Gelmiş Geçmiş En Zor Mantık Sorusu!

Bundan yıllar önce, mantıkçı ve bilmece ustası Raymond Smullyan, bildiğimiz kadarıyla daha zoru geliştirilmemiş olan bir mantık sorusu geliştirdi. Bu yazıda, bu mantık sorusunu çözeceğiz ve bazı ilginç taraflarını inceleyeceğiz.

En Zor Mantık Sorusu

3 adet tanrı olsun (A, B, C). Bu tanrıların isimleri, herhangi bir sırada, Doğrucu, Yalancı ve Rastgele'dir. Doğrucu tanrı her zaman doğruyu, Yalancı tanrı her zaman yalan, Rastgele tanrı ise tamamen rastgele bir şekilde doğru veya yalan söylemektedir. Göreviniz, sadece 3 adet evet-hayır sorusu sormak şartıyla, A, B, C tanrılarından hangisinin Doğrucu, hangisinin Yalancı, hangisinin Rastgele olduğunu tespit etmektir. Her bir soruyu sadece 1 tanrıya yöneltebilirsiniz. Tanrılar, Türkçe anlamaktadır; ancak kendilerine has bir dilde konuşmaktadırlar. Bu dilde "evet" ve "hayır" sözcükleri "da" ve "ja" sözcüklerine karşılık gelmektedir; ancak hangisinin "evet", hangisinin "hayır" olduğunu bilmiyorsunuz.

Sık Sorulan Sorular

Cevaba geçmeden önce, bu bilmeceyle ilgili bazen sorulan sorulara yanıt vermek isteriz:

• Bir tanrıya birden fazla soru sorabilirsiniz (dolayısıyla tanrılardan birine veya ikisine hiç soru sormamayı seçebilirsiniz).
• İkinci sorunun ne olacağı ve hangi tanrıya sorulacağı, birinci sorunun yanıtına bağlı olabilir. Aynı şey, üçüncü soru için de geçerlidir.
• Rastgele tanrısının doğruyu söyleyip söylemediğini, zihninde atılan bir bozuk paranın yazı veya tura gelmesine benzetebilirsiniz. Eğer yazı gelirse doğruyu, tura gelirse yalan söylediğini hayal edebilirsiniz.
• Rastgele tanrısı da herhangi bir evet-hayır sorusuna "da" veya "ja" cevaplarıyla karşılık vermektedir.

Çözüme Giden Yolda 3 Bilmece

Çözüme geçmeden önce, benzer ama bundan çok daha basit 3 adet bilmeceye göz atacağız. Sonrasında, bu 3 bulmacanın yanıtlarını birleştirerek, gelmiş geçmiş en zor mantık sorusunu çözeceğiz. Bunlardan son ikisine aşina olabilirsiniz; ancak ilki, bu soru üzerinde düşünmemiz sırasında türetilmiş yeni bir bilmecedir.

Bilmece 1

Yerlerini önceden kaydetmek kaydıyla, 2 adet as ve 1 adet vale kartını, yüzleri aşağı bakacak şekilde masaya, yan yana koydum. Hangi kartın nereye konduğunu bilmiyorsunuz. Probleminiz, üç karttan herhangi birine işaret etmek ve sonrasında bana tek bir evet-hayır sorusu sormak. Bu sorunun cevabından, üç karttan birinin as olduğunu kesin suretle tespit edebilirsiniz. Soruyu sormadan önce eğer aslardan birine işaret ettiyseniz, sorunuzu dürüstçe cevaplandıracağım. Ama eğer valeye işaret ettiyseniz, evet-hayır sorunuza tamamen rastgele bir şekilde "evet" veya "hayır" cevabını vereceğim. Aslardan birini tespit etmek için hangi soruyu sormalısınız?

Bilmece 2

Diyelim ki Rastgele tanrısı ortada yok ve siz, Doğrucu ve Yalancı tanrılarından biriyle konuştuğunuzu biliyorsunuz; ancak tam olarak hangisiyle konuştuğunuzu bilmiyorsunuz. Ve bir sebeple, konuştuğunuz tanrı, sizinle Türkçe konuşmayı seçti; dolayısıyla "da" ve "ja" gibi bilmediğiniz kelimelerle uğraşmanız gerekmiyor. Ve yine bir sebeple, Duşanbe'nin Kırgızistan'da olup olmadığını öğrenmeniz gerekiyor. Duşanbe'nin Kırgızistan'da olup olmadığını tespit etmek için tek bir soru sorabilecek olsanız, Doğrucu mu yoksa Yalancı mı olduğunu bilmediğiniz bu tanrıya ne sorardınız?

Bilmece 3

Bu defa, kesinlikle Doğrucu tanrıyla konuştuğunuzu biliyorsunuz; ancak bu defa da tanrı sizinle Türkçe konuşmayı reddediyor. Dolayısıyla sadece "da" ve "ja" cevaplarını veriyor. Doğrucu tanrıya tek bir soru sorabilecek olsanız, Duşanbe'nin Kırgızistan'da olup olmadığını hangi soruyu sorarak öğrenirdiniz?

Dailymail

3 Bilmecenin Çözümleri

İşte bu bilmecelerin çözümleri:

Bilmece 1'in Çözümü

Her zaman ortadaki karta işaret edin ve "Soldaki kart bir as mı?" diye sorun. Eğer "evet" cevabını verirsem, soldaki kartı "as" olduğunu iddia edin; eğer "hayır" cevabını verirsem, sağdaki kartın "as" olduğunu iddia edin. Ortadaki kartın as olup olmamasından bağımsız olarak, "evet" dersem soldaki kartı, "hayır" dersem sağdaki kartı seçerek bir ası bulmayı garanti etmiş olmaktasınız.

Neden mi? Şöyle: Eğer ortadaki kart as ise ve dolayısıyla benim size verdiğim cevap doğruysa; ben "evet" dersem soldaki kart gerçekten de as olmalıdır (çünkü ortadaki kart as ise ben doğru cevaplar veriyorum). "Hayır" dersem, sağdaki kart as olmalıdır. Ama eğer ortadaki kart vale ise, bu durumda her iki taraftaki (hem soldaki hem sağdaki) kartlar as olmak zorundadır ve zaten hangisini seçtiğiniz önemli olmayacaktır. Dolayısıyla sorunuza "evet" dersem, yine soldaki kart as olmalıdır (ki bu durumda sağdaki kartın as olması önemsizdir) ve "hayır" dersem sağdaki kart as olmalıdır (ki bu durumda soldaki kartın as olması önemsizdir).

Bilmece 2'nin Çözümü

Bu bilmeceleri çözmek için, ancak ve ancak (kısaltma: "iff") kavramını kullanacağız - ki göreceğiniz üzere bu kavram, ana sorumuzun çözümünde de çok önemli bir rol oynayacak.

Böyle bir kavramdan yararlanmamızın bir hile olduğunu düşünebilirsiniz; ancak "soru sorduğunuzda cevap alacağınızı bilmek" gibi varsayımlar ne kadar temelse, mantık kuralları da o kadar temel. Örneğin "eğer" içerikli sorular sormanın bir hile olduğunu düşünür müydünüz (örneğin "Eğer bu kart as ise..." diye başlayan bir soru sormak)? Halbuki "eğer" kavramı da mantık sayesinde gündelik hayatımızda kullanabildiğimiz temel kavramlardan biridir. "Ancak ve ancak", "eğer" gibi daha aşina olduğumuz sözcüklere göre daha ağır gelebilir; fakat yine de sıradan bir mantık kuralıdır. Ve bu kuralı bir kez öğrendiğinizde, tıpkı "eğer" sözcüğü gibi "ancak ve ancak" kalıbını da gündelik yaşantınızda çok daha aktif olarak kullanabilirsiniz.

Mantıkta "ancak ve ancak" şöyle çalışır: Her ikisi de doğru veya her ikisi de yanlış olan iki önermenin arasına "ancak ve ancak" veya "iff" koyarsanız, elde edeceğiniz önerme doğrudur. Eğer biri doğru, biri yanlış olan iki önerme arasında "iff" koyarsanız, elde edeceğiniz önerme yanlıştır. Dolayısıyla, örneğin:

• "Ay, kaşar peynirinden yapılmıştır; ancak ve ancak Roma, Rusya'daysa." önermesi doğru bir önermedir; çünkü "Ay, kaşar peynirinden yapılmıştır." önermesi de, "Roma, Rusya'dadır." önermesi de hatalıdır.
• "Ay, kaşar peynirinden yapılmıştır; ancak ve ancak Roma, İtalya'daysa." önermesi yanlış bir önermedir; çünkü önermelerden ilki yanlış, ikincisi doğrudur.
• "Ay'da hava yoktur; ancak ve ancak Roma, Rusya'daysa." önermesi yanlış bir önermedir; çünkü önermelerden ikincisi yanlış, ilki doğrudur.
• "Ay'da hava yoktur; ancak ve ancak Roma, İtalya'daysa." önermesi doğru bir önermedir; çünkü önermelerden her ikisi de doğrudur.

"Ancak ve ancak" önermesinin sebeplerle, açıklamalarla veya doğa yasalarıyla bir ilgisi yoktur. Sadece bir mantık kuralıdır; bu şekilde çalıştığı varsayılan bir ifadedir. Tıpkı "eğer" sözcüğü gibi...

Trip Advisor

İkinci bilmeceyi çözmek için, tanrıya "Duşanbe, Kırgızistan'da mı?" gibi basit bir soru sormak yerine, "Ancak ve ancak Duşanbe Kırgızistan'daysa, sen Doğrucu tanrı mısın?" gibi karmaşık bir soru sorun. Bu durumda (ve Duşanbe'nin nerede olduğunu gerçekten de bilmediğinizi varsayarsak), 4 olasılık vardır:

1. Tanrı, Doğrucu tanrıdır ve Duşanbe, Kırgızistan'dadır: Bu durumda alacağınız cevap "evet" olacaktır.
2. Tanrı, Doğrucu tanrıdır ve Duşanbe, Kırgızistan'da değildir: Bu durumda alacağınız cevap "hayır" olacaktır.
3. Tanrı, Yalancı tanrıdır ve Duşanbe, Kırgızistan'dadır: Bu durumda alacağınız cevap "evet" olacaktır; çünkü önermelerden sadece birisi doğrudur ve dolayısıyla tüm önermenin doğru cevabı "hayır"dır; ancak Yalancı tanrı, yalan söylemek için "evet" der.
4. Tanrı, Yalancı tanrıdır ve Duşanbe, Kırgızistan'da değildir: Bu durumda alacağınız cevap "hayır" olacaktır; çünkü önermelerden her ikisi de yanlıştır ve dolayısıyla tüm önermenin doğru cevabı "evet"tir; ancak Yalancı tanrı, yalan söylemek için "hayır" der.

Bu durumda, görebileceğiniz gibi, eğer aldığınız cevap "Evet" ise, Duşanbe Kırgızistan'dadır. Hayır ise, değildir. Soruyu bu şekilde sorduğunuzda, hangi tanrıyla konuştuğunuzun önemi kalmamaktadır. Karmaşık sorunuza verilen cevabı not ederek, Duşanbe'nin Kırgızistan'da olup olmadığını öğrenebilirsiniz.

Tekrar vurgulayalım: Burada dikkat edilmesi gereken nokta, Doğrucu veya Yalancı tanrıyla konuşup, "Ancak ve ancak X ise sen Doğrucu tanrı mısın?" diye sorulmaktadır. Cevap, Türkçe olarak gelmektedir. Bu şartlar altında, eğer X doğru ise "evet" cevabını, yanlış ise "hayır" cevabını almaktasınız. Hangi tanrıyla konuştuğunuz önemini yitirmektedir.

Bilmece 3'ün Çözümü

Eğer Bilmece 2'nin çözümünü anladıysanız, 3. bilmecenin çözümü de çok benzerdir. Doğrucu tanrıya "Duşanbe Kırgızistan'da mı?" sorusu yerine "Ancak ve ancak Duşanbe, Kırgızistan'da ise, 'da' sözcüğü evet mi demek?" diye sorun. Yine, 4 olasılık vardır:

1. "Da", "evet" demektir ve Duşanbe, Kırgızistan'dadır: Bu durumda Doğrucu tanrı "da" diyecektir.
2. "Da", "evet" demektir ve Duşanbe, Kırgızistan'da değildir: Bu durumda Doğrucu tanrı "ja" diyecektir (ve "ja"nın "hayır" olduğu anlaşılır).
3. "Da", "hayır" demektir ve Duşanbe, Kırgızistan'dadır: Bu durumda Doğrucu tanrı "da" diyecektir (ve "da"nın "hayır" olduğu anlaşılır).
4. "Da", "hayır" demektir ve Duşanbe, Kırgızistan'da değildir: Bu durumda her iki önerme de yanlıştır, dolayısıyla bütün önermenin cevabı Türkçede "evet" olacaktır, dolayısıyla Doğrucu tanrı "ja" diyecektir.

Bu durumda, Duşanbe Kırgızistan'da ise "da" cevabını, değilse "ja" cevabını almış olacaksınız. Yani bu soruyu sorarak, "da" veya "ja" sözcüklerinin hangisinin evet, hangisinin hayır olduğunu bilmeden de Duşanbe'nin Kırgızistan'da olup olmadığını öğrenebilirsiniz.

Bu sefer Doğrucu tanrıya "Ancak ve ancak Y ise 'da' evet mi demektir?" diye sormanızın mantığı, eğer Y doğru ise "da" cevabını almanız, yanlış ise "ja" cevabını almanızdır. Soruyu bu şekilde sorduğunuzda, hangisinin hangisi olduğu önemli değildir.

Bu iki noktayı birleştirerek, sadece "da" veya "ja" cevabını alacağınız bilgisi ışığında, Doğrucu veya Yalancı tanrılardan bir tanesine şu çok karmaşık soruyu sorabilirsiniz: "Ancak ve ancak X ise sen Doğrucu tanrıysan; ancak ve ancak "da" evet mi demek?"

Bu soruyu sorduğunuzda, sadece ve sadece X doğru ise "da" cevabını, yanlış ise "ja" cevabını alırsınız. Bu durumda, sorduğunuz tanrının Doğrucu mu yoksa Yalancı mı olduğu önemsizdir. Benzer şekilde, "da" ve "ja" cevaplarından hangisinin hangisi olduğu da önemsizdir.

Şimdi, Gelmiş Geçmiş En Zor Mantık Sorusu'nu çözebiliriz.

io9

Gelmiş Geçmiş En Zor Mantık Sorusunun Çözümü

İlk hamleniz, Rastgele olmadığından emin olduğunuz bir tanrıyı bulmaktır. Yani Doğrucu veya Yalancı tanrıyı tespit etmelisiniz.

Hamle 1: Rastgele Tanrıyı Eleyin!

Bunu yapabilmek için, A tanrısına dönüp, Soru 1'i sorun:

Ancak ve ancak B tanrısı Rastgele tanrı ise sen Doğrucu tanrıysan; ancak ve ancak 'da' evet mi demek?

Eğer A, Doğrucu veya Yalancı tanrı ise, "da" cevabını alırsanız, bu durumda B tanrısı Rastgele tanrı olmalıdır ve dolayısıyla C ya Doğrucu tanrıdır, ya Yalancı tanrıdır.

Ama eğer A tanrısı Doğrucu veya Yalancı tanrıysa ve siz "ja" cevabını alırsanız, bu durumda B tanrısı Rastgele tanrı değildir ve dolayısıyla B tanrısı ya Doğrucu tanrıdır, ya Yalancı tanrıdır.

Peki ya A tanrısı Rastgele tanrıysa?

Eğer A tanrısı Rastgele tanrıysa, ne B ne de C tanrısı Rastgele tanrı olabilir.

Dolayısıyla eğer A tanrısı Rastgele tanrıysa ve "da" cevabını alırsanız, C tanrısı Rastgele tanrısı değildir (B de olamaz; ancak bu önemsizdir). Ve dolayısıyla C tanrısı ya Doğrucu tanrıdır, ya Yalancı tanrıdır.

Eğer A tanrısı Rastgele tanrıysa ve siz "ja" cevabını alırsanız, B tanrısı Rastgele tanrı olamaz (ve C tanrısı da Rastgele tanrısı olamaz; ancak bu da önemsizdir). Bu nedenle B tanrısı ya Doğrucu tanrıdır, ya Yalancı tanrıdır.

Dolayısıyla, A tanrısının Doğrucu, Yalancı veya Rastgele olmasından bağımsız olarak, eğer 1. sorunuza aldığınız cevap "ja" ise, C tanrısı ya Doğrucu tanrıdır ya da Yalancı tanrı; eğer 1. sorunuza aldığınız cevap "da" ise, B tanrısı ya Doğrucu tanrıdır ya da Yalancı tanrıdır.

Hamle 2: Kimliğini Kısmen Çözdüğünüz Tanrıya Sorun!

Şimdi, hangisinin kimliğini kısmen çözdüyseniz (B veya C'den biri Doğrucu veya Yalancı olmak zorundadır), ona dönün. Diyelim ki 1. sorunun cevabı sayesinde B tanrısının Doğrucu veya Yalancı olmak zorunda olduğunu fark ettik (eğer C ise, bu noktadan sonra B tanrısı ile C tanrısının isimlerini değiştirin).

Şimdi, ona Soru 2'yi sorun:

Ancak ve ancak Roma, İtalya'daysa, "da" evet mi demek?

Doğrucu tanrı "da" diye, Yalancı tanrı "ja" diye cevap verecektir. Dolayısıyla ilk iki soruyla, B tanrısının Doğrucu olduğunu tespit ettiniz (veya B tanrısının Yalancı olduğunu tespit ettiniz). Böylece, bir tanrının kimliğini kesin olarak tespit ettiniz.

Hamle 3: Kimliğini Tamamen Çözdüğünüz Tanrıyla İşi Bitirin!

Bu noktadan sonrası daha basit: 3. ve son sorunuz için, kimliğini tamamen deşifre ettiğiniz tanrıya dönün ve Soru 3'ü sorun:

Ancak ve ancak A tanrısı Rastgele tanrısıysa, 'da' evet mi demektir?

Cevaplar, 4 olasılığı barındırır ve hepsi işi bitirir:

• Diyelim ki B, Doğrucu tanrı olsun. Bu durumda:
• Eğer "da" cevabını alırsanız, A tanrısı Rastgele tanrıdır ve dolayısıyla: A tanrısı Rastgele tanrısı, B tanrısı Doğrucu tanrı, C tanrısı Yalancı tanrıdır. İş tamam, bilmeceyi çözdünüz.
• Eğer "ja" cevabını alırsanız, A tanrısı Rastgele tanrı değildir ve dolayısıyla: A tanrısı Yalancı tanrı, B tanrısı Doğrucu tanrı, C tanrısı Rastgele tanrıdır. İş tamam, bilmeceyi çözdünüz.
• Diyelim ki B, Yalancı tanrı olsun. Bu durumda:
• Eğer "da" cevabını alırsanız, B tanrısı yalancı olduğu için, A tanrısı Rastgele tanrı değildir ve dolayısıyla: A tanrısı Doğrucu tanrı, B tanrısı Yalancı tanrı, C tanrısı Rastgele tanrısıdır. İş tamam, bilmeceyi çözdünüz.
• Eğer "ja" cevabını alırsanız, B tanrısı yalancı olduğu için, A tanrısı Rastgele tanrısıdır ve dolayısıyla: A tanrısı Rastgele tanrısı, B tanrısı Yalancı tanrı, C tanrısı Doğrucu tanrıdır. İş tamam, bilmeceyi çözdünüz.

İşte bu kadar!

"Gelmiş geçmiş en zor mantık sorusu" derken abartmıyormuşuz, öyle değil mi?

Gizmodo

Sonuç ve Bilmecenin Önemi

Sözlerimizi tamamlamadan, bu bilmecenin önemine de kısaca değinelim.

Mantıkta "dışlanmış orta yasası" isimli bir mantık yasası vardır. Buna göre, ya X doğrudur ya da "X değildir" önermesi doğrudur. Bu, tüm X'ler için geçerlidir. Öte yandan "Çelişki Yasası", X ve X değildir önermelerinin ikisinin de aynı anda doğru olamayacağını söyler.

Matematikçiler ve filozoflar ara sıra "dışlanmış orta yasası"na aralıklarla saldırarak, bunun geçerli bir yasa olmadığını söylerler. Bu tartışmayı bu yazıda sonuca erdirmemiz mümkün değil; ancak Bilmece 1'de kaçınılmaz olarak "As, ortadaki kart olsa da olmasa da..." diyerek bu yasaya başvurduğumuzu belirtmekte fayda var.

Gelmiş Geçmiş En Zor Mantık Sorusu'ndan ve bizim daha basit olan Bilmece 1'imizden de görebileceğimiz gibi, günlük yaşantıda bile alternatif olasılıklarla boğuşabilme becerimiz, eğer "dışlanmış orta yasası" olmasaydı tamamen felç olurdu.

Ha bu arada... Duşanbe, Tacikistan'dadır. Kırgızistan'da değil.