Elektromanyetik Teori ve Maxwell Denklemleri'nin Matematiği: Gauss Yasasının Kanıtı!

Carl Friedrich Gauss, namı diğer "matematiğin prensi", matematiğin neredeyse bütün alanlarına katkı sağladığı gibi, fizikte de çok önemli keşiflere imza atmıştır. Bu katkılardan belki de en önemlisi Gauss yasasıdır. Maxwell denklemlerinden biri olan bu yasanın anlattığı şey, sadece elektromanyetik teoride değil, mekanikte de kullanılır; ancak bu teorinin arka planı da çok güçlü bir matematik içerir. Muhtemelen böylesi önemli bir yasa için sayfalar sürecek bir kanıt bekliyorsunuz; ancak kanıtı kısa, yalın, güçlü ve şıktır.

Öncelikle Maxwell denklemlerini ilk defa görecek veya tekrar hatırlamak isteyecek olabilirsiniz diye biz hatırlatalım.

Maxwell Denklemleri

Elektromanyetik teorinin dört temel denklemidir, temellerinde elektrik alanın manyetik alana dönüşebileceğini anlatırlar, özelinde ise manyetik alanın varlığının bir elektrik akımı oluşması için yeterli olacağını söyler. Diferansiyel ve integral formu olan denklemleri şöyledir:

İntegral Formu

$\Sigma$, 3 boyutlu Öklidyen uzayda kapalı bir yüzeyi temsil etsin, bu yüzeylerde elektrik alan $\overrightarrow{E}$ ve manyetik alan $\overrightarrow{B}$, akım yoğunluğu $\overrightarrow{J}$, yük yoğunluğu $\rho$, ortamın dielektrik katsayısı ${ϵ}_0$, geçirgenlik katsayısı ${\mu }_0$ olsun; yani yüzey, dünya üzerinde, normal hava ortamında olsun.

1. Gauss Yasası (Elektrik Alan)

${\oint }_{\partial \Sigma }⟨\overrightarrow{E},\overrightarrow{d\Sigma }⟩=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{{ϵ}_0}{\iiint }_{\Sigma }\rho dV$

2. Gauss Yasası (Manyetik Alan)

${\oint }_{\partial \Sigma }⟨\overrightarrow{B},\overrightarrow{d\Sigma }⟩=0$

3. Faraday indüksiyon yasası

${\oint }_{\partial \Sigma }⟨\overrightarrow{E},\overrightarrow{dl}⟩=-\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{dt}{\iint }_{\Sigma }⟨\overrightarrow{B},\overrightarrow{d\Sigma }⟩$

4. Ampere yasası (Maxwell'in ekleme yaptığı hali)

${\oint }_{\partial \Sigma }⟨\overrightarrow{B},\overrightarrow{dl}⟩={\mu }_0({\iint }_{\Sigma }⟨\overrightarrow{J},\overrightarrow{d\Sigma }⟩+{ϵ}_0\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{dt}{\iint }_{\Sigma }⟨\overrightarrow{E},\overrightarrow{d\Sigma }⟩)$

Bu denklemlerden kısaca bahsedeceğiz, ancak bir de bu denklemlerin diferansiyel formlarına bakmamız gerekiyor.

Diferansiyel Form

Üstteki denklemler, sırasıyla Stokes ve Diverjans teoremleri yardımıyla aşağıdaki denklemlere dönüştürülebilir:

1. Gauss Yasası (Elektrik Alan)

$⟨\nabla ,\overrightarrow{E}⟩=\genfrac{}{}{0ex}{}{\rho }{{ϵ}_0}$

2. Gauss Yasası (Manyetik Alan)

$⟨\nabla ,\overrightarrow{B}⟩=0$

3. Faraday indüksiyon yasası

$rot(E)=-\genfrac{}{}{0ex}{}{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$

4. Ampere yasası

$rot(B)={\mu }_0\overrightarrow{J}+{\mu }_0{ϵ}_0\genfrac{}{}{0ex}{}{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t}$

Bu iki formun hiçbir farkı yoktur; aynı şeyi anlatırlar. Sadece probleme göre ikisinden biri kullanılır. Anlattıkları şey ise şu: Elektrik ile manyetizma aynı şeydir ve bir elektromanyetik dalga, bu iki alana da dik yönde ışık hızında ilerler.

Ampere yasasında, parantez içinde Maxwell'in bir ekleme yaptığı konusu dikkatinizi çekmiş olabilir. Maxwell'in eklediği şey, aslında bütün bu dört denklemin anlamlı olmasını sağlayan${\mu }_0{ϵ}_0\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{dt}{\iint }_{\Sigma }⟨\overrightarrow{E},\overrightarrow{d\Sigma }⟩)$ bölümüdür. Bu kısmın anlattığı şey ise, elektriksel akının zamanla değişimi ile de bir akım oluştuğudur. Bu sayede elektriğin manyetizmaya dönüşmesinin bir anlamı olur.

Bir matematikçi gözüyle incelersek, bu denklemler deneysel gözlemlerin ve Stokes teoremlerinin bir sonucudur. Gauss yasası genelde Maxwell denklemlerinde ilk sırada yazılır çünkü kendisinin anlattığı şey, diğerlerine göre bir nebze daha sık öne çıkar, çünkü uygulaması elektromanyetik teorinin de dışına çıkar.

Gauss yasasının anlatmaya çalıştığı şey, bir kapalı yüzeyde elektriksel akının sabit kaldığı ve sadece yüke bağlı olduğudur. Yani siz 5C'luk (Coulomb, yük birimidir ve C ile gösterilir) bir yükü, dünyanın merkezine de koysanız, bir araba tekerleğinin içine de koysanız, yüzeyin üstünde elektrik akısı aynı miktarda olacaktır. Bu miktar, dielektrik katsayısı ile ters orantılıdır. Havanın dielektrik katsayısı ${ϵ}_0$ ile gösterilir. Bu katsayının değeri $1,5.10^{-10}$, göreli belirsizlikle birlikte $8,85418781762039.10^{-12}\genfrac{}{}{0ex}{}{Farad}{metre}$'dir. Deneysel ölçümlerle başka ortamların dielektrik katsayıları da hesaplanabilir.

Böylesine güçlü bir yasayı kanıtlamadan önce elbette biraz uygulamalarına bakalım. Elektromanyetik teorideki bir uygulamasına bakacak olursak eğri büğrü bir cisim düşünelim. Bu cismin içindeki bir $(x,y,z)$ noktası için $\rho =-e^{-(x^2+y^2)}$$\genfrac{}{}{0ex}{}{nC}{m^3}$ bir yük yoğunluğu olsun. Bu cismin yüzeyindeki elektrik akısını hesaplamasını okuyucudan istiyoruz. İpucu olarak, toplam yükü bulmak için silindirik koordinatlarda bir integrasyon yapmanız gerektiğini belirtmekte fayda var. Daha sonra, cismin içine gireceğini kabul ettiğimiz bir $r_0$ yarıçaplı bir küre üzerinde Gauss yasasını uygulayabilirsiniz.

Elektromanyetizmadan başka bir uygulama olarak Newton'un kütleçekim kanununda da Gauss yasası kullanılabilir. Kapalı yüzeylerdeki gravitasyonel akı, kütleyle orantılıdır ve ${\oint }_{\partial \Sigma }⟨\overrightarrow{g},\overrightarrow{d\Sigma }⟩=-4G\pi M$ olarak ifade edilebilir. Burada $M$ kütle, $G$ gravitasyonel sabittir ($6.67408\times 10-11m^{3}k{g}^{-1}{s}^{-2}$ ) .

Mekanik dersi alan okuyucular, bu hesap yönteminin Newton'un yöntemine kıyasla ne kadar kolay olduğunu anlamışlardır. Gauss yasası, işin içinde akı ve bir kapalı yüzey olduğu herhangi bir sistem için uygulanabilir olduğu için, diğer Maxwell denklemlerinden ayrılır. Şimdi gelelim şık Gauss yasasının şık bir kanıtına.

Gauss Yasasının Kanıtı

Aşağıdaki şekilde, Gauss yasasının geometrisi görülmektedir. Bu şeklin keyfi bir şekil olduğunu varsayalım, çünkü kanıtımızın her kapalı şekile uyması gerekiyor.

Doubnut

Bu kapalı şekilde bir $\overrightarrow{r}$ noktasında elektrik alan Coulomb kanunu neticesinde şöyle hesaplanır:

$E(\overrightarrow{r})=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4\pi {ϵ}_0}{\iiint }_{\Sigma }\rho \genfrac{}{}{0ex}{}{\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\zeta }}{||\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\zeta }|{|}^3}d\overrightarrow{\zeta }$

Diverjans teoremi kullanılırsa:

$div(\overrightarrow{E})=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{{ϵ}_0}{\iiint }_{\Sigma }\rho \delta (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{\zeta })d\overrightarrow{\zeta }$

Burada $\delta$, Dirac delta fonksiyonudur. Dirac delta fonksiyoniyonun özelliklerinden yararlanırsak ,$div(\overrightarrow{E})=\genfrac{}{}{0ex}{}{\rho }{{ϵ}_0}$ sonucuna varırız ve bir kez daha diverjans teoremi kullanılırsa, Gauss yasasının integral formu elde edilir.

Burada kanıtı şık yapan husus, işin içine Dirac delta fonksiyonunun girmesidir. Nasıl girdiğini ise şöyle gösterelim: $\overrightarrow{\alpha }$'nın normunu $\alpha$ olarak alalım. Bu durumda:

$div(\genfrac{}{}{0ex}{}{\overrightarrow{\alpha }}{{\alpha }^2})=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{{\alpha }^2}\genfrac{}{}{0ex}{}{\partial }{\partial r}(1)=0$

ve diverjansın integrali:

${\iint }_{\Sigma }div(\genfrac{}{}{0ex}{}{\overrightarrow{\alpha }}{{\alpha }^2})dV={\oint }_{\partial \Sigma }⟨\genfrac{}{}{0ex}{}{\overrightarrow{\alpha }}{{\alpha }^2},\overrightarrow{d\Sigma }⟩$

Burada integrali yarıçapı $R$ olan küre üzerinde düşünebiliriz. İntegralin sonucu 1 gelecektir. Bu da Dirac deltanın tanımıdır.

Gauss yasasının kanıtında diverjans ve Stokes teoremleri birkaç defa kullanılır. Aralarındaki bu muhteşem ilişki de, bu müthiş yasayı oluşturur. İleri okumalar kısmında Stokes ve diverjans teoremi ve elektromanyetik teori ile ilgili kaynaklar bulabilirsiniz.