Kuantum İstatistik: Klasik Etkiler, Yerini Ne Zaman Kuantum Etkilerine Bırakır?

Atomaltı parçacıkların davranışlarını ve etkileşimlerini açıklama, bunu yaparken de klasik istatistiksel yaklaşımla kuantum mekaniğini birleştirme çabaları “kuantum istatistik” kavramını doğurmuştur. Termodinamik ve kuantum mekaniksel etkilerin, klasik fizikle birleştiği bu alanı giriş düzeyinde de olsa incelemek oldukça ilginç ve sıradışı olacak. Öyleyse başlayalım.

(Ufak bir hatırlatma yapmakta fayda var, aşağıdaki çoğu kavrama daha önceki yazılarımızda değindiğimiz için tekrara düşmemek adına fazla değinmeden geçeceğiz.)

Wikimedia

Termal Dalgaboyu

Gaz içerisindeki atomları ele alarak bu ifadeyi açıklamaya çalışalım. Onları yüksek sıcaklıkta birbirleriyle çarpışan bilardo topları olarak düşünebiliriz. Çünkü çarpışan bu atomların boyutları, diğer parçacıklar arası ortalama mesafeden daha küçüktür. Ayrıca atomaltı parçacıklar katı ve sıvı fazdakilere oranla daha az potansiyelle bağlıdırlar diyebiliriz. Önceki yazılarımızdan yola çıkarak da bu atomları birer dalga paketçiği olarak ifade etmek mümkündür. Diğer yandan sıcaklıkla bu atomların ilişkileri arasındaki ilişkiye değinirsek, sıcaklık kinetik enerji ile ilişkili olup sıcaklık azaldıkça, bu dalga paketçikleri, yani atomlar, birbirleriyle daha çok örtüşüp etkileşime girecekler. Böyle olunca da klasik etkilerin yanı sıra kuantumsal etkiler daha baskın hale gelecek.

O halde asıl soru şu: Klasik etkilerin yerini kuantumsal etkilere bıraktığı aralığın/geçişin genel bir tanımı var mı? Tam olarak nerede bu etkiler daha baskınlaşır? Cevap olarak böyle bir geçişten genel olarak bahsedebilmek mümkün olup bunu bulmaya çalışalım:

Atomları “dalga paketi” olarak tanımlamıştık, de Broglie’ye göre her parçacığa eşlik eden bir dalga olup buna “madde dalgaları” denilmekteydi. Buradan yola çıkarak öyleyse bu atomların de Broglie dalgaboyu şu bağıntıyla bulunur:

${\lambda }_0=\genfrac{}{}{0ex}{}{h}{p_0}$ (Denklem 1)

${\lambda }_0:$ de Broglie Dalgaboyu

$h:$ Planck Sabiti

$p_0:$ Momentum

Gerekli olan diğer bir ifade ise kinetik enerji olup bunu denge halindeki T sıcaklığındaki gaz atomlarının enerjisi ile birlikte yazarsak (Bkz: Eş Bölüşüm Fonksiyonu)

$\genfrac{}{}{0ex}{}{{p_0}^2}{2m}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}kT$ (Denklem 2)

$m:$ kütle

$k:$ Boltzmann Sabiti

$T:$ Sıcaklık

denklemini elde ederiz. Yukarıdaki iki denklem sayesinde amacımız olan de Broglie dalgaboyunu bulmuş oluruz.

${\lambda }_0=\genfrac{}{}{0ex}{}{h}{\sqrt{3mkT}}$ (Denklem 3)

Şimdi ise bir tek gaz atomundan yola çıkarak bunu gazın içerisindeki çok sayıdaki atomlara genelleştirip bulduğumuz bu de Broglie dalgaboylarıyla düzlem dalgaları “girişim” yaptırarak genel anlamda bir dalga paketi elde ederiz. Burada değinilmesi gereken bir diğer önemli konu ise dalgaboyları ile momentum arasındaki “Heisenberg Belirsizlik İlkesi” ne uygunluk. Bu iki nicelik bu ilkeyi sağlamak zorunda olup belirli büyüklükler şeklinde kendilerini lokalize ederler. (Bkz: Magnitude Estimate Degree of Spatial Localization)

$\Delta x\cdot \Delta p\backsim \hslash$ (Denklem 4)

Fazla ara işlemlere boğulmadan yukarıdaki denklemler sayesinde

$\lambda =\sqrt{\genfrac{}{}{0ex}{}{2\pi {\hslash }^2}{mkT}}$ (Denklem 5)

$\lambda :$ Termal Dalgaboyu

bağıntısı elde edilir. Biz buna “termal dalgaboyu” diyoruz. Oldukça önemli bir ifade olup, asıl amacımız olan klasik etkilerin yerini kuantumsal etkilere bıraktığı bölgeyi bulma çabamızın cevabı da burada yatmakta.

$n{\lambda }^3<<1$ (Klasik Etkiler Baskın)

$n{\lambda }^3\approx 1$ (Kuantumsal Etkiler Başlamakta)

n terimi yoğunluk ile ilgili olup sorumuzun cevabı için şu aşamada önemli değildir. Toparlarsak eğer, termal dalgaboyu ile ilişkili ($n{\lambda }^3$ ) terimi 1’den oldukça küçük ise klasik etkiler, 1’e yakınsa kuantumsal etkiler baskın olmaktadır. Kuantum etkilerin önemli ve baskın hale gelmeye başladığı sıcaklık değerine ise “yozlaşma sıcaklığı” (İng: Degeneracy Temperature) denilmektedir. Bu sıcaklıktan itibaren sistem artık kuantum mekaniksel olarak incelenmeye başlanır ve artık kuantum dünyasına giriş yapmış olursunuz. Çünkü burada önceki yazılarımızda sık sık değindiğimiz farklı atomlara ait dalga fonksiyonları birbirleriyle üst üste binerler. (İng: Overlap)

$n{\lambda }^3=1$ (Kuantumsal Etkiler Baskın)

Teorik olarak bulduğumuz bu sonuçları grafik olarak incelersek klasik ve kuantum etkilerin baskın olduğu ve yerini bir diğerine bıraktığı bölgeyi daha net görmüş oluruz. Sıvı helyum için yozlaşma sıcaklığı yaklaşık 2.17 Kelvin olup bu sıcaklıktan itibaren sıvı helyum kuantumsal etkiler gösterip “süperakışkan” özellikte davranışlar sergiler.

Introduction to Statistical Physics / K. Huang (2001, Taylor & Francis)

Ayrıca bazı diğer sistemlere ait yoğunluk ve yozlaşma sıcaklığı tablosu da şöyle örneklenebilir:

Introduction to Statistical Physics / K. Huang (2001, Taylor & Francis)

Artık klasik etkilerden kuantumsal etkilere geçişin nerede başladığını gördüğümüze göre, bu atomaltı parçacıkların (Fermiyon ve Bozon) enerji seviyelerindeki yerleşimlerini/dağılımlarını inceleyebiliriz. Bunu yaparken de işi fazla fiziğe ve matematiğe boğmadan yapmayı hedefliyoruz. İlgili okuyucularımız “Kanonik Dağılımlar ve Durum Yoğunluk Fonksiyonları"na bakabilir.

Fermi – Dirac İstatistiği

Atomaltı parçacıkları temel olarak “fermiyonlar” ve “bozonlar” olarak iki ana gruba ayırabiliriz. Spin değerleri (1/2, 3/2,...) şeklinde olan parçacıklar fermiyon adlandırılır. Proton, nötron, elektron fermiyon sınıfında yer alırken isimlendirme ise bu alanda yaptıkları çalışmalar dolayısıyla fizikçi Enrico Fermi’ye ithafen yapılmıştır.

Gelelim fermiyonların enerji seviyelerindeki dağılımlarına… Pauli Dışarlama İlkesi gereğince aynı kuantum durumunda birden daha fazla fermiyon bulunamaz. Antisimetrik özellikten dolayı spinleri farklı olmak zorunda denilebilir. İşte bu kurala uygun şekilde kuantum durumlarına dağılım, “Fermi - Dirac Dağılımı” olarak bilinir ve aşağıdaki bağıntıyla ifade edilir:

$\overline{n_j}=\genfrac{}{}{0ex}{}{g_j}{e^{-\alpha +\beta {ϵ}_j}+1}$ (Denklem 6)

$\overline{n_j}$ $:{ϵ}_j$ Enerjili Kuantum Durumların Ortalama Doluluk/İşgal Sayısı

Bose – Einstein Dağılımı

Spin değerleri (0, 1, 2, ...) şeklinde olan parçacıklara bozon denilmekte olup bu alandaki çalışmaları nedeniyle fizikçi Satyendra Nath Bose anısına bu şekilde adlandırılmıştır. Bozonlar parçacık fiziğinde kuvvet taşıyıcı parçacıklar olarak bilinirler. Foton, W-Z bozonları, belki de en bilineni 2012 yılında Cern’de deneysel keşfi gerçekleşen Higgs Parçacığı bu ailede yer almaktadır.

Bozonlarda, fermiyonlarda olduğu gibi bir dışarlama durumu söz konusu değildir ve atomdaki kuantum durumlarındaki dağılımları/işgal yerleri aşağıdaki bağıntıyla bulunabilir:

$\overline{n_j}=\genfrac{}{}{0ex}{}{g_j}{e^{-\alpha +\beta {ϵ}_j}-1}$ (Denklem 7)

İki dağılım da esas olarak birbirine matematiksel olarak çok benzemekte olup genel olarak şu şekilde yazılabilir:

$\overline{n_j}=\genfrac{}{}{0ex}{}{g_j}{e^{-\alpha +\beta {ϵ}_j}\pm 1}$ (Denklem8) ($+$ : Fermi - Dirac, $-$ : Bose - Einstein)

Maxwell – Boltzmann Dağılımı

Yukarıdaki iki dağılımla birlikte fermiyon ve bozonlar için dağılımları inceledik. Peki sıcaklıkla bu dağılımların ilgisi olduğunu da bildiğimize göre, sıcaklığı artırırsak nasıl bir sonuçla karşılaşırız? Parçacıklar yine yukarıdaki dağılımlara mı uyarlar? Yoksa başka bir dağılım mı gösterirler?

Thermodynamics and Statistical Mechanics / W.Greiner (1995, Springer)

Eğer sıcaklığı değiştirip yüksek sıcaklık limitine yaklaştırırsak, hem Fermi dağılımı hem de Bose dağılımı tıpkı “klasik dağılım”a benzer ve bu özellikte davranış sergilerler. Çünkü yüksek sıcaklıklar daha fazla enerji anlamına gelir ve bu da daha fazla uyarılma demektir. İster bozon ister fermiyon olsun bu sıcaklık değerlerinde uyarılmış olan durumları doldurma eğilimleri termodinamik ve diğer fiziksel nedenlerden dolayı daha azdır. Ayrıca bir durumda bulunan bu parçacıkların sayısı oldukça düşüktür.

O halde klasik dağılım olarak bilinen Maxwell – Boltzmann Dağılımı’nın matematiksel ifadesini yazacak olursak,

$n_k\to$ $e^{\alpha -\beta {ϵ}_k}$ , $\beta \to 0$ (Denklem 9)

$n_k=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{z^{-t}{e}^{\beta {ϵ}_k}\pm 1}$ (Denklem 10)

bağıntılarını elde etmiş oluruz.

Dağılımları daha net ifade etmek için her üç dağılımı aynı grafikte göstermek mümkün:

Introduction to Statistical Physics / K. Huang (2001, Taylor & Francis)

Bu grafikten de anlaşılacağı üzere x’in 1’den çok büyük (>1">$x>>1$ ) değerleri için parçacıkların dağılımlarının sayısı aynı hale yaklaşmakta ve gelmektedir. Yani Fermi – Dirac Dağılımı ile Bose – Einstein Dağılımı, bu bölgede klasik dağılım olan Maxwell – Boltzmann Dağılımı’na yaklaşır.

Toparlarsak eğer bu yazımızda atomaltı parçacıklara ait atomdaki dağılımlarını istatistiksel mekanikle incelemiş olduk. Aynı zamanda diğer bir önemli soru olan, klasik ile kuantum etkilerin nerede başlayıp baskın hale geldiklerini gösterdik. Günümüz yoğun madde fiziği araştırmaları (süperiletkenlik, band teorileri, enerji dağılımları) ve ister deneysel ister teorik fizik olsun, merkezinde yer alan bu kuantum istatistiği ile daha net anlaşılmaktadır.