Geometride Diklik Merkezi Nedir, Nasıl Bulunur? Matematikte Nerelerde Kullanılır?

Matematikte yükseklik, bir üçgenin köşelerinin birinden o köşenin açısının gördüğü kenara doğru $90°$'lik açı ile inen uzunluğa veya başka bir deyişle köşenin açısının gördüğü kenara doğru inen en kısa uzunluğa denir.

GeoGebra

Burada $B$ köşesinin yüksekliği $|BD|$ uzunluğudur. Tabii ki yükseklikler her zaman üçgenin içinde olmayabilir. Üçgen geniş açılı ise yükseklik üçgenin dışında olabilir ve şu şekilde görünür:

GeoGebra

Bu durumda, "bir üçgenin köşelerinden birinden o köşenin açısının gördüğü kenara doğru $90°$'lik açı ile inen uzunluğa" değil "bir üçgenin köşelerinden birinden o köşenin açısının gördüğü kenarın uzantısına doğru $90°$'lik açı ile inen uzunluğa" yükseklik deriz. İşte diklik merkezi, üçgenin bütün yüksekliklerinin kesiştiği noktadır ve genelde $H$ ile gösterilir. Bu nokta üçgenin içinde, dışında ya da $90°$''lik kenarda bulunabilir. Bunu belirleyen üçgenin türüdür: Eğer üçgen dar açılı ise içinde, geniş açılı ise dışında, dik üçgen ise $90°$'lik kenarda olur.

GeoGebra

GeoGebra

GeoGebra

Teoremler ve Özellikler

Öncelikle şu soruyu soralım: Bir üçgende yükseklikler her zaman kesişir mi? Yani yükseklikleri kesişmeyen bir üçgen olabilir mi? Cevap kesin olarak hayır! İstisnasız her üçgende, yükseklikler kesişmek zorundadır. Bunun ispatını anlatalım: Bir $ABC$ üçgenini ele alalım ve her kenarının orta noktalarını bulalım. Bu noktaları birleştirerek yeni bir üçgen (yani ters-orta üçgeni) çizelim.

Bu yeni üçgen, yani $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ üçgeni ile $ABC$ üçgeni benzerdir. Ayrıca $|BC|$ ile $|C^{\prime }{B}^{\prime }|$, $|AB|$ ile $|B^{\prime }{A}^{\prime }|$ ve $|AC|$ ile $|C^{\prime }{A}^{\prime }|$ birbirlerine paraleldir. Şimdi de üçgenin kenar orta dikmelerini çizelim. Bunların her zaman kesişeceğine dikkat edelim.

Bu çizdiklerimiz, $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ üçgeninin yükseklikleridir! O halde bu yükseklikler de kesişir. Ayrıca, buradan eğer 2 tane yükseklik bir yerde kesişiyor ise 3. yüksekliğin de oradan geçeceğini anlayabiliriz. Şimdi biraz açılar arasındaki bağıntılara bakalım. İlk olarak diklik merkezinin etrafındaki açıları inceleyelim.

Burada $AFHE$ bir dörtgendir ve iç açıları toplamı $360°$ olur. Bu halde $\beta +\alpha =180°$ denebilir. Yani bu açılar bütünler açılardır. O zaman $BHC$ açısı da $\beta$'ya eşit olduğundan dolayı şunlar yazılabilir:

Şimdi diğer bir kenarlar ile ilgili bir teoreme geçelim.,Bu teoreme göre aşağıdaki özellikler her zaman sağlanır:

Bunun çok kolay bir ispatı için birazcık trigonometri kullanabiliriz. Kenarların her birine ayrı ayrı bakalım. Önce $A$ ile başlayalım: $AEB$ üçgeni ile $AFC$ üçgeni benzerdir, çünkü $FAE$ açısına $\beta$ derseniz $ABE$ ve $ACF$ açıları eşit olur. $\frac{|AE|}{|AB|}=\frac{|AF|}{|AC|}$ olduğundan $|AF|\cdot |AB|=|AE|\cdot |AC|$ eşitliğine ulaşılır.

Aslında bu teoremi kullanarak Pisagor Teoremini kanıtlayabilirsiniz! Hemen bir dik üçgen çizelim:

Şimdi bu üçgenin yüksekliklerini çizelim.

Böylece $B$ noktası diklik merkezi olur. Şimdi her kenara birer kare çizelim:

Şimdi az önceki teoremi hatırlıyalım: $A$ köşeşinde $|AB|$ kenarına az önceki teoremi uygularsak $|AB{|}^2$ sonucunu alırız. Sonra da teorem gereği bunun $|AD|\cdot |AC|$ çarpımı ile eşit olduğunu söylebiliriz. Aynısını $C$ köşesi için $|CB{|}^2=|CD|\cdot |CA|$ olarak gösterebiliriz. İşte bunların toplamı, yani $|AB{|}^2+|CB{|}^2=|CD|\cdot |CA|+|AD|\cdot |AC|=|AC{|}^2$ ve $|AC|$ hipotenüs olduğu için $|AB{|}^2+|CB{|}^2=|AC{|}^2$ olarak bulunur. Bu da hepimizin bildiği Pisagor Teoremi'dir!

Şimdi bir başka teoreme bakalım. Bu teoreme göre şu özellik her zaman sağlanır:

İspat için benzerlik kurallarını kullanabiliriz. $BHF$ üçgeni ile $CHE$ üçgeni benzer üçgenlerdir. O halde $|FH|$'ye $n$ dersek $|HE|=n\cdot k$ olacaktır. Aynı şekilde $|BH|$'ye $m$ dersek $|HC|=m\cdot k$ olur, bunların karşılıklı çarpımları yani $|FH|\cdot |HC|=|EH|\cdot |HB|=m\cdot n\cdot k$ olur. Bunu diğer yükseklikler için yaparsanız az önceki eşitliği elde edersiniz.

Bir diğer özellik ise ortik üçgen dediğimiz özel üçgenle ilgilidir. Ortik üçgen, tanım olarak bir üçgenin dikme ayaklarını köşe kabul eden üçgendir. Yani aşağıdaki görselde bulunan $FDE$ üçgeni bir ortik üçgendir.

Ortik üçgenin özelliklerine bakarsak, ilk olarak $|DH|$, $|HE|$ ve $|HF|$ açıortaydır. Yani $m(FDH)=m(EDH),m(DFH)=m(EFH)$ ve $m(FEH)=m(DEH)$ olarak yazılabilir. Bunun ispatı için yine benzer kurallarını kullanabiliriz. $m(ABE)=\alpha$ diyelim. $FHB$ ve $EHC$ üçgenleri benzerdir. Şimdi biraz da çember kullanalım.

Şimdi görseli biraz daha temize çekip kirişler dörtgenini gösterelim.

$G$ noktası $|AB|$'nin orta noktasıdır. Bunun nedeni $m(BDE)$ ve $m(BEA)$'nın $90°$ olmasıdır, yani bunlar çapı gören çevre açılardır. Buradan $m(ABE)$ ile $m(ADE)$'nin eşit olduğunu görebiliriz. O zaman üçgeni şu şekilde çizelim:

Şimdi ikinci kez benzerlik kuralı uygulayalım. $ABE$ üçgeni ile $ACF$ üçgeni benzerdir. $m(BAC)$ iki üçgende ortak olduğu için $m(FCA)=\delta$'dir. az önce yaptığımız işlemleri tekrardan buna da uygularsak $m(ADE)=\delta$ gelir ve bu $|HD|$'nin açı ortay olduğu anlamına gelir. Bunu diğer noktalar için de uygularsanız $H$ noktasının $DEF$ üçgeninin ağırlık merkezi, yani açıortayların kesişim noktası olduğunun görürsünüz.

Şimdi bir diğer teoreme geçelim. Fagnano Teoremi diye bilinen bu teoreme göre ortik üçgen, bir üçgenin içinde çizilebilecek en küçük çevreye sahip üçgendir. İspatı ise biraz karmaşıktır. Öncelikle bir $ABC$ üçgeni alalım:

Şimdi her kenardan rastgele birer nokta alalım. Bunları birleştirerek bir $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ üçgeni oluşturalım:

Şimdi $|AB|$ kenarına göre simetrik olacak şekilde $C^{\prime }$ noktasından $|C^{\prime }{A}^{\prime }|$ uzunluğunda bir doğru çizelim. Sonra aynısını $|AC|$kenarında $|B^{\prime }{A}^{\prime }|$ için yapalım. Aşağıdaki gibi bir şekil elde ederiz:

Burada $|D{C}^{\prime }|=|C^{\prime }{A}^{\prime }|$ ve $|E{B}^{\prime }|=|B^{\prime }{A}^{\prime }|$'dir. Aynı zamanda doğru parçaları simetrik olduğu için $m(D{C}^{\prime }B)=m(A^{\prime }{C}^{\prime }B)$ ve $m(A^{\prime }{B}^{\prime }C)=m(E{B}^{\prime }C)$'dir. Şimdi $|DE|$'yi doğru parçası olacak şekilde çizelim:

Yeni oluşan $F$ ve $G$ köşelerinden bir $FG{A}^{\prime }$ üçgeni çizerseniz bu $A^{\prime }$ noktası için oluşabilecek en küçük çevreye sahip üçgendir. Çünkü iki nokta arasındaki olabilecek en kısa mesafe, o iki noktadan geçen doğrunun uzunluğudur. Fakat $D$ ve $E$ noktaları arasındaki $|D{C}^{\prime }|+|C^{\prime }{B}^{\prime }|+|B^{\prime }E|$ uzunluğu mümkün olan en kısa uzunluk değildir. Ama eğer $FG{A}^{\prime }$ üçgenini kullansaydık, bu sefer aynı işlemleri yaptığımız zaman mümkün olan en kısa uzunluk bulunacağından dolayı $A^{\prime }$ için en küçük çevreye sahip üçgen olurdu.

Peki nasıl bir $A^{\prime }$ seçilmeli ki bu üçgenlerin arasındaki en küçük çevreye sahip üçgeni bulalım? Cevap basit. $A$'dan inen dikmenin $|BC|$ ile temas ettiği nokta! Neden mi? Açıklayalım: Önce ortadaki üçgeni silelim ve az önceki $A^{\prime }$ köşesine sahip en küçük üçgeni çizelim:

Şimdi, $|DF|$ ve $|F{A}^{\prime }|$, $|AB|$'ye simetrik olduğundan ve ayrıca $m(D{C}^{\prime }B)=m(A^{\prime }{C}^{\prime }B)$ ve $m(A^{\prime }{B}^{\prime }C)=m(E{B}^{\prime }C)$ olduğundan $|AD|$ ile $|A{A}^{\prime }|$ aynı uzunluğa sahip olur. Aynı şey $|AE|$ ve $|A{A}^{\prime }|$ için de geçerlidir, o halde köşeleri şu şekilde birleştirelim:

Şimdi, $|A{A}^{\prime }|$'yı en kısa tutalım. Ne zaman bu şekilde bir doğru en kısa olur? Yüksekliğin tanımından yola çıkalım: "Üçgenin köşenin açısının gördüğü kenara doğru inen en kısa uzunluk" yani olası en kısa $|A{A}^{\prime }|$ uzunluğu. O zaman $|A{A}^{\prime }|$'yı yükseklik yapmalıyız! Bunu 3 köşeye de uygularsanız her zaman olası en kısa uzunluğun yükseklik olduğunu görürsünüz. Bu yüzden ortik üçgen, bir üçgenin içinde çizilebilecek en küçük çevreye sahip üçgendir.^[2]

Son olarak, diklik merkezinin fizikte aslında çok fazla kullanım alanı yoktur. Sadece bazı çok spesifik alanlarda kullanılır. Mesela mühendislikte iç arama algoritmalarındaki bazı stratejilerde kullanılabilir.^[3] Bunun dışında Minkowski uzayı denklemlerinde, ses sistemlerinde, bulanık sayıların ortam merkezleri kullanarak sıralanmasında ve bazı fonksiyon çözümlerinde kullanılır.^{[4], [5], [6]}