Kuantum Mekaniği: Bohr Atom Modeli ve Hidrojen Atomunun Fiziği

Gündelik hayatımızdaki olayları ve maddelerin birbirleri ile olan etkileşimlerini açıklarken Klasik Fizik’ten yararlanıyoruz. Başta Newton Hareket Yasaları olmak üzere diğer tüm klasik denklemler ile bunu yapabilmek mümkün. Klasik dünyamızdaki açıklayamadığımız fiziksel fenomenleri anlayabilme çabası Kuantum Mekaniği’nin temellerini atmıştır.

Işık ve atomaltı parçacıkların dünyasını, onların etkileşimlerini ve uydukları yasaları bulmaya yönelik bir çaba olan fiziğin bu alt dalına bir önceki yazımızda giriş yapmıştık. O halde değinmemiz gereken diğer başlıklara ışık ve doğası ile devam edebiliriz.

Işığın Doğası: Fotoelektrik Etki

Kuantum Mekaniği’nin temellerini atan ana olay aslında bu etki olmuştur. Işık ve madde arasındaki etkileşimleri araştıran fizikçiler “karacisim ışıması (blackbody radiation)” üzerine yoğunlaşmışlardır. Kabaca bahsetmek gerekirse üzerine düşen tüm ışığı soğuran ve bu soğurma sonucu etrafına radyasyon yayan cisimlere fizikte “karacisim” denilmektedir. Wilhem Wein tarafından karacisim ışıması çeşitli ölçümler sonucunda, bu ışıma ve ışımanın yoğunluk dağılımı frekansa bağlı olarak ifade edilmiştir. Wein bu çalışması sonucu 1911 yılında Nobel Fizik Ödülü’nü almıştır. Ancak gözlemlenen bu olayın teorik olarak açıklaması yoktu. Işığın neden böyle davrandığına dair bir açıklama çabası içine girilmişti.

The Physics of Atoms and Quanta (Wolf & Brewer, Sayfa:52 , 2000)

The Physics of Atoms and Quanta (Wolf & Brewer, Sayfa:52 , 2000)

Bu fenomen Max Planck ve Albert Einstein’ın teorik çalışmalarına kadar cevapsız kalmıştı. Planck’ın getirdiği açıklama (postülat) şuydu: Işık aslında kesikli ve kuantize enerji paketçikleri dediğimiz “foton”lardan oluşmaktadır. Fotonun sahip olduğu enerji de doğrudan ışığın frekansıyla ilgilidir:

$E=Nhf=\hslash \omega$ (Denklem 1)

$E$ : Enerji

$N$ : Kuanta Sayısı

$h$ : Planck Sabiti

$\omega$ : Açısal Frekans

The Physics of Atoms and Quanta (Wolf & Brewer, Sayfa:58 , 2000)

The Physics of Atoms and Quanta (Wolf & Brewer, Sayfa:58 , 2000)

The Physics of Atoms and Quanta (Wolf & Brewer, Sayfa:58 , 2000)

Artık ışığın enerji kuantaları halinde yayıldığını biliyorduk. Peki neydi bu "enerji kuantası"? Einstein’ın bu soruya getirdiği cevabı şuydu:

Burada düşünülecek varsayımlara göre, bir ışık ışını bir noktadan yayıldığında, enerji sürekli artan alanlara sürekli olarak dağıtılmaz, ancak uzaydaki noktalarda lokalize olan sınırlı sayıda enerji miktarından oluşur, bölünebilir ve sadece bir bütün olarak emilebilir veya üretilebilir.

Fizikteki bu gelişmelerin ardından soru soruyu getirdi ve en önemli sorulardan biri olan “Eğer ışık kuantize ise peki ya madde? Onu oluşturan özellikler de kuantize midir? İkisini ayırt edebilmek mümkün mü?” sorusu soruldu. İşte cevap aranılan yeni sorular bunlar olmuştu. Tüm bunlara dair açıklama Niels Bohr’u beklemek zorundaydı.

Bohr’un Teorisi ve Hidrojen Atomu

N. Bohr, hidrojen atomunun deneysel olarak elde edilen spektrumu ile yarı-klasik bir yaklaşımla işin teorik açıklamasını getirmişti. Bu açıklama aslında fizikteki ana yaklaşımdan oldukça farklıydı ve tekrardan fizik camiası hararetlenmişti!

O sıralar Arthur Haas, 1909 yılında atom fiziğine dair yeni önermeler/teklifler getirmişti. Bunlardan biri de aslında N. Bohr’un Atom Teorisi’ni öngörmekteydi. Her nasılsa dönemin fizikçileri A. Haas’ın çalışmalarını reddedip, Bohr’un açıklamasını övdüler. Ona olan övgü oldukça da yerinde bir övgüydü aslında. Günümüzdeki “Modern Atom Teorisi”nin orjini olan bu teori o dönemde oldukça radikal sayılabilecek fizik açısından bir matematiğe ve içeriğe sahiptir.

The Physics of Atoms and Quanta (Wolf & Brewer, Sayfa:103 , 2000)

O halde Bohr Atom Teorisi’ni inceleyelim. 1913 yılında bu teorinin uygulaması, hidrojen atomunun hiçbir ışıma (emisyon ve absorbsiyon) yapmadığı durumlar üzerine (İng: "Stationary State") olmuştu. Eğer atomun durumunda bir değişiklik meydana gelirse o zaman bir kesikli enerji ortaya çıkmaktaydı. Bohr’un teorisini biraz daha genişletip, ondan 10 yıl sonrasına dayanan fizikteki gelişmeleri de kullanarak örnekler verebiliriz ki daha iyi anlaşılabilsin.

İşe ilk olarak elektronların “dalga-parçacık” özelliklerini öne süren ve açıklayan Louis de Broglie’nin 1922’deki açıklamasıyla başlayacağız. Bu açıklama “de Broglie Hipotezi” olarak bilinir ve her bir parçacığa eşlik eden λ dalgaboyuna sahip bir “madde dalgası” olduğunu söylemektedir.

$\lambda =\genfrac{}{}{0ex}{}{h}{p}$ (Denklem 2)

$\lambda$ : Dalgaboyu

$h$ : Planck Sabiti

$p$ : Momentum

Louis de Broglie’nin bu konsepti parçacıkların dalga özelliklerine sahip olduğunu gösteren bir konsepttir. Bundan dolayı da kuantum teorisinin merkezinde yer almaktadır. Klasik dünyada da her bir makroskopik cisme eşlik eden bir dalga bulunmaktadır fakat bu dalganın dalgaboyu oldukça küçüktür ve biz bu dalgaboylarını görebilecek şekilde evrimleşmedik! Bizim gözümüz elektromanyetik spektrumda kabaca 400 nm ile 700 nm arasını görebilmekte, tabii bunda en büyük etken Güneş’in yaydığı ışınların bu dalgaboyu aralığında frekans/şiddet miktarının daha fazla olmasıdır. Gelin asıl konumuza dönelim ve neden bu cisimlere eşlik eden dalgaları göremediğimizi basit bir fiziksel örnekle açıklamaya çalışalım:

100 km/saat hızla hareket eden 1000 kg kütleli bir ortalama arabayı ele alalım. Yukarıdaki denklemde bu değerleri yerine yazarsak, makro cisim olan arabaya eşlik eden dalganın dalgaboyu yaklaşık $10^{-38}$ metre olacaktır. Yani sıfırın solunda 38 adet sıfır! Bunu ölçebilmek ya da gözlemleyebilmek neredeyse imkansız. Peki atomaltı parçacıklar dünyasında işler ne? Orası da ayrı bir konu. Bu parçacıkların sahip oldukları momentumlar oldukça küçük olduğundan dolayı bu dalgaboylarının uzunluğu büyük olabilmekte, en azından ölçüm yapılabilecek seviyede!

Devam edersek Bohr’un ileri sürdüğü atom teorisine önceki yazılarımızda da değindik ama burada biraz daha açmakta fayda var. Bohr’a göre tıpkı Güneş’in etrafında dolanan gezegenler gibi merkezde proton ve nötrondan oluşan çekirdeğin etrafında elektron dolanmaktadır. Ve bu dolanılan yörüngeler keyfi değillerdir ve sadece belirli boyutları alabilmektedirler. Biraz fizik yapmaya devam edelim ve de Broglie hipotezinden $\lambda$ dalgaboyunu çekip çembersel yörüngelere uygulayalım:

$n\lambda =2\pi r$ (Denklem 3)

$n$ : Baş Kuantum Sayısı (Yörünge)

$\lambda$ : Dalgaboyu

$r$ : Yarıçap

Buradaki r yörüngenin yarıçapı olup n ise pozitif tamsayıdır ($n=1,2,3,...$). Yukarıdaki, de Broglie dalgaboyunu çembersel yörüngede yerine yazarsak artık elektronların hareket ettiği yörüngelerin yarıçaplarını, $n$ enerji seviyelerine bağlı olarak ifade etmiş oluruz:

$r=n\genfrac{}{}{0ex}{}{\hslash }{p}$ (Denklem 4)

Şimdi ise hidrojen atomundaki elektron için toplam kinetik ve potansiyel enerjiyi yazarsak:

$E=\genfrac{}{}{0ex}{}{p^2}{2m}-\genfrac{}{}{0ex}{}{e^2}{r}$ (Denklem 5)

denklemini elde ederiz. Burada $m$ elektronun kütlesi, $e$ ise elektronun yüküdür. Denklemdeki kinetik enerji terimi ise elektronun yörüngedeki hareketinden, potansiyel enerji ise elektron ile protonun arasındaki elektromanyetik kuvvetlerden kaynaklanır ve “Coulomb Enerjisi” olarak da bilinir. Şimdi ise bu enerji ifadesini, $n$ baş kuantum sayısına bağlı şekilde yazarsak denklemi kuantize hale getirmiş oluruz. Böylelikle elektron için her bir n. yörüngedeki toplam enerjiyi bulabiliriz:

$E=\genfrac{}{}{0ex}{}{n^2{\hslash }^2}{2m{r}^2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{e^2}{r}$ (Denklem 6)

Sıra, $F$ kuvvetini bulmaya geldi. Klasik Mekanik sayesinde $E$ enerji ifadesinden $F$ kuvvetini bulabiliriz. Denge durumundaki parçacık için kuvvet;

$F=\genfrac{}{}{0ex}{}{dE}{dt}=-\genfrac{}{}{0ex}{}{n^2{\hslash }^2}{m{r}^3}+\genfrac{}{}{0ex}{}{e^2}{r^2}=0$ (Denklem 7)

bulunur. Buradan yola çıkarak durağan durum (İng: "Stationary State") için elektronun dolandığı yörüngenin yarıçapını hesaplayabiliriz:

$r_n=\genfrac{}{}{0ex}{}{n^2{\hslash }^2}{m{e}^2}=0.5292n^2\mathring{A}$ (Denklem 8)

$\mathring{A}$ : Angström $=$ $10^{-10}$ metre

Bulduğumuz bu sonucu (Denklem 6)' da yerine yazarak hidrojen atomundaki bir elektron için enerji değerlerini $n$ kuantum sayısına bağlı şekilde elde ederiz:

$E_n=-\genfrac{}{}{0ex}{}{m{e}^4}{2{\hslash }^2{n}^2}=-\genfrac{}{}{0ex}{}{13.606}{n^2}eV$ (Denklem 9)

$eV$ : elektronVolt

Planck’ın postülatını Bohr’un atom teorisi ile birleştirerek yarı-klasik metotlarla bile bunu bulabilmek oldukça heyecan verici! Bir de hesaplamaya çalışılan şeylerin boyutlarını işin içine kattığımızda bu heyecan daha da artmakta. Bu sayede atomaltı parçacıkların (elektron vs.) davranışları hakkında bir şeyler söylebilmek mümkün olmaktadır.

Atomdaki Enerji Seviyeleri Arası Geçişler ve Seriler

Şimdi hidrojen atomundaki başlangıç durumu olan $n_1$ seviyesinden bir sonraki durum olan $n_2$ seviyesine geçiş sonrası absorblama (soğurma) şeklinde ortaya çıkan ışığın yani “foton”un enerjisini bulalım. Ayrıca biz biliyoruz ki hiçbir atom ya da elektron uyarılmış halde bulunmak istemez, daima en düşük enerji seviyesinde bulunmak ister. Bunun sonucu olarak da enerji fazlalığını ışık yayarak yani foton salarak spektrumda kendine has dalgaboylarında/renklerde çizgiler gösterir.

Enerji korunumu gereği bu seviyeler arası enerji farkı yani salınan fotonun enerjisi:

$\Delta E=E_{n2}-E_{n1}=\hslash {\omega }_{n1n2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{m{e}^4}{2{\hslash }^2}(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{{n_1}^2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{{n_2}^2})$ (Denklem 10)

şeklinde yazılıp hesaplanabilir. Bu geçişler Bohr’un teorisindeki gibi gerçekleşir ve her bir n enerji seviyesi arası geçişler atom fiziğinde “simetri ve geçiş kuralları”na uyacak şekilde meydana gelir. Yani keyfi değil! (Bu konu başka bir yazımızın konusu olsun.)

Bu enerji seviyeleri arası geçişlerin özel isimleri var ve en çok bilinen seriler sırayla şu şekildedir:

• Lyman Serileri

• Balmer Serileri

• Paschen Serileri

Tüm bunları hidrojenin atomik spektrası olarak görselleştirirsek alttaki grafik elde edilir.

Introductory Quantum Mechanics with MATLAB (J. Chelikowsky, Sayfa:8, 2019 )

The Physics of Atoms and Quanta (Wolf & Brewer, Sayfa:108 , 2000)

Lyman Serileri

Bu seri ikinci ve daha yüksek enerji seviyelerinden ($n\ge 2$ ), ilk enerji seviyesi olan $n=1$ seviyesine geçişleri kapsamaktadır. Elektron bu yüksek seviyelerden ilk seviyeye geçiş yaparken elektromanyetik spektrumda morötesi bölgede foton salar. Hidrojen benzeri atomlar için de bu geçişler mümkün olabilmektedir. Örneğin uranyum atomu ve onun bir ürünü olan $U^{92^{+}}$ iyonu için gereken enerji miktarı 10 GeV’tan büyük olmalıdır (Giga-elektronvolt). Uranyumun diğer ürünü olan $U^{91^{+}}$ iyonuna ait Lyman Serileri enerji cinsinden 100 keV (kilo-elektronvolt) civarındadır.

The Physics of Atoms and Quanta (Wolf & Brewer, Sayfa:111 , 2000)

Balmer Serileri

Enerji seviyesi olarak üçüncü ve daha yüksek enerji seviyelerinden ($n\ge 3$ ), ikinci enerji seviyesine geçişleri kapsayan serilerdir. Salınan fotonun dalgaboyu elektromanyetik spektrumda “görünür bölge” de yer almaktadır. Yaklaşık 400 nm ile 700 nm arasındadır. Çoğumuz bunu hidrojenin karakteristik spektrumu olarak da bilmektedir.

Hidrojen benzeri uranyum atomunun $U^{91^{+}}$ iyonu için Balmer serisi enerji değerleri 15 keV ile 35 keV arasındadır.

The Physics of Atoms and Quanta (Wolf & Brewer, Sayfa:114 , 2000)

Paschen Serileri

Bu serileri enerji seviyesi dört ve üzeri olan yörüngelerden ($n\ge 4$ ), üçüncü enerji seviyesine geçişlerde gözlemleriz. Salınan fotonların ortalama dalgaboyları 1000 nm ile 2000 nm arasında yer alır.

Sonuç olarak kuantum fiziğinin temeli olan bu deneyleri ve teorileri anlamak oldukça önemlidir çünkü tüm bunları anlama çabası aslında fiziğin tüm enstrümanlarına hakim olmayı ve bunları ustalıkla kullanabilmeyi gerektirir. En önemli köşe taşlarından biri olan hidrojen atomu, uygulama olarak oldukça zarif ve bir o kadar da bilgi açısından dolu! Yazımızı şu sözle bitirmek tüm çabamızı özetleyecektir. O halde,

...Hidrojeni anlamak, tüm fiziği anlamaktır aslında... - V. Weisskopf