, Einstein, Gibbs, Fermi ve Dirac gibi büyük biliminsanlarının katkılarıyla gelişen bu bilim dalı fizikte ve evrende oldukça önemli bir yere sahiptir.

İstatistik Mekaniğin Kısa Bir Tarihi

Bu bilim dalı, genelde diğer dallarda olduğu gibi ilginç bir şekilde gelişmiştir. Başlarda pek kabullenilmedi çünkü işin içine olasılıklar giriyor ve klasik determinizm ilkesi çöküyordu. Dolayısıyla ilk zamanlar oldukça tepki gören bu dalın kısaca tarihsel gelişimine bakalım:

Unsplash

19. yüzyıl fizik için devrimlerin olduğu bir yüzyıl olmuştur. Çünkü artık maddeyi oluşturan molekül ve atom kavramları deneysel olarak da gözlemlendiği için makro cisimler mikro özelliklerle açıklanmaya başlanmıştır. Bunun da ilk uygulaması gazlar için olmuştur.

Biliyoruz maddenin hallerinden biri olan gaz hali, katı ve sıvı hale göre daha zayıf moleküler etkileşimlere sahiptir. İşte bu özelliğinden yola çıkılarak, gazları incelemenin daha kolay olacağı ortaya konulmuştur. İlk adım "Gazların Kinetik Teorisi" olmuştur.

Dönemin bilim insanları olan Bernoulli, Joule, Krönig ve Clausius’un ortak çabaları sayesinde gazların atomik ve moleküler bazda yaptığı çarpışmalar ve etkileşimler incelenmiştir. Örnek vermek gerekirse gazın sahip olduğu basınç yada sıcaklık ya da herhangi bir etkileşim, gaz moleküllerinin ortalama kinetik enerjileriyle -yani moleküllerin bir nevi hareket denklemleri ile- ilişkiliydi.

Wikipedia

Peki bu yeni teoriyi sadece gazlara değil de, çok sayıda parçacıktan oluşan tüm sistemlere uyarlamaya çalışırsak ne olur? Bu sorunun cevabı yine o dönemlerde yaşayan Ludwig Boltzmann tarafından verildi. Boltzmann'ın yaklaşımı şu şekildeydi: Gazlar aslında oldukça çok sayıda molekül ve atomdan meydana geliyordu, yani gazlar da çok parçaçıklı bir sistemdi. Dolayısıyla bunu diğer sistemlere de uygulamak teknik olarak mümkün olmalıydı. Ama biliyoruz ki bu parçaçıkların sayısı gerçekten oldukça fazladır. Mesela, bir mol maddede bir Avogadro Sayısı kadar ($N_A=6.02214199x10^{23}$) atom vardır ki bunun sadece 1 mol olduğunun altını çizelim. O yüzden Boltzmann bunu genelleyebilmek adına istatistiksel bir yaklaşım geliştirdi. 1872 ve 1876 yılında yayımladığı iki makale bunun üzerine olup bir sistemdeki düzensizliğin ölçüsü olan “entropi”nin mikroskobik özellikleriyle hesaplanabileceğini gösterdi.

$S=k_B.ln\Omega$

Boltzmann’ın bu entropi denklemi, istatistik mekaniğin resmen kurulduğu anlamına gelmektedir.

Artık işin içinde kesinlik yoktu, olasılıklar vardı, çünkü inanılmaz sayıda parçaçıklardan oluşan sistemde ölçümlerdeki kesinliğin ve hatasız ölçümün olamayacağını Kaos Teorisi yazı dizimizde açıklamıştık.

Peki Boltzmann’ın zamanında durum neydi? O zaman hakim görüş Laplace’çı görüştü. Yani herşeyin mekanik bir saat gibi olduğu ve her etkinin kusursuz bir şekilde hesaplanıp bilinebileceği dolayısıyla da klasik determinizm görüşü hakimdi. Bu yüzden Boltzmann’ın olasılıkçı ve istatistiksel yaklaşımı büyük bir tepkiyle karşılandı. Fizik camiası büyük bir çalkalanmanın içindeydi. Hatta termodinamikte çalışmaları olan biliminsanı Lord Kelvin durumu şöyle özetlemiştir:

Işık ve ısının dinamik teorileri üzerinde 19. yüzyılın kara bulutları dolaşıyor.

(Günümüzde evrende her etkiyi ya da parametreyi %100 şekilde hatasız olarak ölçemezsiniz. Ölçümlerde bir takım ölçüm aletlerinin yetersizliğinden ve ayrıca atomik boyutta Heisenberg Belirsizlik İlkesi gereği, bir takım “hatalar ya da eksiklikler” barınmaktadır. Dolayısıyla belirli bir hata payı içinde olasıklılıklar vardır. (Bknz: Kaos Teorisi Yazı Dizisi)

Boltzman’ın öne sürdüğü bu istatistiksel teori maalesef o öldükten sonra kabul görmeye başladı. Tabii bu yeni teori artık bilim camiasında yaygınlaşmaya başlayınca Maxwell de bu konu üzerinde yoğunlaştı. Gazların Kinetik Teorisi üzerine uğraşan Maxwell, Boltzmann’ın teorisi olmadan bunun başarılamayacağını gösterdi ve literatürde ilk defa “istatistiko-mekanik” kavramını kullandı.

Artık Boltzmann ve onun istatistiksel teorisi hakettiği değeri alıyordu. 1902 yılında J. W. Gibbs “Elemantary Principles of Statistical Mechanics” eserini yayınladı ve fizik camiasında yeni bir devir başlamış oldu. Artık olasılıklar vardı!

Bu yeni teoriyle 20. yüzyılın en büyük başarıları olan “Kara Cisim Işıması” ve “Brown Hareketi”, Max Planck ile Albert Einstein tarafından başarılı bir şekilde açıklandı. İstatistiksel yaklaşım oldukça iyi sonuçlar vermekteydi. Bu yaklaşımla diğer bilim insanları (Bose, Fermi, Dirac, Pauli ve Landau) istatistik mekanik yöntemleriyle o güne dek açıklanamayan fizik problemlerini açıklamayı başardılar.

Wikipedia

Sonuç olarak istatistik mekanik fizikte oldukça büyük bir öneme sahiptir. Oldukça da büyük başarıları vardır ve günümüz fiziğinde popüler bir çalışma alanıdır.

Neden İstatistik Mekanik?

Yukarıda da değindiğimiz gibi çok sayıda parçacıktan oluşan mikroskobik sistemlerin davranışını incelemek adına istatistiğe ihtiyaç duyarız. Sebebi belli, bunu bir örnekle açıklayalım:

Fizikçiler, klasik mekanikte bir parçacığın hareketini, her $t$ anındaki $x$ konum vektörü ile $P$ momentum vektörüyle tanımlar. Dolayısıyla bunlardan yola çıkarak sistemin hareketini Newton denklemlerini (Langrange ya da Hamiton) çözerek elde ederiz. Örneğin basit bir örnek seçelim, bir bardak suyun içindeki su moleküllerinin hareket denklemlerini elde etmeye çalışalım:

Bir bardak suda yaklaşık Avogadro Sayısı ($N_A=6.02214199\times {10}^{23}$) kadar molekül vardır. Sadece bir su molekülü için 3 konum (x, y, z) ve 3 momentum (P_x, P_y, P_z) olmak üzere toplam 6 bileşen vardır. Peki bunu bir bardak suya uyarlarsak o zaman $6\times N_A=6\times 6.02214199\times {10}^{23}=10^{24}$ yaklaşık $10^{24}$ tane bilinmeyen karşımıza çıkar. İsterseniz bu sayıyı şöyle ifade edelim: 1 rakamının yanında 24 tane 0 olduğunu düşünün: 1.000.000.000.000.000.000.000.000 bilinmeyen!

Bu kadar fazla bilinmeyenin olduğu bir sistemi çözebilir miyiz? Can alıcı soru bu! Prensipte evet çözebiliriz ama bu istemin çözümünü yapmaya günümüzün en güçlü bilgisayarları dahi yetmez. Yetse dahi çok ama çok uzun yıllar alacaktır. Dikkat edelim ki bu sadece bir bardak suyun hareketi! Daha büyük cisimlere ya da sistemlere (makro uzaya) geçmedik henüz.

Endras Tia Fadhilah (YouTube)

O halde başka bir soru: Peki sistemin davranışını açıklayabilmek için bu kadar sayıda veriye ihtiyaç var mı? Cevap: Elbette yok! Çünkü istatistik mekanik ve termodinamik yasaları “mikroskobik değişkenlerin sadece istatistiksel ortalamaları makroskobik dünyaya yansımaktadır.” diyor. Yani sistemin davranışını betimleyen sıcaklık, hacim, basınç gibi 3-5 değişken bize yeterlidir. Bunların ortalamaları ya da en olası değerleri hesaplanırsa sistemin gelecekteki davranışı için öngörülerde bulunabiliriz.

Evet tüm bunları hesapladıktan sonra elde edeceğimiz sonuçlara ya da öngörülere ne kadar güvenebiliriz? Ne de olsa bunlar birer olasılık, öyle değil mi? Bu da başka bir can alıcı soru!

Cevap, %99,99999 (pentasigma seviyesi) güvenebiliriz; çünkü bu bulunan sonuçlar belirli standart sapma ve hata payı testlerinden yani bir “otokontrol”den geçen sonuçlar.

Bir Sistem İstatistiksel Olarak Nasıl İncelenir?

Fizikçiler sistemleri istatistiksel olarak incelemeye başlarken şu adımları takip eder:

• Sistemin makroskobik davranışına sebep olan mikroskobik etkilerin neler olduğunu bulmaya çalışır.

• Sonra bu mikro etkilerin durum olasılıklarını hesaplar.

• En sonunda da bu durum olasılıklarından sistemin makro durumuna geçiş yapar.

Yazı dizimizin bu kısmını toparlayacak olursak; istatistik mekaniğin tarihçesini ve tanımını incelemiş olduk. Dolayısıyla, neden fizikçiler için vazgeçilmez bir araç olduğuna değindik. İleriki yazılarımızda bu konuları daha detaylı olarak incelemeye örnekler vererek devam edeceğiz. Ludwig Boltzmann'ın sözleriyle kapatacak olursak:

Hiçbir şey iyi bir teoriden daha pratik değildir.